2008年北京航空航天大学复变函数与傅里叶变换考试试题及答案

2008年复变试题共五页

一．选择题（每题3分，共27分）

1.下列函数中，在有限复平面上解析的函数是（ ）

（A ）i y xy y x )2(2

2

2

-+- （B ）i y x 2

2+

（C ）)2(222x x y i xy +-+ （D ）i y yi x xy x 3

22333-+-

2设C 是从i 到

2

i

的直线段，则积分=⎰

πdz e C z （ ）

（Ａ）π1 （Ｂ）π

-1

（Ｃ）)1(1i +π- （Ｄ）)1(1i +π

３．设C 为曲线1C ：从－１到１的下半单位圆周和曲线2C ：从１到－１的直线构成的封闭曲线，则

=-⎰dz z C

)1(（ ）

（Ａ）πi （Ｂ）π-i （Ｃ）０（Ｄ）π

４.设函数zctgz 的泰勒展开式为n n n z c )2(0π-∑∞

=，那么幂级数n

n n z c )2(0

π-∑∞

=的收敛半径

Ｒ＝（ ）

（Ａ）∞+（Ｂ）１（Ｃ）

2

π

（Ｄ）π ５.设)2()(2

2

2

y xy i x y x z f -+--=，则=+')2

1(i f （ ） （Ａ）i -1（Ｂ）i +1（Ｃ）i 211-

（Ｄ）i 2

11+ ６.下列命题中，正确的是（ ）

（Ａ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （Ｂ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （Ｃ）设iv u z f +=)(在区域D 内解析，则

x

u

∂∂为D 内的调和函数 （Ｄ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数

７.设0=z 为函数z

z e z

sin 1--的m 级极点，那么m ＝（ ）

（Ａ）５（Ｂ）４（Ｃ）３（Ｄ）２

８.设函数)(t f 的拉普拉斯变换)(}]{[s F t f L =，则=⎰

t

dt t f L 30

])([（ ）

（Ａ）

)3(31s F s （Ｂ）)3(1s F s （Ｃ）)(31s F s （Ｄ）)(1

s F s

９.设函数)(t f 的傅立叶变换为)()]([ωF t f F =，则函数)2()2(t f t --的傅立叶变换为

（ ）

（Ａ）)2()2(4ω--ω-'-

F F i （Ｂ）)2()2(4ω--ω-'F F i （Ｃ）)2()2(2ω--ω-'-F F i （Ｄ）)2

()2(2ω

--ω-'F F i

二．填空题（每题４分，共４０分） １.已知5

)11)(12(i

i i i z +-+-=，则=6z ______________________________

２.复数i

i +1的主值为______________________________

３

.

解

析

函

数

iv

u z f +=)(的实部

2

33xy x u -=，则

___________________________)(=z f

４.积分

___,________________________________________21

1||=+⎰=dz z z 由此计算 ____________________________________________________cos 45cos 2120=θθ+θ

+⎰πd

５.设,)(cos )(1||3

ζ-ζζ=

⎰=ζd z z f 其中1||=≠z ，则_________________________)6

(=π

'f ___________________________________________________)2(='''f

６.

____________________________)1(1

3||2=+⎰=z dz z z

７.函数z

e z -1在0=z 处的泰勒展开式（至少写到含3

z 的项）为____________________

8.在扩充复平面上函数4sin )(z

z

z f =

的孤立奇点为（写出类型）____________________在孤立奇点处留数为____________________

9.已知1)(23

+=

π

-s e

s F s ，则)(s F 的拉普拉斯逆变换为_____________________________

10设1

2

)(2+ω=ωF ，则)(ωF 的傅立叶逆变换为_____________________________

三．（10分）将函数2

)(1

)(z i z z f -=

在适当的圆环域内展开成含i z -的幂的洛朗级数。

四．（9分）计算函数

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧+∞

<<<<<<---<<∞-=t t t t t f 1,010,101,11

,0)(的傅立叶变换，并计算广义积分

⎰

+∞

ωωω

ω-0

sin )

cos 1(2d t 的值。

五．（8分）用拉普拉斯变换及其逆变换求解微分方程组⎩

⎨⎧-='''+-δ=''+')1(2)()(2)

1()()(t u t y t x t t y t x 满足初始

条件⎩⎨⎧=''='==0

)0()0(0

)0()0(y y y x 的解。

六．（6

分）如果1||

)(z f 解析且|

|11

|)(|z z f -≤

，证明

),2,1(!2|)0(|1)( =≤+n n f n n