二次函数的建模运用

二次函数的应用

1.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正确水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）

A ．2.76米

B ．6.76米

C ．6米

D ．7米

考点：二次函数的应用． 专题：应用题；压轴题．

分析：根据已知，假设解析式为y=ax 2，把（10，-4）代入求出解析式．假设在水面宽度18米时，能顺利通过，即可把x=9代入解析式，求出此时水面距拱顶的高度，然后和正常水位相比较即可解答．

解答：解：设该抛物线的解析式为y=ax 2，在正常水位下x=10，代入解析式

可得-4=a×102 ∴

故此抛物线的解析式为：

因为桥下水面宽度不得小于18米，所以令x=9

时可得：

此时水深6+4-3.24=6.76米

即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过． 故选B ．

点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．难度中上，首先要知道水面宽度与水位上升高度的关系才能求解．

2.林书豪身高1.91m ，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−5

1-x 2

+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（ ） A ．3.2m

B ．4m

C ．4.5m

D ．

考点：二次函数的应用． 专题：数形结合．

分析：把y=3.05代入所给二次函数解析式，求得相应的x 的值，加上2.5即为所求的数值．

2

25

1-y x =25

1-

a =米24.38125

1

-y -=⨯=

解答：解：由题意得：3.05=−5

1-x 2

+3.5， x 2=2.25，

∵篮圈中心在第一象限， ∴x=1.5，

∴他与篮底的距离约为1.5+2.5=4m ， 故选B ．

点评：考查二次函数的应用；建立数学模型，求得篮圈中心与原点的水平距离是解决本题的关键．

3.如图是江夏宁港灵山脚下古河道上一座已有了400年历史的古拱桥的截面图，这座拱桥桥洞上沿是抛物线形状，若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，则抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，如果在桥洞两侧壁上各安装一盏距离水面4m 的景观灯，则两盏景观灯之间的水平距离是（ ） A ．3m B ．4m C ．5m D ．6m

考点：二次函数的应用．

分析：根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的左端点坐标为（0，1），可设抛物线的顶点式求解析式，再根据两灯的纵坐标值，求横坐标，作差即可．

解答：解：抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点（0，1）， 设抛物线解析式为y=a （x-5）2+5，

把点（0，1）代入得： 1=a （0-5）2+5，即∴抛物线解析式为

令

y=4，得

∴盏景观灯之间的水平距离是：

故选C ．

点评：根据抛物线在坐标系中的

位置及点的坐标特点，合理地设抛物线

解析式，再运用解析式解答题目的问题．

254

-a =5)5(25

4

-

y 2+-=x 2

15x 1=

m 52

5

-215=2

5x 2=

4.如图，在“江夏杯”钓鱼比赛中，选手甲钓到了一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看作以A 为最高点的一条抛物线，已知鱼线AB 长6m ，鱼隐约在水面了，估计鱼离鱼竿支点有8m ，此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹脚α恰好为60°，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为 考点：二次函数的应用．

分析：过点A 作AC⊥OB，交OB 于点C ，在RT△ABC 中，可求出AC 、BC ，然后根据OB=8米，可得出点A 的坐标，根据二次函数过原点及二次函数的顶点坐标即可确定二次函数解析式．

解答：解：过点A 作AC⊥OB，交OB 于点C ， ∵AB=6米，OB=8米，α=60°，

∴AC =ABs in∠α=米

BC=ACcos∠α=3米， ∴OC=OB -BC=5米， 故可

得点A 的坐标为

设函数解析式为y=a （x-5）2+ 又∵函数经过原点，

∴0=a （0-5）2 + 解得： 故函数解析为：

故答案为：

点评：此题

考查了二次函数的应用，关键是利用几何知识求出点

A 的坐标，另外要掌握二次函数的一般式及顶点式的特点，有一定难度．

3

3）

（33,53

33

325

3

3-

a =33)5(25

3

3-

y 2+-=x 33)5(25

3

3-

y 2+-=x

5.如图，AB 是自动喷灌设备的水管，点A 在地面，点B 高出地面1.5米．在B 处有一自动旋转的喷水头，在每一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B 与水流最高点C 的连线与水平线成45°角，水流的最高点C 与喷头B 高出2米，在如图的坐标系中，水流的落地点D 到点A 的距离是 米． 考点：二次函数的应用．

分析：根据所建坐标系，易知B 点坐标和顶点C 的坐标，设抛物线解析式为顶点式，可求表达式，求AD 长就是求y=0是x 的值．

解答：解：如图，建立直角坐标系，过C 点作CE⊥y 轴于E ，过C 点作CF⊥x 轴于F ， ∴B（0，1.5）， ∴∠CBE=45°， ∴EC=EB=2米，

∵CF=AB+BE=2+1.5=3.5， ∴C（2，3.5）

设抛物线解析式为：y=a （x-2）2+3.5， 又∵抛物线过点B ，

∴1.5=a（0-2）2+3.5 ∴

∴

∴所求抛物线解析式为：

∵抛物线与x 轴相交时，y=0， ∴

（舍去）7

27

221-=+=x x

∴点D 坐标为）（0,72+

水流落点D 到A 点的距离为：米72+

点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系的特点设合适的函数表达式形式进而求出二次函数解析式是解决问题的关键．

2

1

-a =2

3221-5.3)2(21-y 22++=+-=x x x 23221-y 2++=x x 23

221-02+

+=x x