南开中学2020届高三第四次月考 数学答案+解析

2019-2020学年高三第二学期第四次月考数学试卷

参考答案

一、选择题（共9小题；共45分）

1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B＝{x∈Z|x2≤4x}，则∁R A∩B＝（）A．{x|0≤x≤3}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{1，2}

【分析】根据题意，解x2﹣2x﹣3＞0可得集合A，由补集的意义可得∁R A＝{x|﹣1≤x≤3}，解x2≤4x可得集合B，由交集的意义计算∁R A∩B即可得答案．

解：根据题意，x2﹣2x﹣3＞0⇒x＜﹣1或x＞3，

则A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，

则∁R A＝{x|﹣1≤x≤3}，

x2≤4x⇒0≤x≤4，

B＝{x∈Z|x2≤4x}＝{x∈Z|0≤x≤4}＝{0，1，2，3，4}，

则∁R A∩B＝{0，1，2，3}；

故选：C．

2．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【分析】由q⇒p，反之不成立．即可得出．

解：由q⇒p，反之不成立．

∴p是q的必要不充分条件．

故选：B．

3．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，若，，则a，b，c的大小关系为（）

A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【分析】根据题意，由偶函数的定义可得函数f（x）为偶函数，结合偶函数的性质可得a＝f（2cos）＝f（2cos）＝f（1），b＝f（）＝f（log24.1），进而分析可得f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由1＜20.8＜2＜log24.1，据此分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，

a＝f（2cos）＝f（2cos）＝f（1），b＝f（）＝f（log24.1）c＝f（20.8），又由函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，

且1＜20.8＜2＜log24.1，

则a＜c＜b；

故选：A．

4．函数的一个单调递增区间是（）

A．B．C．D．

【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得f（x）的一个增区间．

解：对于函数＝3cos（﹣2x）＝3cos（2x﹣），

令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣

，kπ+]，k∈Z，

令k＝1，可得选项A正确，

故选：A．

5．数列{a n}满足：a n+1＝λa n﹣1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{a n﹣1}是等比数列，则λ的值等于（）

A．1B．﹣1C．D．2

【分析】把已知数列递推式变形，由数列{a n﹣1}是等比数列求得λ的值．

解：由a n+1＝λa n﹣1，得．

由于数列{a n﹣1}是等比数列，∴，得λ＝2，

故选：D．

6．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点F重合，抛物线的准线与双曲线交于A，B两点，且△OAB的面积为6（O为原点），则双曲线的方程为（）

A．B．

C．D．

【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得双曲线的c，由三角形的面积公式可得A 的坐标，由双曲线的定义可得a，进而得到b，可得双曲线的方程．

解：抛物线y2＝8x的焦点F为（2，0），

可得双曲线的焦点分别为）﹣2，0），（2，0），

抛物线的准线为x＝﹣2，

由△OAB的面积为6，可得•2|AB|＝6，

即|AB|＝6，可设A（2，3），

可得A到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为

|﹣3|＝2，

即2a＝2，可得a＝1，

由b＝＝＝，

可得双曲线的方程为x2﹣＝1．

故选：D．

7．设e1．e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公

共点，且满足•＝0，则+的值为（）

A．B．1C．2D．4

【分析】椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c并设PF1＝m，PF2＝n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n＝2a1，m﹣n＝2a2，写出两个曲

线的离心率，代入要求的式子得到结果．

解：设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c

并设PF1＝m，PF2＝n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得

m+n＝2a1

m﹣n＝2a2

解得

m＝a1+a2，n＝a1﹣a2

又⊥，由勾股定理得

PF12+PF22＝F1F22

（a1+a2）2+（a1﹣a2）2＝（2c）2

化简可得

a12+a22＝2c2

+＝2

故选：C．

8．已知函数的图象过点，且在

上单调，把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当

且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．C．﹣1D．1

【分析】利用正弦函数的周期性和单调性，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得x1+x2的值，可得f（x1+x2）的值．

解：∵函数的图象过点，∴2sinφ＝，∴φ＝．

f（x）在上单调，∴•≥﹣，∴0＜ω≤3．

把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，∴k•＝π，k∈Z，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+）．