不等式问题探究
关于不等式知识解题的策略研究
关于不等式知识解题的策略研究不等式是数学中的重要概念，在许多数学问题中都扮演着非常重要的角色。
不等式的解题涉及到各种各样的情况和技巧，需要一定的策略和方法来解决。
本文将探讨关于不等式知识解题的策略研究，帮助读者更好地掌握不等式解题的技巧和方法。
一、不等式的基本概念让我们来回顾一下不等式的基本概念。
不等式表示了两个数之间的大小关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等多种形式。
在不等式中，通常会包含未知数，我们的目标是找到未知数的取值范围。
对于不等式5x+3>13，我们需要找到x的取值范围使得不等式成立。
在解不等式时，我们需要考虑到不等式的性质和规律，灵活应用各种方法来解题。
下面就是一些关于不等式解题的策略研究，希望对广大读者有所帮助。
二、不等式解题的策略研究1. 利用增减性质不等式中的增减性质是解题时非常重要的一种策略。
如果我们发现一个函数在某个区间内是增函数或者减函数，那么我们可以利用这个性质来解不等式。
对于不等式2x+1 < 5x-3，我们可以将不等式化简为x>-2，这样就用到了函数2x+1和5x-3的增减性质。
2. 将不等式化简为已知的形式有时候，我们可以将一个复杂的不等式化简为一个已知的形式，然后再求解。
对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以先将它化简为(x-1)(x-3)>0，然后根据乘积的正负性得出x的取值范围。
3. 利用绝对值不等式4. 利用替换法分析法是解不等式时的另一种常见策略。
有时候，我们可以通过对不等式进行分析，找出其特殊的性质或规律，然后再求解。
对于不等式x^2-4x+4>0，我们可以通过分析得出x的取值范围是x≠2。
不等式的秘密与应用技巧
不等式的秘密与应用技巧不等式是数学中的常见问题之一，它涉及到数值之间的大小比较和关系，并用于解决各种实际问题。
然而，不等式能够提供更多的信息，其背后的秘密和应用技巧也是需要探究的。
一、基本概念不等式是指两个数之间的大小关系，其中使用不等于号、大于号和小于号来表示。
例如，a < b 表示 a 小于 b，a > b 表示 a 大于 b，a ≠ b表示 a 不等于 b。
不等式还可分为线性和非线性不等式，线性不等式的表达式为 ax +b <c 或 ax + b > c，a、b、c 为实数，x为变量，而非线性不等式的表达式则不满足线性函数的形式。
二、求解不等式在解“a < b”这样的简单不等式时，我们只需要将 a 和 b 放入数轴上，并在它们之间画一个小圆点表示。
当我们需要解决一个由一系列不等式组成的方程组时，我们可以使用代数方法。
例如，已知 a + 2 > 5 和 2a - 1 < 7，我们可以将其转换为 a > 3 和 a < 4 中两个不等式的交集。
当存在一个或多个不等式的变量无法求解时，我们可以使用图像方法。
使用图像方法时，我们需要把不等式和对应的数轴画在一起，比较两个不等式的交集或并集。
三、应用技巧不等式在许多数学和实际应用中都有重要的作用，以下是一些有用的应用技巧：1. 用于确定数列的最小和最大值：在计算数列中某个元素的最小或最大值时，不等式非常有用。
例如，我们可以使用 C-S 不等式来证明：(a+b)^2 ≤ 2(a^2+b^2)。
2. 用于优化：在优化问题中，不等式可用于确定某些目标数值的最大或最小值。
例如，在最小二乘法中，我们可以使用不等式来寻找最好的拟合曲线。
3. 用于预测和估算：某些不等式可用于预测未来数值。
例如，马尔科夫不等式可用于计算随机变量的概率分布，从而用于预测未来事件的可能性。
4. 用于安全机制：不等式在安全机制中也发挥着重要作用。
对一道轮换对称不等式问题的探究过程
第 ５期
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ｎ Ｏ ． ５ ２ ０ １ ３
０ ◇ ｏ ０ ０ ０ ◇ ◇
等式 问题的探究过程
杨华 文 （ 山东省枣庄 市第三 中学）
于是 ，（ １ ） 当２ ｙ 一１ ＝０时 ， ＝０ 岳Ｄ，所以 ｙ ≠ ．
△：（ ５ ｙ一４ ） 一４ （ ２ ｙ一１ ） ≥０ ，
５ ｙ
一
件 线性 目标 函数 、线性约束条件 非线性 目 标 函数 、非线 性约束
条件线性 目标 函数 、非线性 约束条件非线性 目标 函数这 四类问 题 主要解决 的都 是二元 函数 的最值问题 ，有时还可 以把 三元最 值 问题转化为二 元最值 问题来解 决 ，体现 了降维或者说 是降格
答 案 ： 存 在 ， ｙ ＝ ｝ ．
题７ （ 山东省枣庄市 ２ ０ １ ２年 高三统考题 ）求证 ：— Ｌ
十 Ｖ
＋
５ ＋ ２ ｆ 鲁： ＋ １ 丽 ５ ４ ＋ ２ ｔ ￡ ： ５ ＋ ２ ｔ ３ ２ ’ ５ ＋ ２ ｔ ２ 。
候 ，笔 者又提 出了下面的题 ６ 、题 ７ 、题 ８ 、题 ９ 、题 １ ０ ，结果 题６ 题４ 、题 ５中的Ｐ与 ｇ是否存在分界线 ，若存 在 ，请
为保证求解结果的正确性 ，师又问 ：那么 ｔ 的取值范围又是 至 此擂 台赛 的 ｆ ＊ － Ｉ 题也 就获得 了解 决．当学生正要松 一 口气的 时
什么呢？会否影响 Ｙ的取值范 围？ ） 生： ：会影响 ，根据基本不 等式 易求得 ｔ 的取值范围是 ｔ ≥２ ． 学生都迎刃而解 了．
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
高考数学中的不等式问题解析
高考数学中的不等式问题解析不等式作为高中数学的一项重要内容，是高考数学中常常会涉及的题型。
解决不等式题目需要我们对不等式的基本性质加以理解，以及掌握一些基本的求解方法。
1. 不等式的基本性质在解决不等式问题时，我们需要掌握一些重要的基本性质。
首先，不等式的两边可以同时加上或减去一个相同的数，不等式的方向不会改变。
其次，不等式的两边都可以同乘或同除以一个正数，不等式的方向也不会改变。
但是，如果同乘或同除的数是一个负数，则不等式的方向会发生改变。
另外，多个不等式同时存在时，可以使用“与”、“或”关系进行连接。
例如，当我们需要求解同时满足两个不等式的解时，需使用“与”关系将它们连接。
若需要求解满足其中任意一个不等式的解，则使用“或”关系将它们连接。
2. 常见的不等式类型不等式有很多种类型，这里将介绍一些常见的不等式类型及其解法。
2.1 一次不等式一次不等式即形如ax+b>0（或<0）的不等式。
将变量x解出来后，判断所得出的解关于不等式的符号即可。
例如，问题：求解x+3>7的解。
解答中，将3从左边移到右边得到x>4，因此x的取值范围为x>4。
2.2 二次不等式二次不等式即形如ax²+bx+c>0（或<0）的不等式。
解决二次不等式需要使用一些特殊方法。
2.2.1 中间项系数为正数的二次不等式当二次不等式的中间项系数为正数时，可以将不等式转化为完全平方的形式进行求解。
例如，问题：求解x²+6x+8>0的解。
解答中，将x²+6x+8看作(x+3)²-1的形式，得到(x+3)²-1>0。
由于(x+3)²大于等于0，因此当(x+3)²>1时，不等式成立。
即x<-4或x>-2，x的取值范围为x<-4或x>-2。
2.2.2 中间项系数为负数的二次不等式当二次不等式的中间项系数为负数时，可以将不等式转化为中间项系数为正数的形式进行求解。
关于不等式知识解题的策略研究
关于不等式知识解题的策略研究不等式是数学中一个非常重要的概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
掌握不等式的知识可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，因此不等式知识解题的策略研究就显得尤为重要。
本文将就不等式知识解题的策略进行深入研究，希望能够帮助读者更好地掌握不等式知识，并能够灵活运用这些知识来解决实际问题。
一、对不等式进行准确的理解和分类要解决不等式问题，就需要对不等式进行准确的理解和分类。
不等式是关于数之间大小关系的表示式，它可以是大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）或小于等于号（≤）等关系符号的组合。
根据不等式中变量的次数、次方的大小关系、根式的出现等因素，我们可以将不等式分为一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式、含有绝对值的不等式等不同类型的不等式。
对于不同类型的不等式，解题的策略会有所不同，因此准确的分类是解决不等式问题的第一步。
二、掌握不等式的解题技巧和方法掌握不等式的解题技巧和方法是解决不等式问题的关键。
对于一元一次不等式，我们可以通过加减法、乘除法进行变形，从而得到不等式的解；对于一元二次不等式，我们可以利用分解因式、配方法、求解二次函数的顶点等方法来求解；对于一元高次不等式，我们则需要通过一些较复杂的算法和公式来求解。
对于含有绝对值的不等式，我们也需要利用绝对值的性质进行分析和求解。
要想解决好不等式问题，就需要在平时多加练习，掌握不同类型不等式的解题技巧和方法。
三、灵活运用不等式知识解决实际问题不等式知识的应用并不仅限于书本中的题目，它还能够帮助我们解决实际生活中的问题。
在日常生活中，我们常常会遇到关于收入、支出、投资、利润等与大小关系相关的问题，这些问题都可以通过不等式知识来解决。
又如，在工程和科学领域，不等式知识也经常用来进行优化设计、数据分析和模型求解等工作。
掌握不等式知识不仅可以帮助我们在学习中取得好成绩，还能够在实际生活和工作中发挥重要作用。
关于不等式知识解题的策略研究
关于不等式知识解题的策略研究不等式是数学中的一个重要概念，它在解决问题中起着重要作用。
不等式知识的掌握对于学生来说是十分重要的，但是要想解题就需要一些有效的策略。
本文将围绕不等式知识解题的策略进行研究，希望能够对学生在解题过程中提供一些帮助。
一、理解不等式的基本概念要想解题，就需要对不等式的基本概念有一个清晰的理解。
不等式是比较两个数的大小关系的一种数学表达方式。
它可以表示为“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等关系。
a＞b表示a大于b，a＜b表示a小于b，a≥b表示a大于等于b，a≤b表示a小于等于b。
对于不等式，我们还需要了解一些基本的性质，例如：同一个数乘（或除）不等式两边的数，不等式的大小关系不变；对不等式两边同时加（或减）一个数，不等式的大小关系不变；对不等式两边同时乘（或除）一个正数，不等式的大小关系不变，但对不等式两边同时乘（或除）一个负数，不等式的大小关系会改变。
在理解了不等式的基本概念和性质之后，我们才能够更好地运用不等式解题的策略。
二、掌握常见类型的不等式在解题过程中，我们会遇到各种各样的不等式，因此要想有效解题，就需要掌握常见类型的不等式。
常见的不等式类型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。
1. 一元一次不等式一元一次不等式的一般形式为ax + b > c或ax + b < c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元一次不等式的关键是找到未知数x的取值范围，从而得出不等式的解集。
三、灵活运用不等式的性质和变形在解不等式的过程中，我们可以根据不等式的性质和变形来简化或转化不等式，从而更方便地求解不等式。
2. 利用不等式的变形有时候，我们可以对不等式进行一些变形，使得不等式的结构更简洁、更容易求解。
可以将不等式两边同时乘以一个未知数的倒数，或者将不等式两边两两相乘，或者将不等式进行平方等操作，从而使不等式更容易求解。
通过灵活运用不等式的性质和变形，可以使不等式的求解过程更加简单和高效。
高一不等式恒成立问题3种基本方法
高一不等式恒成立问题3种基本方法文章标题：探讨高一不等式恒成立问题的三种基本方法在高中数学学习中，不等式恒成立问题是一个很常见的题型。
学生们通常需要掌握多种方法来解决这类问题，而这些方法通常可以分为三种基本类型。
本文将会详细介绍这三种基本方法，帮助读者全面理解这一数学概念。
1. 方法一：代数法我们来介绍代数法。
这种方法是在不等式两边进行代数变换，使得不等式变成一个容易解决的形式。
代数法通常包括加减变形、乘除变形以及平方去根等技巧。
以不等式ax+b>0为例，我们可以通过移项得到ax>-b，然后再除以a的正负来确定不等式的方向，从而得到不等式的解集。
代数法在解决不等式恒成立问题中应用广泛，能够快速简便地找到解的范围和规律。
2. 方法二：图像法我们介绍图像法。
图像法是通过绘制不等式所代表函数的图像，来直观地找出不等式恒成立的区间。
对于一元一次不等式ax+b>0，我们可以画出函数y=ax+b的图像，从而通过观察图像的上升或下降趋势来确定不等式的解集。
图像法能够帮助我们更直观地理解不等式的性质和范围，提高我们的思维逻辑和空间想象能力。
3. 方法三：参数法我们介绍参数法。
参数法是通过引入一个或多个参数，将不等式转化为一个有参数的等式问题，进而进行求解。
参数法的典型应用包括辅助角法、二次函数法等。
以不等式ax²+bx+c>0为例，我们可以引入Δ=b²-4ac，然后根据Δ的正负来确定不等式的解集。
参数法在解决不等式问题中能够简化问题的复杂度，将不等式的求解转化为参数的求解，从而提高解题的效率和准确度。
总结回顾通过对以上三种基本方法的介绍，我们可以发现它们各有特点，应用范围和解题思路有所不同。
代数法能够利用代数变形快速求解不等式问题，图像法能够帮助我们直观地理解不等式的性质，而参数法则能够将问题转化为参数的求解，提高解题的效率。
个人观点和理解在实际解题中，我们应该根据具体情况灵活选用这三种方法，结合题目的特点和自身的掌握程度来选择合适的解题方法。
关于不等式知识解题的策略研究
关于不等式知识解题的策略研究不等式是数学中的一个重要概念，它代表着数学中的大小关系。
对于不等式知识的掌握，对学生的数学能力的提高和应用能力的建设有着至关重要的作用。
本文将通过对不等式知识解题的策略研究，探讨如何在数学学习中更好地理解和应用不等式知识。
一、了解不等式的基本概念不等式是数学中的一种表示大小关系的符号，它由两个数之间的“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号构成，例如：x＞y、x＜y、x≥y、x≤y。
需要了解的是，不等式的符号是具有传递性的，即如果a＞b，b＞c，则a＞c，这一点在多次求解不等式时非常重要。
二、掌握不等式的求解方法对于单一的不等式式子，我们可以通过移项、相乘相除等方式进行求解，以求得未知量的取值区间。
同时，求解不等式需要注意将正确的值带入不等式中检验其是否符合原不等式的条件。
对于多个不等式式子的组合，需要采用一定的方法来求解。
例如：已知不等式x＜3和y＞5，如何求解不等式x+y＜5的解析式？我们可以将x＜3改写为x-3＜0，y＞5改写为y-5＞0，然后将不等式x+y＜5转换为x+y-5＜0。
因此，我们需要求解的是一个由三个不等式组成的不等式组：x-3＜0、y-5＞0、x+y-5＜0。
对于这种类型的不等式组，我们可以使用不等式的交集和并集的方法得出其解析式。
具体方法为：将不等式转换为格拉布斯形式，然后找出每个不等式的值域，最后求出不等式集合的交集或并集即为其解析式。
三、灵活运用不等式解题技巧在实际的数学学习中，我们需要灵活运用不等式解题技巧。
以下是一些常见的不等式解题技巧：1. 推导出未知量的取值范围：我们可以通过移项、化简等方式推导出未知量的取值范围。
2. 利用平均数不等式：平均数不等式是常用的解不等式的方法，它将未知量的平均值与最极端值进行比较，从而得出不等式的解析式。
3. 利用函数的单调性：函数的单调性可以用于证明不等式，例如，如果f(x)在[a,b]上单调递增，则有f(a)≤f(x)≤f(b)，反之，如果f(x)在[a,b]上单调递减，则有f(b)≤f(x)≤f(a)。
关于不等式知识解题的策略研究
关于不等式知识解题的策略研究1. 引言1.1 背景介绍不等式是数学中重要的概念之一，它在解决各种实际问题中起着至关重要的作用。
从初中阶段开始，我们就开始接触不等式知识，但随着学习的深入，难度也不断提升。
正确的掌握不等式知识并运用到实际问题中，对培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力有着重要意义。
随着近年来数学竞赛在各个层次的普及，不等式题目也成为了竞赛中的常见考点。
深入研究不等式知识及解题策略对于提高学生在数学竞赛中的表现具有重要意义。
通过系统学习不等式的基础知识，掌握不同类型的不等式解题策略，并通过实例分析各类不等式题目，可以帮助学生更好地掌握不等式知识，提高解题效率。
本文旨在从不等式的基础概念入手，系统梳理不等式的解题策略和常见类型，进而探讨不等式知识在数学竞赛中的应用。
通过深入研究不等式知识，帮助读者更好地理解不等式的重要性及解题技巧，从而在解决实际问题和参加数学竞赛中取得更好的成绩。
1.2 研究意义研究不等式知识解题的策略具有重要的意义。
不等式是数学中的基础知识之一，掌握不等式解题策略可以帮助学生建立扎实的数学基础，提高数学学习的效率。
不等式在数学竞赛中占据着重要的地位，许多数学竞赛中的题目都涉及到不等式的应用，掌握不等式解题策略可以帮助学生在竞赛中取得更好的成绩。
不等式知识的研究也有助于拓展数学思维，培养学生的逻辑推理能力和分析问题的能力。
深入研究不等式知识解题的策略对于提升学生数学素养、促进数学教育的发展具有重要的意义。
通过对不等式知识的研究，可以更好地指导教学实践，为学生提供更加全面和系统的数学教育，推动数学教育教学的不断改进和完善。
1.3 研究方法在不等式知识解题的研究中，研究方法起着至关重要的作用。
研究方法的选择直接影响着研究成果的质量和效果。
一般来说，不等式知识解题的研究方法包括理论研究、实证研究和应用研究。
理论研究是不等式知识解题研究的基础。
通过对不等式的基本概念和性质进行深入剖析，揭示不等式解题的规律和方法。
不等式常见题型及解析题
不等式常见题型及解析题一、一元一次不等式1.问题描述解不等式$a x+b>c$，其中$a>0$。
2.解法分析根据不等式的性质，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax+b=c$$然后确定不等式的解集。
（1）当$a>0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。
此时，对于任意一个满足$c-b>0$的$x$，都可以使得$a x+b>c$，所以解集为$\le ft(\fr ac{c-b}{a},+∞\ri gh t)$。
（2）当$a<0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。
此时，对于任意一个满足$c-b<0$的$x$，都可以使得$a x+b<c$，所以解集为$\le ft(-∞,\f r ac{c-b}{a}\r igh t)$。
（3）当$a=0$时此时，不等式退化为$b>c$或$b<c$，没有变量$x$，所以不存在解。
二、一元二次不等式1.问题描述解不等式$a x^2+bx+c>0$，其中$a>0$。
2.解法分析和一元一次不等式类似，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax^2+b x+c=0$$然后确定不等式的解集。
（1）当$a>0$时判断二次函数$a x^2+b x+c$的图像与$x$轴的交点数：-当判别式$Δ=b^2-4a c$大于0时，二次函数与$x$轴有两个交点，此时不等式的解集为$\le ft(-∞,x_1\ri gh t)\c up\le ft(x_2,+∞\ri g ht)$，其中$x_1$和$x_2$分别为二次方程$a x^2+b x+c=0$的两个根。
-当判别式$Δ=b^2-4a c$等于0时，二次函数与$x$轴有一个交点，此时不等式的解集为$\ma th bb{R}$，即全体实数的集合。
-当判别式$Δ=b^2-4a c$小于0时，二次函数与$x$轴没有交点，此时不等式的解集为空集。
不等式恒成立问题—8种解法探析
不等式恒成立问题—8种解法探析不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为解：（I）（过程略）．（II）（过程略）函数的单调减区间为，函数的单调增区间为．（III）由（II）可知，函数在处取得极小值，此极小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．所以的取值范围为．评注：最值法是我们这里最常用的方法．恒成立；恒成立．2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．解：（I）（过程略）函数的单调增区间为，的单调减区间为（II）不等式等价于不等式，由于，知；设，则．由（I）知，，即；于是，，即在区间上为减函数．故在上的最小值为．所以的最大值为．评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象（如右），从图象中容易知道：当且时，函数的图象恒在函数上方，不合题意；当且时，欲使函数的图象恒在函数下方或部分点重合，就必须满足，即．故所求的的取值范围为．评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．解：设，，则原问题转化为恒成立的问题．故应该有，解得或．所以实数的取值范围是．评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．解：（I）递推式可以化归为，，所以数列是等比数列，可以求得对于任意，．（II）假设对于任意有，取就有解得；下面只要证明当时，就有对任意有由通项公式得当（）时，当（）时，，可见总有．故的取值范围是评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．解：（i）当时，显然＜0成立，此时，（ii）当时，由＜0，可得＜＜，令则＞0，∴是单调递增，可知＜0，∴是单调递减，可知此时的范围是（—1，3）综合i、ii得：的范围是（—1，3）．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对进行分段讨论，当时，不等式恒成立，所以，此时；当时，不等式就化为，此时的最小值为，所以；当时，不等式就化为，此时的最大值为，所以；由于对上面的三个范围要求同时满足，则所求的的范围应该是上三个的范围的交集即区间说明：这里对变量进行分段来处理，那么所求的对三段的要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．解：设，则，有．这样，，则，函数在为减函数．因此；而（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是．评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．解：当时，不等式化为，显然对一切实数恒成立；当时，要使不等式一切实数恒成立，须有，解得．综上可知，所求的实数的取值范围是．不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵，∴不等式可以化为；下面只要求在时的最小值即可，分段处理如下．当时，，，再令，，它的根为；所以在区间上有，递增，在区间上有，递减，则就有在的最大值是，这样就有，即在区间是递减．同理可以证明在区间是递增；所以，在时的最小值为，即．技巧解：由于，所以，，两个等号成立都是在时；从而有（时取等号），即．评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．。
高中数学不等式解题难点及策略探究
an －bn )
(
(
an －bn)
an－１－bn－１)
n
(
an－１－bn－１)≥０,且(
a
b)
＞０,则
≥
n
(
a
b)
得证．０,Biblioteka bn－１ an－１ １ １
综上所述,
＋ n ≥ ＋ ．
a b
an
b
证明的难点在于根据已知条件进行分类讨
论,学生 在 解 答 不 等 式 问 题 时,应 具 备 分 类
各类测试考 查 的 重 点 ．不 等 式 知 识 较 为 抽 象,题 型 复
杂多变,很多 学 生 面 对 不 等 式 类 型 的 题 目 不 知 所 措,
是失分率较高的题型 ．因 此,教 学 实 践 中,教 师 应 依 托
具体题目,为学生剖析难 点,提 出 相 应 的 解 题 策 略,提
升学生求解不等式问题的能力 ．
１ １ (
a －b )(
a －bn－１)
－ － ＝
≥０．
n
(
a b
bn
ab)
n
当 a＞０,
b＞０ 时,(
ab)
＞０,(
an －bn )(
an－１ －
(
an －bn )(
an－１ －bn－１) ,得证
≥０
．
n
(
ab)
当 a,
b 其中有一个为负值时,不妨设 a＞０,
b＜０,
bn－１)≥０,所以
且a＋b＞０,即a＞|
解,引导学生找到证明的突 破 口 ．同 时,要 鼓 励 学 生 摘
看错题,加深印象 ．
bn－１ an－１
不等式的应用与问题解决
不等式的应用与问题解决不等式是数学中常见的基本概念之一，它描述了数值之间的大小关系。
在现实世界中，不等式有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种问题。
本文将探讨不等式的应用以及如何使用它们来解决问题。
一、不等式在经济领域的应用1.利润问题：假设一个企业每月的固定成本为C元，每个产品的生产成本为V元，售价为P元，销售量为x个。
利润表示为P * x - (C + V * x)。
我们可以建立不等式P * x - (C + V * x) ≥ 0来表示企业的盈利状况。
通过解这个不等式，我们可以确定销售量的范围，从而帮助企业决策。
2.投资问题：假设一个人在银行存款利息为r的情况下，存入本金P元。
经过t 年，该人希望得到的总额超过初始本金的两倍，即P * (1 + r)^t ≥ 2P。
通过解这个不等式，我们可以确定存款的年限范围，帮助人们做出正确的投资决策。
二、不等式在科学领域的应用1.温度问题：热力学中的不等式可以帮助我们理解温度的传导过程。
例如，根据热导率公式，传热速率Q与温度差ΔT成正比，与物体的面积A和距离l成反比。
我们可以建立不等式Q/A ≤ k * ΔT/l来描述热传导过程，其中k为热导率。
通过解这个不等式，我们可以确定热传导的最大速率。
2.物质平衡问题：在化学反应中，物质的质量守恒是一项重要原则。
我们可以使用不等式来描述物质的转化过程。
例如，对于AB → CD的反应，我们可以建立不等式m(A) + m(B) ≥ m(C) + m(D)，其中m表示物质的质量。
通过解这个不等式，我们可以验证反应是否符合质量守恒的原则。
三、不等式在社会生活中的应用1.健康问题：健康是每个人都关注的重要问题。
体重是我们关注的一个指标，那么我们可以使用不等式来判断是否超重。
假设一个人的体重为W，身高为H，BMI指数定义为W/H^2。
根据世界卫生组织的标准，BMI超过25表示超重，我们可以建立不等式W/H^2 ≥ 25来判断一个人的体重状态。
求解不等式恒成立问题的三种途径
考点透视不等式恒成立问题的常见命题形式有：（1）证明某个不等式恒成立；（2）根据恒成立的不等式求参数的取值范围.求解不等式恒成立问题的常用思路有：构造函数、分离参数、数形结合等.对于不同的不等式，往往需采用不同的途径进行求解.下面结合实例来进行探究.一、构造函数在求解不等式恒成立问题时，我们可先将不等式左右两边的式子移项、变形；然后将不等式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，通过研究函数的单调性，求得函数的最值，来证明不等式恒成立.在求函数的最值时，可根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系来判断函数的单调性；也可以利用简单基本函数的单调性来求得函数的最大、最小值，建立使不等式恒成立的式子，即可解题.例1.求证：当x >-1时，1-1x +1≤ln ()x +1≤x 恒成立.证明：设f ()x =ln ()x +1-x ，求导可得f ′()x =1x +1-1=-x x +1，因为当-1<x <0时，f ′()x >0，当x >0时，f ′()x <0，所以函数f ()x 在()-1,0上单调递增，在()0,+∞上单调递减，即f ()x ≤f ()0=0，故f ()x =ln ()x +1-x ≤0，即ln ()x +1≤x .令g ()x =ln ()x +1+1x +1-1，则g ′()x =1x +1-1()x +12=x ()x +12，因为当-1<x <0时，g ′()x <0，当x >0时，g ′()x >0，所以函数g ()x 在()-1,0上单调递减，在()0,+∞上单调递增，可知g ()x ≥g ()0=0，故ln ()x +1+1x +1-1≥0，ln ()x +1≥1-1x +1，综上可知，当x >-1时，不等式1-1x +1≤ln ()x +1≤x 恒成立.要证明目标不等式恒成立，需分两步进行，先证明ln ()x +1≤x ，再证明ln ()x +1≥1-1x +1.在证明这两个不等式时，都需要先将不等式左右两边的式子作差、移项，构造出新函数f ()x =ln ()x +1-x 、g ()x =ln ()x +1+1x +1-1；然后对函数求导，分析导函数与0之间的大小关系，判断出函数的单调性，进而求得函数的极值，从而得出f ()x min =0、g ()x max =0，即可证明f ()x ≤0、g ()x ≥0.例2.设函数f ()x =e x ln x +2e x -1x，曲线y =f ()x 在点()1，f ()1处的切线方程为y =e ()x -1+2，证明：不等式f ()x >1恒成立.证明：由f ()x >1可得x ln x >xe -x -2e，令g ()x =x ln x ，可得g ′()x =ln x +1，∵当x ∈æèöø0,1e 时，g ′()x <0；当x ∈æèöø1e ,+∞时，g ′()x >0，∴函数g ()x 在æèöø0,1e 上单调递减，在æèöø1e ,+∞上单调递增，∴g ()x ≥g æèöø1e =-1e ，令h ()x =xe -x -2e，则h ′()x =e -x ()1-x ，∵当x ∈()0,1时，h ′()x >0；当x ∈()1,+∞时，h ′()x <0，∴函数h ()x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴h ()x ≤h ()1=-1e，∴当x >0时，g ()x >h ()x ，即不等式f ()x >1成立.由于不等式x ln x >xe -x -2e左右两侧的式子分别含有对数式、指数式，于是分别令g ()x =x ln x 、h ()x =xe -x -2e，那么只要证明g ()x min ＞h ()x max ，即可证明不等式恒成立.利用导数法求出函数g ()x 、h ()x 在定义域内的最值，即可证明不等式成立.在构造函数时，要注意观察不等式的结构特点，将其进行合理的变形，以便构造出合适的函数模型，从而顺利证明不等式.二、分离参数对于含参不等式恒成立问题，我们通常要采用分离参数法，将不等式中的参数、变量分离，即使不等式一侧的式子中含有参数、另一侧的式子中含有变量，得到形如a ≥f ()x 、a ≤f ()x 的不等式.探讨函数f ()x 在定义域内的最值与参数a 的大小关系，即可求得问赵瑛琦37考点透视题的答案.例3.已知函数f ()x =ln 2()1+x -x 21+x.(1)求函数f ()x 的单调区间；(2)若对于任意n ∈N ∗，不等式æèöø1+1n n +a≤e 恒成立，求参数a 的最大值.解：(1)函数f ()x 的单调递增区间为()-1,0，单调递减区间为()0,+∞；（过程略）(2)不等式æèöø1+1n n +a≤e 等价于()n +a ln æèöø1+1n ≤1，因为1+1n ≥1,所以a ≤1ln æèöø1+1n -n，设g ()x =1ln ()1+x -1x ，x ∈(]0,1，则g ′()x =-1()1+x ln 2()1+x +1x 2=()1+x ln 2()1+x -x 2x 2()1+x ln 2()1+x ，由(1)可得ln 2()1+x -x 21+x≤0，即()1+x ln 2()1+x -x 2≤0，故当x ∈(]0,1时，g ′()x ≤0，函数g ()x 单调递减，即g ()x 在(]0,1上的最小值为g ()1=1ln 2-1，故a 的最大值为1ln 2-1.由于参数a 为指数，所以考虑对不等式左右两边的式子取对数，以将参数分离，得到a ≤1ln æèöø1+1n -n .只要求得1ln æèöø1+1n -n的最小值，即可求得a 的最大值.于是构造函数g ()x =1ln ()1+x -1x ，利用导数法求得函数的最小值，即可解题.在分离参数时，可通过移项、取对数、取倒数等方式，使参数与变量分离.例4.已知函数f ()x =-x ln x +a ()x +1，若f ()x ≤2a 在[)2,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.解：当x ≥2时，由f ()x ≤2a 可得a ≤x ln xx -1，令g ()x =x ln x x -1,x ≥2，∴g ′()x =ln x -x +1()x -12，令h ()x =ln x -x +1，x ≥2，∴h ′()x =1x-1，∵当x ≥2时，h ′()x ＜0，函数h ()x 单调递减，∴h ()x ≤h ()2=ln 2+1＞0，∴g ′()x ＞0，函数g ()x 在[)2,+∞上单调递增，∴g ()x ≥g ()2=2ln 2，∴a ≤g ()x min =g ()2=2ln 2，∴实数a 的取值范围为(]-∞,2ln 2.先将不等式变形，使参数a 单独在不等式的左边，得到不等式a ≤x ln xx -1；然后在定义域[)2,+∞内求不含参函数式的最小值，即可求得参数a 的取值范围.三、数形结合有时不等式中的代数式可用几何图形表示出来，如y =kx 表示的是一条直线；y =a x 、y =x a 表示的是两条曲线；x 2+y 2=1表示的是一个圆，此时就可以采用数形结合法，根据代数式的几何意义画出图形，通过分析图形中曲线、直线之间的位置关系，研究图形的性质，来证明不等式成立.例5.若不等式e x ≥kx 对任意x 恒成立，则实数k 的取值范围为_____.解：设过原点的直线与y =e x相切于点()x 0,ex 0，∵y ′=e x，∴由几何导数的意义可知切线的斜率为k =e x，∴切线的方程为y -e x 0=e x 0()x -x 0，∵切线经过点()0,0，可得x 0=1，∴切线的斜率k =e .由图可知，要使等式e x ≥kx 恒成立，需使y =e x的图象始终在直线y =kx 的上方，∴0≤k ≤e .根据不等式两侧式子的几何意义画出图形，即可将不等式问题看作函数y =e x 和直线y =kx 的位置关系问题.结合图形讨论函数y =e x 和直线y =kx 的位置关系，并根据导函数的几何意义求得切线的方程，即可得到关于参数的新不等式.运用数形结合法解题，需密切关注直线、曲线之间的临界情形，如相切、相交的情形，从而确定参数的临界值.可见，解答不等式恒成立问题，需注意以下几点：（1）仔细观察不等式的结构特点，并将其进行合理的变形，如作差、移项、分离参数；（2）合理构造函数模型，将问题转化为函数最值问题，以便利用导数法、函数的单调性求得最值；（3）灵活运用数形结合思想，以直观、便捷的方式来解题.（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）38。
不等式的恒成立问题基本解法9种解法
不等式的恒成立问题基本解法9种解法在解决不等式的恒成立问题时，有多种基本解法可以选择，每种解法都有其独特的特点和适用场景。
在本文中，我们将深入探讨不等式的恒成立问题，并从不同的角度提出9种基本解法，帮助读者更全面、深入地理解这一主题。
1. 直接法直接法是解决不等式的恒成立问题最直接的方法。
通过对不等式的特定性质和条件进行分析，直接得出不等式恒成立的结论。
这种方法通常适用于简单的不等式，能够快速得到结果。
2. 间接法间接法是一种通过反证法或对立法解决不等式的恒成立问题的方法。
当直接法无法直接得出结论时，可以尝试使用间接法来推导不等式的恒成立条件。
这种方法通常适用于较为复杂的不等式，可以通过推翻假设得到结论。
3. 分类讨论法分类讨论法是一种将不等式的条件分为多种情况进行分析的方法。
通过将不同情况进行分类讨论，找出每种情况下不等式的恒成立条件，从而得出综合结论。
这种方法适用于不等式条件较为复杂的情况，能够全面考虑不同情况下的特殊性。
4. 代入法代入法是一种通过代入特定的数值进行验证的方法。
通过选择合适的数值代入不等式中，可以验证不等式在特定条件下是否恒成立。
这种方法通常适用于验证不等式的特定性质或条件。
5. 齐次化法齐次化法是一种将不等式中的不定因子统一化的方法。
通过将不等式中的不定因子进行统一化，可以简化不等式的表达形式，从而更容易得出不等式的恒成立条件。
这种方法通常适用于不等式较为复杂的情况，能够简化问题的复杂度。
6. 几何法几何法是一种通过几何形象进行分析的方法。
通过将不等式转化为几何图形，可以直观地理解不等式的恒成立条件。
这种方法通常适用于具有几何意义的不等式问题，能够通过几何图形进行直观分析。
7. 递推法递推法是一种通过递归关系进行推导的方法。
通过建立递推关系，可以得出不等式的递推解，从而得出恒成立条件。
这种方法通常适用于递推关系较为明显的不等式问题，能够通过递推求解不等式问题。
8. 极限法极限法是一种通过极限的性质进行分析的方法。
数学不等式题目有效解题方法研究
祖国2019.4.上不等式内容是高中数学学习的重要组成部分，是一种不可或缺的运算符号，能够解决生活生产中遇到的问题。
但由于不等式问题易错点和知识掌握不牢固的原因，学生在解答不等式问题中造成解题的无效性。
为此，笔者结合自身不等式学习情况，对不等式解题方法进行如下阐述。
一、数学不等式问题易错点分析（一）忽视参变量符号忽视参变量符号，是造成不等式学习出错最普遍的一种情况。
在日常学习和解决不等式题目中，学生需要重视参变量符号，从而提高不等式问题的解决效率。
例如,的不等式解集计算中，我们很容易忽视不等式的参变量符号，进而得出该不等式的解集在x>1或x<-1中。
实则，在注意到参变量符号后，得出该不等式的正确解集为-1<x<1。
（二）不等式性质应用性质是决定任何事物的基石，同理，不等式性质是解决不等式题目的重要基础。
但在不等式学习过程中，学生往往会由于忽略不等式的性质造成求解不等式出错的情况，这也是学生解决不等式问题失误的重要原因之一。
例如，正数x 、y 符合x+y=1的要求，求不等式最小值。
在实际求解中，我们直接根据利用α>0，得出，最终求出Z 的最小值为4；或者根据不等式列出，求出Z 的最小值为。
上述两种不等式求解中都忽视了对不等式性质的应用，造成条件中的矛盾关系，进而得出错误答案。
实际上，该不等式应利用不等式性质化简得出，再结合区间单调性，求出Z 的最小值为。
（三）高次不等式问题高次不等式是高中数学不等式中的常见题型，也是学生最容易出错的不等式问题。
其主要原因一方面是学生忽视分母不能为零，另一方面是学生不能确定解集边界值，还有就是在使用穿根法的过程中不确定函数的升降规律。
因此，在解决高次不等式试题中，我们应在日常学习中，针对上述三种原因进行针对性学习，避免解题失误，提高高次不等式答题效率。
二、数学不等式题目的解题方法研究（一）绝对值不等式的解题方法绝对值不等式是高中不等式中的常见题型，同时难度较高。
运用基本不等式解题常见问题对策探求
运用基本不等式解题常见问题对策探求安徽省朴初中学 黄军华利用基本不等式求最值是高中数学中常用方法之一，在使用时应注意基本不等式的条件“一正、二定、三相等”.在解题的过程中，往往不能直接套用公式，即出现“变量是负数”、“和（或积）不是定值”、“等号取不到”等情形，这时该怎么办？下面针对部分情况提出对策.一、和（或积）不是定值对策：变量为正数时“若和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值”.当和（或积）不是常数时，可以用凑项法、配系数法、拆项法、平方法、纳入根号内法、取倒数法等.对策一、拆项 分拆已知项在注意等号成立的条件下，把和（积）变成定值例1、求函数)0(322>+=x x x y 的最小值。
解析：x x x y 232322++=时取等号）xx x x x 232(36232323232332==⋅⋅≥，所以仅当3min 3362326=y ，。
评析：目标求和的最值，凑定积是关键，因此均分x3为相同的两项，同时使得含变量的因子x 的次数和为零。
思路不教练，功底不扎实是无法完成变形目标的。
练习1：已知10x a<<（a 为已知常数），求函数22(1)y a x ax =-的最大值对策二：使用均值不等式时，若能从等号成立的条件入手巧妙地配项则可把问题转化例2：已知1a 、2a 、 、n a 为整数，且121n a a a +++= ，求证：222121223112n n a a a a a a a a a +++≥+++练习：已知,,a b c R +∈满足1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥对策三、添、凑项 在凑“和”或“积”为定值时，还要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项，常见的凑项方法有：（1）、系数变形在利用均值不等式时，有时系数并不满足均值不等式的要求，需要对系数加以变形处理，使之满足要求，利用均值不等式求解。
例3、已知0>a ，0>b ，且3222=+b a ，求212b a +的最大值。
一元一次不等式的实际问题
一元一次不等式的实际问题一元一次不等式是数学中常见的一种形式，可以用来描述现实生活中的很多实际问题。
在本文中，我们将探讨一元一次不等式的应用，介绍一些实际问题，并给出相应的解决方法。
1. 简单的一元一次不等式问题首先，我们来看一个简单的一元一次不等式问题。
假设某人的年收入为x万元，他的生活开销为y万元。
已知他的年收入在5万至10万元之间，生活开销不能超过年收入的30%。
我们可以用以下不等式来描述这个问题：5 ≤ x ≤ 10y ≤ 0.3x其中，第一个不等式表示年收入的范围，第二个不等式表示生活开销不能超过年收入的30%。
解决这个问题的方法是找到满足这两个不等式的解集。
根据第一个不等式，x的取值范围是[5, 10]，根据第二个不等式，y的取值范围是[0, 0.3x]。
因此，满足两个不等式的解集可以表示为：5 ≤ x ≤ 100 ≤ y ≤ 0.3x这个解集表示了满足条件的年收入和生活开销的取值范围。
2. 一元一次不等式在实际问题中的应用一元一次不等式可以应用于很多实际问题中，例如经济学、物理学、工程学等领域。
下面我们来看一些具体的例子。
例子1：生产成本与产量的关系假设某个工厂的生产成本和产量之间存在如下关系：生产成本每增加一单位，产量将减少2单位。
已知当生产成本为1000万元时，产量为5000单位。
我们可以用以下不等式来描述这个问题：x ≥ 1000y ≤ 5000 - 2(x - 1000)其中，x表示生产成本（单位：万元），y表示产量（单位：单位）。
解决这个问题的方法是找到满足不等式的生产成本和产量的取值范围。
根据第一个不等式，生产成本的取值范围是[x ≥ 1000]，根据第二个不等式，产量的取值范围是[y ≤ 5000 - 2(x - 1000)]。
因此，满足两个不等式的解集可以表示为：x ≥ 1000y ≤ 5000 - 2(x - 1000)这个解集表示了满足条件的生产成本和产量的取值范围。
不等式问题求解技巧
不等式问题求解技巧不等式是数学中常见且重要的问题类型，解决不等式可以帮助我们确定未知变量的区间范围，从而解决实际问题。
接下来，我将为您总结一些解决不等式问题的技巧和方法。
1. 理解不等式的意义：不等式是带有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）的数学表达式。
不等式解表示使不等式成立的变量的取值范围。
求解不等式时，我们要找到使不等式成立的变量的取值范围。
2. 不等式的基本性质：a. 相等性质：如果两个不等式的两边相等，那么原来的不等式仍然成立。
例如，如果a > b，那么a + c > b + c。
b. 翻转性质：如果两个不等式两边同时取负号，那么不等号的方向会变化。
例如，如果a > b，那么-c > -d。
c. 乘法性质：如果两个不等式的两边同时乘以一个正数，那么不等号的方向保持不变。
例如，如果a > b，且c > 0，那么ac > bc。
d. 除法性质：如果两个不等式的两边同时除以一个正数，那么不等号的方向保持不变。
例如，如果a > b，且c > 0，那么a/c > b/c。
3. 解一元一次不等式的方法：a. 将不等式中的变量项移到一边，使不等式等于0。
例如，将不等式3x - 2 > 0转化为3x - 2 - 0 > 0。
b. 解一元一次方程3x - 2 = 0，找到x = 2/3。
c. 在数轴上标记出x = 2/3这个点。
d. 将数轴分成三段（小于2/3的部分、大于2/3的部分以及2/3本身）。
e. 在每个区间内选择一个测试点，带入不等式中，判断不等式的正误。
f. 根据测试得到的结果确定数轴上的不等式解的范围。
4. 解一元二次不等式的方法：a. 将不等式中的变量项移到一边，使不等式等于0。
例如，将不等式x^2 - 3x + 2 > 0转化为x^2 - 3x + 2 -0 > 0。
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4.已知 ,求 的最小值及取最小值时 的值.
知识点二:二次约束
【典型例题】
例1已知实数 满足 ,则 的最大值为______.
例2已知实数 满足 ,则 的最小值为______,最大值为______.
例3已知 , ,则 的最小值是______.
学生:教师:项希阳科目:数学时间:2015年05月14日
课题
不等式问题探究
教学目标
1.熟练掌握基本不等式的相关结论.
2.掌握不等式问题的几何技巧.
3. Cauchy不等式与向量的数量积.
重点、难点
重点:基本不等式与函数思想
难点:基本不等式使用限制与取等条件
考点及考试要求
选择、填空均有考察,解答题中有穿插
例4若实数 满足 ,且 ,则 的最大值为.
例5对于给定的正数 ,当非零实数 满足 ,且使得 最大时,求
的最小值.
练习
1.在直径为 的圆的内接矩形中,问这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大,最大面积是多少?
2.已知正实数 满足 , 且 ,则 的最大值为______.
3.已知 ,且 ,求 的最大值.
求使 面积最小的直线 方程.
第1题图
2.已知不等式 对任意正实数 恒成立,则正实数 的最小值为_.
课后作业
1.已知 ,且 ,求:
(1) 的取值范围; (2) 的取值范围; (3) 的取值范围.
课后小结
本节课我们学பைடு நூலகம்了:
下节课准备:
下节课时间:
教学内容
错题重现
知识点一:线性约束
【典型例题】
例1若 ,且 .
(1)求 的最大值,及此时 的值;
(2)求 的最小值,及此时 的值;
(3)求 的最小值及此时 的值.
例2点 在直线 上,则 的最小值为_.
例3若实数 满足 ,则 的最小值为___.
练习
1.若 且 ,则 的最大值为.
2.已知直角三角形两条直角边的和等于 ,求面积最大时斜边的长,最大面积是多少?
4.已知 ,且 ,求 的最小值.
5.设 是 外接圆的圆心, 分别为角 所对的边,已知 ,则
的取值范围是________.
知识点三:其它非线性约束
【典型例题】
例1已知 ,且 ,则 的最小值为______.
例2已知 , 且 ,则 的最小值为______.
例3已知 ,且 ,则 ______.
练习
1.已知定点 与定直线 ,过 点的直线 与 交于第一象限 点,与 轴正半轴交于 ,