相似三角形专项

考点2.相似三角形的判定及基本模型

基础知识点

知识点2-1相似三角形的相关概念

1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。

三角形相似具有传递性。

2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。

3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。

若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。知识点2-2相似三角形的判定

判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。重难点题型

题型1

相似三角形的判定【解题技巧】相似三角形的判定方法汇总：

1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

1.如图，点D 、E 分别在ABC ∆的AB 、AC 边上，增加下列哪些条件：①AED B ∠=∠；②AE DE AB BC =；③AD AE AC AB =，使ADE ∆与ACB ∆一定相似（）

A．①③B ．②③C ．①②D ．①②③

2.能判定ABC 与A B C '''V 相似的条件是（）

A ．A

B A

C A B A C =''

''B ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠C ．AB BC A B A C =''''且B A '∠=∠D ．AB AC A B A C =''''，且B B '∠=∠3.如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF BE ⊥，交CD 于F ，连结BF ，则图中与ABE △一定相似的三角形是

A ．EF

B △B ．DEF

C ．CFB

D ．EFB △和DEF

4.如图，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，要使△AED △与ABC 相似，不能添加的条件是()

A ．DE ∥BC

B ．AD•AC=AB•AE

C ．A

D ：AC=A

E ：AB

D ．AD ：AB=D

E ：BC 5.下列各组图形中，不一定相似的是（

）A ．各有一个角是100°的两个等腰三角形

B ．各有一个角是90°的两个等腰三角形

C ．各有一个角是60°的两个等腰三角形

D ．各有一个角是50°的两个等腰三角形

6.如图，在ABC 中，D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，则下列命题中，属于假命题的是（

）

A ．若ADE ABC =∠∠，则ADE ABC

△△∽B ．若

AD AB AE AC =，则ADE ABC △△∽C ．若AD AE CD BE =，则ADE ACB ∽D ．若AD AB DE BC =，则ADE ABC △△∽7.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，过点C 任作一直线l ，过点A 作AD l ⊥于点D ，过点B 作BE l ⊥于点

E ．

（1）指出图中的一对相似三角形并证明；（2）当ABC CBE ∆∆ 时，需添加一个条件，这个条件可以是___(只要求写出一种情况即可)

题型2相似三角形基本模型（A 字型）

【方法点拨】基本模型：

A 字型（平行）反A 字型（不平行）

1．如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且

AE AB AF AC =．（1）求证：AEF ABC ∆∆ ；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FG BD CD

=．

2.已知：如图，点D ，F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，CD 2＝CF •CA ．（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果AC •CF ＝BC •CE ，求证：BD 2＝DE •BA ．

3．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作

CA 的平行线，交边AB 于点E ．

（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF 的值．

4.如图,在ABC 中，45B ∠=︒，5BC =，高4=AD ，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．

(1)求证：AEF ABC ∽；(2)设EF x =，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求出最大面积；

(3)当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线AD 匀速向上运动(当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．

题型3相似三角形基本模型（X 字型）

【方法点拨】基本模型：

X 字型（平行）反X 字型（不平行）

1.如图，已知在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BA •BC ＝BD •BE ．（1）求证：△ABD ∽△EBC ；（2）求证：AD 2＝BD •DE ．