有理数运算常用的技巧

有理数运算常用的技巧

一、归类运算

进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷。如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。

例1、计算：－(0.5)－(－3

41) + 2.75－(721)

变式：计算：()()()231324-+++-++-

二、凑整求和

将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率． 例2、计算：19＋299＋3999＋49999．

变式：计算：36.54228263.46+-+

三、变换顺序

在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．

例3、计算：[4

125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．

变式：计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭

四、逆用运算律

在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．

例4、计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．

变式1：32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544-⨯+⨯-+

⨯⨯+÷-

变式2：4726342+4726352-472633×472635-472634×472636

五、巧拆项（裂项相消）

把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．

常见的裂项相消： ①111(1)1n n n n =-++②1111()()n n k k n n k

=-++ ③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++④1111()(1)(1)211

n n n n =--+-+ 例5、计算2005×20042003－1001×1002

1001．

例6、

111113355799101

++++⨯⨯⨯⨯L

变式1：

111111261220309900++++++L

变式2：

10310011071741⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯

变式3：计算：

111111315131517293133

+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L

六、变量替换（换元法）

通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用． 例7、计算512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋3

234175127

69+-)．

例8、（第8届“希望杯”）计算：

11111111111111(1)()(1)()23200923420102320092010232009

--+-+++---+--+++L L L L

变式1：计算（2＋

20101......413121++++）×（20111......413121++++）－（2＋20111......413121++++）×（

20101......413121++++）

变式2：计算⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++⨯⎪⎭⎫

⎝⎛+⋅⋅⋅++20051312120061312112005131211200613121

变式3：计算⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+39385271781712133937111712727717

七、分组搭配（巧添括号）

观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．

例9、计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．

变式：计算：

八、倒序相加

在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．

例10、计算

21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．

变式1：计算

2003

4005200332003220031++++Λ

变式2：计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．

九、添数配对（添项法）添数配对实质上也是一种凑整运算

例11、计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．

变式：计算

512125611281641321161814121++++++++

十、错位相减

对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．

例12、计算1－

21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．

例13、计算：23201012222

S =+++++L

变式1：计算：2010

3221212121++++ΛΛ

变式2：计算：2013323

13131311+++++ΛΛ

十一、分解相约

对于较复的算式直接运算很困难，抓住其特征，分解化为相同的形式，将相同的部分约去。

例14、计算：293186293142842421⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⋅+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯⋅⋅+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n

变式1：计算

2121212113131313212121505052121202211+++

变式2：计算14201420142014201420142014202014201420141320132013201320132013201320201320132013++++++