初中数学轴对称变换的实际应用教案

《轴对称变换的实际应用》

教材：人教版《义务教育课程标准实验教材》八年级上册第14.2.1第2节．

教学目标1．进一步理解轴对称变换，并能用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题. 2．体会轴对称变换在解决问题中的转化作用，学习将实际问题转化为数学问题的方法，发展应用数学的意识.

3．体验探究的快乐、激发学习数学的兴趣.

教学重点轴对称变换的应用.

教学难点如何通过轴对称变换进行转化.

教学方式自主探究与启发引导相结合.

教学手段多媒体辅助教学.

教学

环节

教学内容师生活动设计意图

（一）复习引入

上节课我们学习了轴对称变换作图，给

大家布置了利用轴对称变换设计图案的作

业，让我们先来欣赏同学们用轴对称变换设

计的美丽图案！这些美丽的图案你又是怎样

画的呢？

学生利用实物投影展示

作业，教师对学生给予

肯定和鼓励.

通过展示学生

有创意的作品，

复习轴对称作

图和轴对称性

质，为本节课的

内容作铺垫.

（二）问题探究1．提出问题

播放CCTV关于“西气东输”的新闻报道.

问题1如图，要在燃气管道l上修建一个泵

站，分别向A，B两城镇供气.泵站修在什么

地方，可使所用的输气管线最短?

2. 引导探究

探究中学生可能遇到如下问题：

①实际问题数学化；②对“线段和最小”的理

解；③如何想到用轴对称变换求解问题.

（1）实际问题数学化

学生阅读思考、尝试独

立求解.

教师巡视，观察学生解

决问题的过程与方法，

并适时引导.

选用“西气东

输”作为背

景，引导学生

关注国家大事.

学生已有一些

解决实际问题

的经验，放手让

学生做，培养他

们的探究意识

和能力.

（二）

问

题

探

究

如图，已知点A、B在直线l的同侧.在l

上找点P，使PA+PB最小.

（2）对“线段和最小”的理解

在直线l上任取两点P1、P2，通过度量，

比较AP1+BP1与AP2+BP2的大小.

（3）对画图找点的引导

辅助问题：

如图，已知点A、B在直线l的异侧，在

l上找点P，使PA+PB最小.

解略.

（4）求解问题1

解：作点B关于直线l的对称点B1，连接

AB1，AB1与直线l交于P，点P即为所求.

理由：如图，由轴对称性质BP=B1P，所以

AP+BP=AP+B1P，当A、P、B1三点共线时AB1

最短，所以P点为所求.

3．数学思考

（1）推理证明的落实

如果P1是异于点P的一点，你能证明

AP1+BP1> AP+BP吗？

证明：连接B1P1. 由轴对称性质，

多数学生能将管道画成

直线，城镇画成点，教

师给予肯定的同时，引

导学生结合图形用符号

语言表述问题.

教师引导对“线段和最

小”理解不透的学生选

点画图，度量比较发现

其值不等之后，再利用

几何画板进行动态演

示.

对于如何找点没有思路

的学生，教师给出辅助

问题，解决后再思考问

题1的解法.

学生陈述解法并说明理

由，同时教师强调也可

以通过作点A关于直线

对称点来求解.

教师再利用几何画板对

点P进行验证.

学生思考，讨论交流.

使学生明确将

实际问题数学

化是解决实际

问题的第一步，

同时注意规范

表述.

使学生透彻理

解“线段和最

小”的含义.

设置辅助问题

为问题1的解

决作铺垫.

（二）问题探究

BP1=B1P1，BP=B1P.

所以AP1+BP1=AP1+ B1P1，

AP+BP=AP+ B1P =AB1，

在△AP1B1中，AP1+B1P1>AB1，

即AP1+BP1 > AP+BP.

（2）对解法的反思

轴对称变换在解决问题中所起的作用是什么

呢？“实现了线段长度的等量转化，将直线

同侧两定点问题转化为直线异侧两定点问

题.”

教师引导学生利用轴对

称变换性质和三角形三

边关系完成证明.

学生思考后作答，

教师再归纳提升.

帮助学生体会

轴对称变换在

解决问题中的

转化作用.

（三）拓展应用问题2 如图，公园内两条小河汇合，两河形

成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小

河上各修建一座小桥，并在半岛上修三条小

路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建

在何处，使所修建的道路最短？

1. 实际问题数学化

如图，P为∠MON内一定点，分别在OM

与ON上找点A、B，使△ABP的周长最小.

2. 问题求解

解：作点P关于OM、ON的对称点P1、P2，

连接P1P2 ，P1P2与OM、ON分别交于

A、B，点A、B即为所求.

3. 对解法的反思

在解决问题过程中，轴对称变换起到了什么

学生读题，尝试独立求

解.

教师巡视指导.

学生在画图找点过程中

遇到困难时，教师引导

学生分析问题、理解由

轴对称性质可将三角形

周长转化为P1A1+

A1B1+P2B1，从而使问题

求解.

问题2一方面

作为问题1解

题方法的巩固,

同时又为问题

3的解决作铺

垫.

帮助学生再次