简单复合函数的求导法则

u
x 2
4
x
复复合合而而成．
（4）y （ln2）syin(3sixnx12) 由由yyslinnuu,,uusxin2 v复,v 合 3而x成 1． 复合而
成．
复合函数的导数
新授课
例2 写出由下列函数复合而成的函数： （1）y ln u,u ln x
y cosu,u 1 （x22 ）
解y：（1l）n(ln x).
yt
h(t)
f
( x) (t )
100
x2
2
200
(2t 1)2
将t=3代入 h(t)
得它：表示h(当3)t=3时240，90水（面c高m度/s）下。降的速度为 200 cm/s。
49
例4 求下列函数的导数：
(1) y f (x2 ) (2) y f (sin x)
前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题 中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们
新授课 若y u2 , u 3x 2 f (，x) (3x 2)2 ，求yu , ux , f ( x)
并分析三个函数解析式以及导数之间的关系． yu 2u ux 3 f ( x) [(3x 2)2 ] (9x2 12x 4) 8x 12
函数 f ( x)可由 y u2 , u 3x 2 复合而成． yu ux 2u 3 2(3x 2) 3 18x 12
的导数如何求得？？ 解析
复合函数求导法则的注意问题：
（1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量；
（2）尽可能地将函数化简，然后再求导；
（3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用；
（4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，
一环套一环，缺一不可。
例3
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
(1) y (5x 2)10 (2) y e1cos x
（2） y cos(1 x 2 )
引例
一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形
成一个圆形油膜，其面S积 是半r径 的函数：
S f (r) r 2
油膜半径r 随着时间 t的增加而扩大，其函数关
系为：
r (t) 2t 1
问：油膜面积 S 关于时间 t 的瞬时变化率是多
少？
分析：
油膜面积 S 关于时间 t 的新函数：
复合函数的导数
例题讲解
例3 求
y (2 x 1)5 的导数．
解：设 y u5 , u 2x 1 ， 则
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4
例1 求函数y 3x 1的导数。 解析
例2 求函数y (2x 1)3的导数。 解析
一般地，对函数y f (u) 和u (x) ax b，
给定x 的一个值，可得u 的值，进而确定 y 的值，
这就确定了新函数 y f (ax b)，它是由 y f (u) 和u (x) ax b复合而成的，我们称之为复合函
u 数，其中 是中间变量。
复合函数y f (ax b)的导数：
y (3x 2)2 可由 y u2与 u 3x 2复合得到．
例1 指出下列函数的复合关系：
（1） y (2 x2 )3
（2） y sin x2
（3）y
cos
4
x
（4） y lnsin(3x 1)
解：（（1）3）y
c(2os
x 2)3x
4
y
由由yu3 ,cuos u2, 成．
f (u) f (u)(x) af (ax b)
注意： 复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中
阶段我们u只讨(论x) ax b 的情况。
推广：
复合函数y f (x)中，令 u (x，) 则
对x求导 f (x) f (u)(x) 注意：不要写成 f (x)！
对 ( x )求导
复合函数的导数
S f (t) (2t 1)2 由于 f (t) f (2t 1) (4t2 4t 1)
所以由导数的运算法则可得：
f (t) (8t 4) 4 (2t 1)
∵ f (r) 2r, r (t) 2
∴f (t) 2 (2t 1) 2 f (2t 1)(t)
概括
f ( x) yu ux
复合函数的导数
新授课
一般地，设函数 u ( x) 在点 x 处有导数 ux ( x)，函
数y f (u) 在点x 的对应点u 处有导数yu f (u) ，则复合
y f 函(数( x))
x 在点 处也有导数，且
yx yu ux 或写作
fx(( x)) f (u)( x)
一、教学目标：1、了解简单复合函数 的求导法则；2、会运用上述法则，求简
单复合函数的导数。
二、教学重点：简单复合函数的求导法 则的应用
教学难点：简单复合函数的求导法则的 应用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
复习：两个函数的和、差、积、商的 求导公式。
1、 常见函数的导数公式：
C' 0 (x n )' nxn1 (cosx)' sin x
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程
中，水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位： y h(ts) ） 的10函0 ，数求为函数在t=3时的导数，
2t 1
并解释它的实际意义。
解：函数 y h(t) 100 是由函数 f (x) 100
2t 1
x
与
x (t) 2t 1 复合而成的，其中x是中间变量。
y 50(5x 2)
y sin x e1cos x
2. 求曲线y x (2x 1)2在 x 6处的切线方程。
43x y 143 0
例4
动手做一做
求下列函数的导数：
(1)y f ( 1 ) x
× f ( 1 ) 1 f ( 1 )
x
x2
x
(2)y f ( x2 1)
(sin x)' cosx
2、法则1 [u(x) v(x)]' u ' (x) v' (x)
法则2 [u(x)v(x)] u '(x)v(x) u(x)v '(x) ,
[Cu(x)]
法则3
Cu '(
u v
x)'
u ' v uv ' v2
(v 0)
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复合函数的导数
新授课
函数 y u2 ，u 3x 2 ， y (3x 2)2 构成间的关系？