2015届高考数学总复习 第四章 第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算课时精练试题 文(含解析)

1．(2013·福建卷)已知复数z 的共轭复数z －

＝1＋2i(i 为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：z 的共轭复数z －

＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，对应点的坐标为(1，－2)，故答案为D. 答案：D

2．(2012·湛江二中月考)设i 为虚数单位，复数a ＋i

1＋i

是纯虚数，则实数a 等于( )

A ．－1

B ．1 C. 2 D ．－ 2

解析：a ＋i 1＋i ＝a ＋－2＝a ＋12＋－a 2，当复数为纯虚数时，a ＝－1.故选

A.

答案：A

3．(2013·揭阳一模)已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (0,1)，B (－1,3)，则z 2z 1

＝( )

A ．－1＋3i

B ．－3－i

C ．3＋i

D ．3－i

解析：由题意可得z 1＝i ，z 2＝－1＋3i.∴z 2z 1＝－1＋3i i ＝

－

－1＋

－i

2＝i ＋3.故选

C.

答案：C

4．(2013·揭阳二模)若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ， b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝( )

A.12

B. 5

C.52

D.54

解析：∵(1＋2a i)i ＝1－b i ，∴i－2a ＝1－b i ，∴－2a ＝1，b ＝－1，∴a ＝－1

2，b ＝－

1，∴|a ＋b i|＝

5

2

，故选C. 答案：C

5．(2013·韶关二模)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋5

2－i

，则a ＋b ＝( )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

解析：∵若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋5

2－i

， ∴a i ＋i 2

＝b ＋

＋－

＋

，化为－1＋a i ＝b ＋2＋i ，

∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

－1＝b ＋2，a ＝1，解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ＝1，

b ＝－3，

∴a ＋b ＝－2.故选A.

答案：A

6．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a ＝1”是“点M 在第四象限”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案：A

7．(2012·湖南师大附中月考)已知0≤θ＜2π，复数i

cos θ＋isin θ

>0，则θ的值

是( )

A.π2

B.3π2

C ．(0，π)内的任意值

D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π内的任意值

解析：∵i

cos θ＋isin θ

＝i(cos θ－isin θ)＝sin θ＋icos θ>0，

∴cos θ＝0，sin θ＞0.又0≤θ＜2π，∴θ＝π

2

.故选A.

答案：A

8．(2012·江门一模)已知复数z ＝1－i(i 是虚数单位)，若a ∈R ，使得a z

＋z ∈R ，则a ＝( )

A.12 B ．－1

2 C ．2 D ．－2

解析：a z ＋z ＝a 1－i ＋1－i ＝a 2(1＋i)＋1－i ＝a ＋22＋a －22

i ，当a ＝2时，复数为实数．故

选C.

答案：C

9．已知复数z ＝1－ 3 i 3＋i

， z －是z 的共轭复数，则z －

的模等于( )

A ．4

B ．2

C ．1 D.1

4

答案：C

10．(2013·上海卷)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2

－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.

解析：依题意有⎩

⎪⎨⎪

⎧

m 2

＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.

答案：－2

11．(2013·福州模拟)已知M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2

－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________.

解析：由题意知3∈M ，故(a 2－3a －1)＋(a 2

－5a －6)i ＝3，所以⎩

⎪⎨⎪⎧

a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解

得a ＝－1.

答案：－1

12．在复平面内，复数1－2i

2＋i

对应的点的坐标为________．

解析：1－2i 2＋i ＝－－＋－＝－5i

5

＝－i ，所以对应点的坐标为(0，－1)．

答案：(0，－1)

13．若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z |的最大值为________．

解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2

＝1，由画图可知|z |的最大值为2.

答案：2

14．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2

)i ，z 2＝21－a

＋(2a －5)i ，若z －1＋z 2是实数，求实数a 的

值．

解析：z －1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2

－10)i ＋21－a

＋(2a －5)i

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋5a －1＋(a 2

＋2a －15)i.

∵z －

1＋z 2是实数， ∴a 2

＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.

又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.