正弦定理、余弦定理的综合应用

在 ABC 中，若
a

b

c
A B C A B C A B C sin ＝sin ＝sin 又 ， ， 是锐角， ＝ ＝ 2 2 2 2 2 2 2 2 2
题型二：三角形中的求值题
例2：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。 解:（化角为边）由余弦定理得： bcosC＋ccosB＝ b·a
2R sin(B C )
2R sin( A) a sin A a2 sin A
射影定理： a= bcosC＋ccosB,
b=ccosA+acosC,
c=acosB+bcosA
a、b、c, 例3：ABC中，A、B、C所对的边分别为
cos B b 且 , 求B的大小。 cos C 2a c
解题小结：
判断三角形形状时，一般考虑两种变形方向： 一个是化角为边，再进行代数恒等变换求出三条 边之间的关系式。另一个方向是化边为角，再进 行三角恒等变换求出三个角之间的关系式。 两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。
练习一
A B C ，则 ABC 是( D ) cos cos cos 2 2 2 A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2R sin A 2R sin B 2R sin C 略解：由正弦定理得： A B C cos cos cos 2 2 2 A A B B C C 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 A B C cos cos cos 2 2 2
角平分线性质
A
圆内接四边形对角互补 D
BD AB = CD AC
B
12
A+C= B+D=
C A
C
D
B
题型一：判断三角形的形状
例1：在△ABC中，已知acosA=bcosB， 试判断三角形的形状。
由余弦定理得： 解法一：（化角为边）
b c a a c b a cos A b cos B a ( ) b( ) 2bc 2ac
解法一： 由正弦定理得： （化边为角） a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C, cos B sin B cos B b , 代入 得： cos C 2 sin A sin C cos C 2a c
即2 sin A cos B sin C cos B cos C sin B 0 2 sin A cos B sin(B C ) 0,

实 现 边 角 互 化
解三角形中常用关系式
A+B+C= sin A+B =sinC, cos A+B =-cosC
A+B C A+B C sin = cos ，cos = sin 2 2 2 2 1 S ABC = ab sin C=2R 2 sin A sin B sin C 2
2
2
b c 2ab
2
2
a c b ＋c· 2ac
2 2
2
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a b c a c b 2a 2a
2 2 2 2
2
a2
例2：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。
解法二:（化边为角） 由正弦定理得： bcosC＋ccosB ＝ 2 R sin B cos C 2 R sin C cos B
cos B b 代入 cos C 2a c
得：
2ab b a 2 c2 b2 2 （化角为边） 2 2 a b c 2a c 2ac
整理得
a 2 c 2 b2 ac,
a 2 c 2 b 2 ac 1 cos B 2ac 2ac 2 2 B为三角形的内角，故 B 3
解法二：（化边为角） 由正弦定理得：
a cos A b cos B 2 R sin A cos A 2 R sin B cos B sin 2 A sin 2 B
A、B是三角形的内角
A B或A B
2 A 2B或2 A 2B
2
ABC 是等腰三角形或直角三角形
正弦定理、余弦定理综合运用
复习：
正弦定理：
a b c 2 R（R是三角形外接圆半径） sin A sin B sin C
余弦定理：
a b c 2bc cos A
2
2 2
b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cosC
2 2 2
正 弦 定 理 的 变 式
a、b、c, 练习二 ABC中，A、B、C所对的边分别为 c 1 2 2 2 若b c bc a , 且 3, 求A和 tan B的大小。 b 2 2 b c2 a2 1 解：由余弦定理知：cos A ， （ 化 2bc 2 0 A 180, A 60, 边 c 1 为 3 且由正弦定理知 c sin C , b 2 角 b sin B sin C 1 3 又C 180 ( A B) 120 B, ） sin B 2
2 2 2 2 2 2
a c a b c b 0
2 2 4 2 2 4
(a 2 b2 )(c 2 a 2 b2 ) 0
a b 0或c a b 0
2 2 2 2 2
a b或c ＝a ＋b
2 2
2
ABC 是等腰三角形或直角三角形
例1：在△ABC中，已知acosA=bcosB， 试判断三角形的形状。

a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2 R sin C ,
余 弦 定 理 的 变 式


a sin A , 2R b sin B , 2R c sin C . 2R
2 2 2
b c a cos A , 2bc a2 c2 b2 cos B , 2ac a2 b2 c2 cosC . 2ab
又 A B C sin(B C) sin A,
2 sin A cos B sin A 0
1 sin A 0 cos B 2 2
B为三角形的内角，故 B 3
a、b、c, 例3： ABC中，A、B、C所对的边分别为
cos B b 且 , 求B的大小。 2 2 2 cos C 2a c 2 2 2 a b c a c b ,cosC 解法二：由余弦定理得 cos B 2ab 2ac