事故树计算题

1、列出顶上事件 发生的概率表达式
2、展开，消除每个概率积中 的重复的概率因子 qi ·qi=qi
3、将各基本事件的概率值带 入，计算顶上事件的发生概率
如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事 件，可省略第2步
最小径集法
• 根据最小径集与最小割集的对偶性，利 用最小径集同样可求出顶事件发生的概 率。
• 式 2，中…：…qni—）—。第i个基本事件的发生概率（i=1，
例如：某事故树共有2个最小割集： E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3，X4 ｝。 已知各基本事件发生的概率为：
q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5； q4=0.5； 求顶上事件发生概率？
T
+
E1
E2
.
.
X1
X2
X2
k—最小径集数；
（1-qr）—第i个基本事件不发生的概率；
xi pr —属于第r个最小径集的第i个基本事件；
xi pr ps—属于第r个或第s个最小径集的第i个 基本事件
k
k
P(T ) 1 1 qi 1 qi L 1k1 1 qi
二、顶上事件发生的概率
1．如果事故树中不含有重复的或相同的基本事 件，各基本事件又都是相互独立的，顶上事件 发生的概率可根据事故树的结构，用下列公式 求得。
• 用“与门”连接的顶事件的发生概率为： n P(T ) qi i 1
• 用“或门”连接的顶事件的发生概率为：
n
P(T ) 1 (1 qi ) i 1
① 最小割集法
• 事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这 时，顶上事件等于最小割集的并集。
•
设某事故树有K个最 Er、…、Ek，则有：
小
割
集
：Baidu Nhomakorabea
E1
、
E2
、
…
、
k
T Er
r 1
• 顶上事件发生概率为：
P(T )

P
k
Er
r1
• 化简，顶上事件的发生概率为：
k
k
P(T)
• 故顶上事件发生的概率：
k
k
P(T ) 1 1 qi 1 qi L 1k1 1 qi
r 1 xiPr
1rsk xiPr UPs
r 1 xiP1UP2 UP3L UPk
式中：Pr —最小径集（r=1，2，……k）； r、s—最小径集的序数，r<s；
在第二项中 “减去每两个最小割集同时发生的概率”（将每两 个最小割集并集的基本事件的概率积 相加）；还有重复计算 的情况，
在第三项 “加上每三个最小割集同时发生的概率” （将每三 个最小割集并集的基本事件的概率积 相加） ；
以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小割集同 时发生的概率”
例如：某事故树共有3个最小割集：试用 最小割集法计算顶事件的发生的概率。
• 设某事故树有k个最小径集：P1、P2、…、 Pr、…、Pk。用Dr（r=1，2，…，k）表 示最小径集不发生的事件，用 表示顶
上事件不发T生。
• 由最小径集定义可知，只要k个最小径集 中有一个不发生，顶事件就不会发生， 则：
k
T Dr
r 1
k
1 P(T ) P Dr r1
P(T ) 1 (1 q1q2 q2q3q4 q1q2q2q3q4 ) q1q2 q2q3q4 q1q2q3q4 0.5 0.2 0.2 0.5 0.5 0.2 0.5 0.5 0.5 0.125
2．但当事故树含有重复出现的基本事件时， 或基本事件可能在几个最小割集中重复 出现时，最小割集之间是相交的，这时， 应按以下几种方法计算。
E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ E3=｛X3，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为：
q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05
求顶上事件发生概率？
k
k
P(T)
qi
qi L (1)k1

qi
r 1 xiEr
r 1 xiPr
1rsk xiPr UPs
r 1 xiP1UP2 UP3L UPk
•公式中的第二项 “减去各最小径集P实现的概率的和”（将 各最小径集中的基本事件不发生的概率积 相加）；但有重 复计算的情况，因此，
•在第二项中 “加上每两个最小径集同时实现的概率”（将 每两个最小径集并集中的各基本事件不发生的概率积 相 加）；还有重复计算的情况，
X3
X4
2
P(T ) 1 (1 PEi ) 1 (1 PE1) (1 PE2 ) i 1
2
3
1 (1 qi ) (1 qi )
i 1
i 1
1 (1 q1q2 ) (1 q2q3q4 )
P(T ) 1 (1 0.50.2) (1 0.20.50.5) 0.145
U 1rsk xiEr Es
r 1
U U U xiE1 E2 E3L Ek
E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ E3=｛X3，X5｝
P(T ) q1q2q3 q1q4 q3q5 q1q2q3q4 q1q2q3q5 q1q3q4q5 q1q2q3q4q5 0.001904872
x本i 事E件r 。Es—属于第r个或第s个最小割集的第i个基
k
k
P(T)
qi
qi L (1)k1

qi
r 1 xiEr
U 1rsk xiEr Es
r 1
U U U xiE1 E2 E3L Ek
公式中的第一项 “求各最小割集E的发生概率的和”（将各最 小割集中的基本事件的概率积 相加）；但有重复计算的情况， 因此，
qi
qi L (1)k1

qi
r 1 xiEr
U 1rsk xiEr Es
r 1
U U U xiE1 E2 E3L Ek
• 式中：r、s、k—最小割集的序号，r＜s＜k；
i — 基本事件的序号，
1≤r＜s≤k—k个最小割集中第r、s两个割集的组合 顺序；
xi Er—属于第r个最小割集的第i个基本事件；