第十六章分式题型总结

第十六章分式知识点和典型例习题

【知识网络】

【思想方法】

1．转化思想

转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想

本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．

3．类比法

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

第一讲分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分)

4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c

a a a a

±±=≠

2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da

a c a c ac ac ac

±±=±=≠≠;

3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd

a d a c ac

÷=•=

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n

6.

积的乘方与幂的乘方:(ab)m =

a m

b n , (a m )

n = a mn

7.负指数幂: a -p =

1p

a a 0=1

8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y x y

x y x y x b

a b a y x x -++-+--1

,

,,21,22π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1）

44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x

（5）x

x 11-

（1）

3

||61

-x

（2）

1

)1(32++-x x （3）

x

111+

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）3

1

+-x x

（2）

4

2||2

--x x （3）

6

5322

2----x x x x

2．当x 为何值时，下列分式的值为零：

（1）4

|

1|5+--x x

（2）

5

62522+--x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x 为何值时，分式

x

-84

为正；

（2）当x 为何值时，分式2

)

1(35-+-x x 为负；

（3）当x 为何值时，分式3

2

+-x x 为非负数. 3．解下列不等式 （1）

01

2

||≤+-x x （2）

03

252

>+++x x x

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M

B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：

b

a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y

x 4

13132

21+- （2）

b

a b

a +-04.003.02.0

不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）

y

x y

x 5.008.02.003.0+-

（2）b a b

a 10

141534.0-+

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y

x y

x --+- （2）b

a a

---

（3）b

a

---

题型三：化简求值题

【例3】已知：

511=+y x ，求

y

xy x y

xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y

x 1

1+. 【例4】已知：21=-x x ，求221x

x +的值.