《电动力学》
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第二章静电场
1. 一个半径为R 的电介质球,极化强度为2/r K r P =,电容率为ε。
(1)计算束缚电荷的体密度和面密度: (2)计算自由电荷体密度; (3)计算球外和球的电势;
(4)求该带电介质球产生的静电场总能量。
解:(1)P ⋅-∇=p ρ2
222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=∇⋅+⋅∇-=⋅∇-=r r r
)(12P P n -⋅-=p σR K R r r /=⋅==P e (2))/(00εεεε-=+=P P E D 内
200)/()/(r K f εεεεεερ-=-⋅∇=⋅∇=P D 内
(3))/(/0εεε-==P D E 内内
r
r f
r
KR
r V
e e D E 2002
00
)(4d εεεεπερε-=
=
=
⎰外
外 r
KR
r
)(d 00εεεεϕ-=
⋅=⎰∞r E 外外
)(ln d d 0
0εε
εεϕ+-=
⋅+⋅=⎰⎰∞r R K R
R r
r E r E 外内内
(4)⎰⎰⎰∞-+-=⋅=R R r
r
r R K r r r K V W 42200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 2
0))(1(2εεεεπε-+=K R
2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球,试用分离变量法求下列两种情况的
电势:(1)导体球上接有电池,使球与地保持电势差0Φ; (2)导体球上带总电荷Q 解:(1)该问题具有轴对称性,对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线,取该轴线为
极轴,球心为原点建立球坐标系。
当0R R >时,电势ϕ满足拉普拉斯方程,通解为
∑++
=n
n n n
n n P R b R a )(cos )(1
θϕ 因为无穷远处0E E →,)(cos cos 10000θϕθϕϕRP E R E -=-→
所以00ϕ=a ,01E a -=,)2(,0≥=n a n
当0R R →时,0Φ→ϕ 所以010
1000)(cos )(cos Φ=+
-∑+n n
n n
P R b P R E θθϕ
即:002010000/,/R E R b R b =Φ=+ϕ
所以)
2(,0,),
(3
010000≥==-Φ=n b R E b R b n ϕ
⎩⎨
⎧≤Φ>+-Φ+-=)()
(/cos /)(cos 00
02
3
0000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ
(2)设球体待定电势为0Φ,同理可得
⎩⎨
⎧≤Φ>+-Φ+-=)()
(/cos /)(cos 00
02
3
0000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ
当0R R →时,由题意,金属球带电量Q
φθθθϕθεϕεd d sin )cos 2cos (d 2
000
00000
R E R E S n
Q R R ⎰⎰+-Φ+
=∂∂-== )(40000ϕπε-Φ=R
所以00004/)(R Q πεϕ=-Φ
⎩⎨⎧≤+>++-=)(4/)(cos )/(4/cos 000
023
00000R R R Q R R R R E R Q R E πεϕθπεθϕϕ
3. 均匀介质球的中心置一点电荷f Q ,球的电容率为ε,球外为真空,试用分离
变量法求空间电势,把结果与使用高斯定理所得结果比较。 提示:空间各点的电势是点电荷f Q 的电势R Q f πε4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加,后者满足拉普拉斯方程。
解:(一)分离变量法
空间各点的电势是点电荷f Q 的电势R Q f πε4/与球面上的极化电荷所产生的电势的
迭加。设极化电荷产生的电势为ϕ',它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形式为:
)()(内θϕcos 1
n n
n n
n n P R b R a ∑++
=' )
()(外θϕcos 1n n
n n n n P R d
R c ∑++=' 当∞→R 时,0→'外
ϕ,0=∴n c 。 当0→R 时,内
ϕ'为有限,0=∴n b 。 所以)
(内
θϕcos n n
n n P R a ∑=',)(外θϕcos 1n
n
n n
P R
d ∑+=' 由于球对称性,电势只与R 有关,所以
)1(,0≥=n a n )1(,0≥=n d n
0a ='内
ϕ,R d /0='外ϕ 所以空间各点电势可写成R Q a f πεϕ40+=内
R Q R d f πεϕ40+=外
当0R R →时,由外内ϕϕ=得:000/R d a = 由 n n
∂∂=∂∂外
内ϕεϕε
得:20
002002044R d R Q R Q f f
επεεπ+=,)1
1(400εεπ-=f Q d 则 )11(
4000εεπ-=
R Q a f
所以)
(内ε
εππεϕ1
14400-+=R Q R Q f f )(外εεππεϕ1
1440-+=R Q R Q f f R
Q f 04πε=
(二)应用高斯定理
在球外,R>R 0 ,由高斯定理得:f p f Q Q Q Q d =+==⋅⎰
总外s E 0ε,(整个导体球的束缚电荷0=p Q ),所以 r f R Q e E 204πε=
外 ,积分后得: R
Q dR R
Q d f
R
R
f 02
044πεπεϕ⎰⎰
∞
∞
=
=⋅=R E 外外
在球,R s E 内ε,所以 r f R Q e E 2 4πε= 内 ,积分后得: R Q R Q R Q d d f f f R R R 00 4440 0πεπεπεϕ+ - = ⋅+⋅=⎰⎰∞ R E R E 外内内 结果相同。 8. 半径为0R 的导体球外充满均匀绝缘介质ε,导体球接地,离球心为a 处 (a >0R )置一点电荷f Q ,试用分离变量法求空间各点电势,证明所得结果 与电象法结果相同。 解:以球心为原点,以球心到点电荷的连线为极轴建立球坐标系。将空间各点电势看作由两部分迭加而成。一是介质中点电荷产生的电势 θπεϕcos 24/221Ra a R Q f -+=, 二是球面上的感应电荷及极化面电荷产生的2ϕ。后者在球和球外分别满足拉普拉斯方程。考虑到对称性,2ϕ与φ无关。 由于0→R 时,2ϕ为有限值,所以球的2ϕ解的形式可以写成 ∑=n n n n i P R a )(cos 2θϕ(1) 由于∞→R 时,2ϕ应趋于零,所以球外的2ϕ解的形式可以写成 ∑ +=n n n n P R b )(cos 1 2o θϕ(2)