七年级数学思维探究(14)不等式(组)的应用(含答案)
七年级数学不等式实际应用大题专题知识点与习题讲义
不等式实际应用大题专题讲义一、类型分类与解题思路1、分类①以常见的等量关系为底（1）行程问题：路程＝速度×时间（2）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间（3）利润问题：单件商品利润＝商品售价－商品进价；总商品利润=（商品售价－商品进价）X 售出量；销售总额= 售价X 售出量②等量关系由题目给出例子：某某花了600元买了总共10件商品，其中A商品单价5元，B商品单价3元，问：A商品和B商品各买了多少件？可设买了A商品x件，那么由题可得下表关系：即可列出等量关系式：5x+3(10-x)=6002、解题思路①粗略阅读题目，了解题目大概情境，设x②细读题目，找到总量③列出等量关系式表达总量，根据题目意思确定不等式符号④解不等式，根据实际情况取最佳结果⑤答二、典型例题讲解1、分类一：以常见等量关系为底 ①行程问题爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外（包括100m ）的安全地区，导火索至少需要多长？解：设导火索要xcm 长，根据题意得：解得：答：导火索至少要16cm 长．解题思路1000.85x ≥16x一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要完成多少土方？解：设以后几天平均每天完成x 土方．由题意得：解得： x≥80答：以后平均每天至少要完成80土方．解题思路30060621x ---≤水果店进了某种水果1t ，进价是7元/kg ．售价定为10元/kg ，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售．如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果至少可以按原定价的几折出售？（注意：打折只与售价相关）解：设余下的水果可以按原定价的x 折出售,根据题意得：1t ＝1000kg解得：答：余下的水果至少可以按原定价的8折出售．10001000(107)(107)20001022x ⨯-⨯+-⨯≥8x ≥总商品利润=前期商品利润 + 后期商品利润解题思路2、分类二：等量关系由题目给出 ①例题一黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元．公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000元，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆?解：设四座车租x 辆，则十一座车租辆，依题意： 70×60+60x+(70-4x)×10≤5000 解得： x≤5 又∵是整数，∴ 时，． 答：公司租用四座车1辆，十一座车6辆．70411x-70411x -1x =704611x-=解题思路②例题二某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；（2）已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案．解：（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元，y元，根据题意得：解得：答：每个篮球和每个排球的销售利润分别为25元，20元；（2）设购进篮球m个，排球（100﹣m）个，根据题意得：解得：≤m≤35，∴m=34或m=35，∴购进篮球34个排球66个，或购进篮球35个排球65个两种购买方案．解题思路≤m≤35，但是球的个数是正整数，综合取值m=34或者m=35。
部编数学七年级下册专题10《不等式与不等式组》解答题重点题型分类(解析版)含答案
专题10 《不等式与不等式组》解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《不等式与不等式组》中“求一元一次不等式组中待定字母的值的情况”、“利用一元一次不等式（组）解决实际问题”、“方程组与不等式组相结合解决实际问题”、“利用不等式计算获利问题”、“运用一元一次不等式组进行方案设计”解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：求一元一次不等式组中待定字母的值的情况方法点拨：1．已知关于x 的不等式组21321x m x m ->ìí-<-î（1）如果不等式组的解集为67x <<，求m 的值；（2）如果不等式组无解，求m 的取值范围；【答案】（1）11；（2）5m £【分析】（1）解两个不等式得出12m x +>且213m x -<，根据不等式组的解集为67x <<得1622173m m +ì=ïïí-ï=ïî，解之可得答案；（2）根据不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得12123m m +-…，解之可得答案．【详解】解：（1）由21x m ->，得：12m x +>，解不等式321x m -<-，得：213m x -<，Q 不等式组的解集为67x <<，∴1622173m m +ì=ïïí-ï=ïî，解得11m =；（2）Q 不等式组无解，\12123m m +-…，解得5m …．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．对于任意实数a ，b ，定义一种新运算：a #b =a ﹣3b +7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7．（1）求5#x >0解集；（2）若3m <2#x ＜7有解，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x 的解集中恰有3个整数解，求m 的取值范围．【答案】（1）x ＜4；（2）233x m <<-；（3）-1≤m ＜0【分析】（1）根据新定义得出关于x 的不等式，解之即可；（2）根据新定义列出关于x 的不等式组，再分别求解即可得出其解集；（3）由不等式组整数解的个数得出关于m 的不等式组，再进一步求解即可．【详解】解：（1）由题意得5-3x +7＞0，解得x ＜4；（2）由题意，得：32373727x m x î-+>-+<ìí①②，解不等式①，得：23x >，解不等式②，得：x ＜3-m ，则不等式组的解集为233x m <<-；（3）∵该不等式组有3个整数解，∴3＜3-m ≤4，解得-1≤m ＜0．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．已知不等式()132x m m ->-．()1若其解集为3x >，求m 的值；()2若满足3x >的每一个数都能使已知不等式成立，求m 的取值范围．【答案】（1） 1.5m =；（2） 1.5m ³【分析】（1）根据已知等式求出m 的范围即可；（2）根据题意确定出m 的范围即可．【详解】解:（1）不等式整理得:63x m m ->-，解得:62,x m >-由不等式的解集为3,x >得到623,m -=解得: 1.5m =;（2）由满足3x >的每一个数都能使已知不等式成立，得到623m -£，解得: 1.5m ³【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．4．若不等式组0122x a x x +³ìí->-î有3个整数解，则a 的取值范围是多少．【答案】2≤a ＜3【分析】先求出不等式组解集，然后再根据已知不等式组有3个整数解，列出不等式组确定a 的取值范围即可．【详解】解：0122x a x x +³ìí->-î①②解不等式①得：x ≥-a ，解不等式②x ＜1，∴不等式组的解集为-a ≤x ＜1，∵不等式组恰有3个整数解，∴-3＜-a ≤-2，解得：2≤a ＜3．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集得出关于a 的不等式组是解答本题的关键．5．不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分，求a 的取值范围．【答案】113a -<£【分析】先求出不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集为13x -<£，然后分别讨论当0a >时，当0a <时，当0a =时，不等式1ax >-的解集，然后根据不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分进行求解即可．【详解】解：2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î①②解不等式①得：1x >-，解不等式②得：23x -££，∴不等式的解集为13x -<£，∵1ax >-，∴当0a >时，1x a>-∵不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分，∴11a-£-，∴01a <£；同理当0a <时，1x a<-，∵不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分，∴13a->，∴103-<<a ；当0a =时，01>-恒成立，即关于x 的一元一次不等式1ax >-的解集为一切实数，∴此时也满足不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分，∴综上所述，113a -<£．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解不等式的方法．6．已知关于x 的不等式4（x ＋2）﹣2＞5＋3a 的解都能使不等式(31)(23)32a x a x ++>成立，求a 的取值范围．【答案】115a -…【分析】先求出不等式4（x +2）-2＞5+3a 的解集，再根据不等式(31)(23)32a x a x ++>用a 表示出x 的取值范围，最后解不等式组即可求出a 的取值范围．【详解】解：解不等式4(2)253x a +->+得：314a x ->，Q (31)(23)32a x a x ++>，解得：92ax >\31942a a -…解得：115a -…．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，正确理解不等式的解集是解此题的关键．7．已知关于x 的不等式组()42127,6 1.7x x x a x ì-+>ïí-<+ïî（1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a 的取值范围；（2）若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在5x ≥的范围内，求a 的取值范围．【答案】（1）12a £<；（2）25a £<【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，得出关于a 的不等式组，从而求解；（2）结合不等式组有解及它的解集中的任何一个值均不在x ≥5的范围内，得出关于a 的不等式组，从而求解．【详解】解：（1）解不等式()42127x x -+>，得2x >．解不等式617x a x -<+，得7x a <-，∵该不等式组有且只有三个整数解，∴这三个整数解为3，4，5．∴576a <-£．∴12a £<．（2）∵该不等式组有解，由（1）知72a ->．∴该不等式组的解集为27x a <<-．又它的解集中的任何一个值均不在5x ≥的范围内，∴75a -£．解不等式组7275a a ->ìí-£î得符合题意的a 的取值范围为25a £<．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和不等式的整数解，根据题意列出不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．若一个不等式（组）A 有解且解集为()a x b a b <<<，则称2a b +为A 的解集中点值，若A 的解集中点值是不等式（组）B 的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B 对于不等式（组）A 中点包含．（1）已知关于x 的不等式组A ：23560x x ->ìí->î，以及不等式B ：15x -<£，请判断不等式B 对于不等式组A 是否中点包含，并写出判断过程；（2）已知关于x 的不等式组C ：272131691x m x m +>+ìí-<-î和不等式D ：43135x m x m >-ìí-<î，若D 对于不等式组C 中点包含，求m 的取值范围．（3）关于x 的不等式组E ：22x n x m >ìí<î（n m <）和不等式组F ：523x n x m n -<ìí->î，若不等式组F 对于不等式组E 中点包含，且所有符合要求的整数m 之和为9，求n 的取值范围．【答案】（1）不等式B 对于不等式组A 是中点包含，见解析；（2）316m -<<；（3）12n £<【分析】（1）先解不等式组A ，再按照要求求中点，再判断中点是否在B 不等式中即可．（2）先解不等式组C 、D ，再根据C 组的中点在D 不等式组中建立不等式，再解出m 取值范围．（3）先解不等式组E 、F ，再根据E 组的中点在F 不等式组中建立不等式，再解出m 取值范围，再根据符合要求的整数m 之和为9，缩小m 取值范围从而确定n 取值范围．【详解】（1）解不等式组A ：23560x x ->ìí->î得46x <<，∴中点值为5x =又∵5x =在不等式B ：15x -<£范围内，∴不等式B 对于不等式组A 是中点包含（2）解不等式C 得：33+5m x m -<<∴不等式组C 中点为：3+3+5=2+12m m m -解不等式D 得：51343m m x +-<<∵2m -1位于4m -和5133m +之间∴5134213m m m +-<-<解得：316m -<<（3）解不等式组E 得：2n <x <2m ，则中点值为n +m解不等式组F 得：32n m +<x <5+n ∵32n m +<n +m <5+n ∴5m n m <ìí<î∵所有符合要求的整数m 之和为9∴m 可取4，3，2∴12n £<【点睛】本题考查新定义概念的运用与求解，实际还是在考查不等式组的解法和不等式的性质，掌握好不等式组的解法和不等式性质是本题解题关键．考点2：利用一元一次不等式（组）解决实际问题方法点拨：列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：（1）审：认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义；（2）设：设出适当的未知数；（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（4）解：解出所列的不等式的解集；（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。
七年级数学思维探究(14)不等式(组)的应用(含答案)
14．不等式（组）的应用解读课标现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题是很难确定或不需确定具体的数值，但可以求出或确定某个量的变化范围或变化趋势，从而对所研究问题有一个较清晰的估算或认识，这就是不等分析的基本思想．不等式的应用主要表现在： （1）求代数式的取值范围； （2）作差或作商比较数的大小； （3）求代数式的最值；（4）列不等式（组）解决实际问题． 问题解决例1 若a 、b 满足2357a b +=，223s a b =-，则s 的取值范围是______________． 试一试 用s 的代数式表示2a 、b ，由20a ≥、0b ≥建立关于s 的不等式组．例2 1a 、2a ，…，2004a 都是正数，如果()()122003232004M a a a a a a =++++++，()()122004222003N a a a a a a =++++++，那么M 、N 的大小关系是（ ）．A ．M N >B ．M N =C ．M N <D ．不确定的试一试 作差比较M 、N 的大小，解题的关键是如何简化M 、N ，不妨换元．例3 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一次小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但又不少于4人，这个中学共选派值勤学生多少人？共在多少个交通路口安排值勤？试一试 设共在x 个交通路口安排值勤，则共派478x +名学生值勤，解题的关键是，若每个路口安排8人，则最后一个路口安排人数用怎样的不等式表示．16万元，问：工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利最大？最大利润是多少？试一试 设生产A 种产品x 件，建立x 的不等式组，将问题转化为求x 的整数解并讨论．例5 已知1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a 是彼此互不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数1a 的最大值．分析与解 不妨设1237a a a a <<<<，则1237159a a a a ++++=，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含1a 的不等式，这里要用到整数的如下性质：设a 、b 为整数，若a b <，则1a b +≤．因1a ，2a ，…7a 为整数，故121a a +≤，132a a +≤，143a a +≤，151a a +≤，165a a +≤，176a a +≤，上面不等武相加，得1721159a +≤，15197a ≤，故1a 的最大值是19．放缩法 放缩法，即将代数式的某些部分恰当地放大或缩小，从而得到相应的不等式，以达到解决问题的目的． 放缩法的实质是构造不等式，通过缩小范围逼近求解，放缩法体现了化“相等”为不等．以“不等”求“相等”的策略和思想．例6 将若干由1开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下的数的平均数为4537，问删去的那个数是多少？分析 设所写的数为1，2，…，n ，删去其中的()1a a n ≤≤，则余下的数的平均数为1245317n a n +++-=-，由1a n ≤≤，建立n 的不等式组．解 1a n ≤≤，()()1231231123111n n n n a n n n ++++-++++-++++-∴<<---，即()()()1112142253171n n n n n n -+-<<--，解得1110510777n ≤≤，106n =或107．当106n =时，46a =；当107n =时，a 为非正数，舍去．数学冲浪1．在关于1x ，2x ，3x 的方程组121232313x x a x x a x x a+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩中，已知123a a a >>，那么将1x ，2x ，3x 从大到小排起来应该是_________________．2．若方程组24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x ，y 都是正数，则m 的取值范围是___________．3．一辆公共汽车上有()54a -名乘客，到某一车站有()92a -名乘客下车，则车上原有_______名乘客． 4．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于（ ）．A ．49千克B ．50千克C ．24千克D ．25千克5．几位同学拍一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元，在每位同学得到一张相片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（ ）． A ．至多6人 B ．至少6人 C ．至多5人 D ．至少5人6．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（ ）． A ．11 B ．8 C ．7 D ．57．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友未分到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数． 8．“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、的数量的3倍，请问商场有哪几种进货方案？ （2）在“2012年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？9．温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n 件产品运往A ，B ，C 三地销售，要求运往C 地的件数是运往A 地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x 件产品运往A 地．（2）若总运费为5800元，求n 的最小值． 思维方法天地10．100名少年运动员胸前的号码分别是1，2，3，…，99，100．选出其中的k 名运动员，使得他们的号码数之和等于2008，那么k 的最大值是______________．11．按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否487>”为一次操作，如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是____________．12．a 、b 、c 、d 是正整数，且20a b +=，24a c +=，22a d +=，设a b c d +++的最大值为M ，最小值为N ，则M N-=____________．13．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A 、B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水及年消耗费如下表．经计算，该企业购买设备的资金不高于105万元，请你设计，该企14．要使方程组232x y ⎧⎨+=⎩的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ）．A ．433a << B ．43a < C ．3a > D ．43a <或3a > 15．已知a ，b ，c ，d 都是整数，且2a b <，3b c <，4c d <，50d <，那么a 的最大值是（ ）． A ．1157 B ．1167 C ．1191 D ．119916．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条6元，后来他又以每条2a b+元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）．A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．与a 和b 的太小关系无关 17．若2a b +=-，且2a b ≥，则（ ）．A ．b a 有最小值12B ．b a 有最大值1C ．a b有最大值2 D ．a b 有最小值89-18．有五个数，每两个数的和分别为2，3，4，5，6，7，8，6，5，4（未按顺序排列），求五个数中最大数的值． 19．问题提出我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号来地确定它们的大小，即要比较代数式M 、N 的大小，只要作出它们的差M N -，若0M N ->，则M N >；若0M N -=，则M N =；若0M N -<，则M N <． 问题解决如图①，把边长为()a b a b +≠的大正方形分割成两个边长分别是a 、b 的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和M 与两个矩形面积之和N 的大小．解：由图可知，22M a b =+，2N ab =，()2222M N a b ab a b ∴-=+-=-． a b ∴≠，()20a b ∴->0M N ∴->，M N ∴>． 类比应用（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为2a b +元/千克、2aba b+元/千克（a ，b 是正数，且a b ≠），试比较小丽和小颖所购商品的平均价格的高低．（2）试比较图②、图③两个矩形的周长1M 、1N 的大小()b c >．联系拓展小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，箱子的尺寸如图④所示()0b a c >>>，售货员分别可按图⑤、图⑥、图⑦三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．应用探究乐园20．已知n ，k 皆为自然数，且1k n <<，若102131n kn =-++++-，及n k a +=，求a 的值．21．某楼盘一楼是车库（暂不销售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/平方米，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为2120m ，开发商为购买者制定了两种购房方案．方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．图①a图②b +ca +b图③a-cb +3c图④c ba图⑤图⑥图⑦方案二：若购买者一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a 元）．（1）请写出每平方米售价y （元/平方米）与楼层x （223x ≤≤，x 是正整数）之间的关系式． （2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？ （3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法．14．不等式（组）的应用问题解决例1 211453s -≤≤2215019s a +=≥ 143019sb -=≥ 例2 A 设122003a a a a +++=，232003a a a b +++=，则()()()2004220040040M a a b a a b N a b a -=+-+=->．例3 由题意得()4784818x x +--<≤，19．520.5x <≤，20x =，共有值勤学生78420158+⨯=（人），共在20个交通路口值勤． 例4 x 正整数解为17，18，19，即共有三种生产方案，具体方案略；最大利润为16.6万元． 数学冲浪1．213x x x >>2．572m <<3．6人或11人或16人 提示：540a -≥且920a -≥、5492a a --≥． 4．D 5．B 6．B7．37个或42个，5人或6人 8．（1）共有三种进货方案；（2）最多送出消费券130张（130600130100≈）． 9．（1）①略 ②有三种运输方案； （2）n 的最小值为221．10．选号码越小的，可以使选出的人数越多，因此考虑选由1～n 的连续n 个自然数之和不超过2008的n 组，因()112320082n n n +++++=≤，得()14016n n +≤，626339064016⨯=<，636440324016⨯=>，于是取62n =．即最多能选出62人．11．719x <≤ 前四次操作的结果分别为32x -，()332298x x --=-，()39822726x x --=-，()3272628180x x --=-．由已知，得27264878180487,x x -⎧⎨->⎩≤，解得719x <≤．容易验证，当719x <≤时，32487x -≤，98487x -≤．故x 的取值范围是719x <≤．12．36 20b a =-，24c a =-，22d a =-，由a ，b ，c ，d 为正整数得119a ≤≤，原式662a =-． 13．3 设购买x 台A 种型号的设备，y 台B 种型号的设备， 则101210105.x y x y +=⎧⎨+⎩≤ 14．D 345a x -=，625ay -=，()()34620a a --<． 15．B 21a b -≤，31b c -≤，41c d -≤，50149d -=≤．16．A ()()532022a b b aa b +--+=<，得a b >．17．C 0a >，0b <或0a <，0b <，从而12b a ≤或12b a ≥，2ab ≤．18．设a b c d e ≤≤≤≤，将和数从小到大重新排列为2，3，4，4，5，5，6，6，7，8．则2378,a b a c c e d e +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩又()1234455667812.54a b c d e ++++=+++++++++=，从而 4.5e =．19．（1）()()22022a b a b ab a b a b -+-=>++，22a b ab a b+∴>+，即小丽所购商品的平均价格比小颖的高． （2）图②矩形的周长大于图③矩形的周长． 联系拓展图⑦的捆绑方法用绳最长，图⑥的最短． 20．1k n <<()()()1231231231111n n n k n n n n ++++-++++-++++-∴<<---． 即()()()11121221011n n n n n n -+-<<--，21022n n +<<，202n n <<+，19n = 于是()1231910191k++++-=-，119201802k ⨯⨯-=，10k =故191029a n k =+=+=．21．（1）()()20284028,402680823,x x x y x x x ⎧+⎪=⎨+<⎪⎩为正整数为正整数≤≤≤ （2）当28x ≤≤时，小张首付款为：()()20284012030%36202840362082840108(0)00x x +⨯⨯=+⨯+=≤（元）120000<（元）．所以2～8层可任选．当923x ≤≤时，小张首付款为：()()40268012030%36402680x x +⨯⨯=+（元），由()36402680120000ax +≤，解得4911633x =≤． 因x 为正整数，所以916x ≤≤．综上可知：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：()14016268012092%60y a =⨯+⨯⨯-（元）． 若按老王的想法则要交房款为：()24016268012091%y =⨯+⨯⨯（元）．由12398460y y a -=-．可知当12y y >，即12y y -时，解得066.4a <<，此时老王想法正确；当12y y ≤，即120y y -≤，解得66.4a ≥，此时老王想法不正确．。
初中数学方程与不等式的应用题(含答案)
初中数学方程与不等式的应用题（含答案）知识点睛1．理解题意：分层次，找结构 借助表格等梳理信息2．建立数学模型：方程模型、不等式(组)模型、函数模型等 ①共需、同时、刚好、恰好、相同等，考虑方程； ②显性、隐性不等关系等，考虑不等式(组) ；③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值等，考虑函数 3．求解验证，回归实际 ①数据是否异常；②结果是否符合题目要求及取值范围； ③结果是否符合实际意义 例题精选应用题1．某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过20m 3时，按2元/ m 3计算：月用水量超过20 m 3时，其中的20 m 3仍按2元/ m 3计算，超过部分按2.6元/ m 3计算．设某户家庭月用水量x m 3(1)用含x 的式子表示：当020x ≤≤时，水费为______；当20x >时，水费为______；(2)小花家第二季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费117元，请你求出小花家6月份用水量a 的值？2．岁末年终，某甜品店让利促销，请运用本学期所学知识回答下列问题：(1)若香草口味蛋糕降价10%后的价格恰好比原价的一半多40元，该口味蛋糕的原价是多少元？(2)若同一杯奶茶提供两种优惠：一种是加量30%不加价，另一种是降价30%但是不加量．作为消费者，你认为哪种方式更实惠，为什么？3．小明周末守护爷爷输液，输液袋上标有药液共250毫升，15滴/毫升．输液开始时，细心的小明发现药液流速为每分钟75滴．爷爷感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速直至结束．输液20分钟时，输液袋中的药液余量为160毫升．(1)求输液10分钟时输液袋中的药液余量是多少毫升？(2)求10到20分钟期间药液流速是每分钟多少滴？(3)求从开始输液到结束输液共用了多少分钟？4．一个口袋中有10个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色后再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验100次，其中75次摸到白球，估计袋中共有多少球？5．一项工程甲单独做需要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作完成这项工程，甲，乙合作了多少天？6．甲、乙两人同时从A地出发去B地，甲骑自行车，骑行速度为10km/h，乙步行，行走速度为6km/h，当甲到达B地时，乙距B地还有8km， ?(先在横线上提出一个问题把题目补充完整，然后解答)7．现甲、乙两地分别需要蔬菜120吨和180吨，已知丙地、丁地分别有蔬菜160吨和140吨，现要把这些蔬菜全部运往甲、乙两地．若丙地每吨蔬菜运到甲地的费用为30元，运往乙地的费用为35元；丁地每吨蔬菜运到甲地的费用为20元，运往乙地的费用为28元，设丙地运往甲地的蔬菜为x吨．（1）请根据题意将下表补充完整：目的地甲乙出发地丙x______丁____________（2）用含x的式子表示总运输费．（3）总运输费能是9010元吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．8．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少米？9．用长方形和三角形按图示排列规律组成一连串图形．（1）当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为；（2）设某个图形中长方形个数为x，三角形个数为y．①y与x的数量关系为y＝（用含x的代数式表示）；②若某个图形中长方形与三角形个数之和为28，求该图中长方形个数．10．现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加百分之几？11．某服装厂准备加工260套运动服，在加工了60套后，采用新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了8天完成，求该厂原来每天加工多少套运动服． 12．提出问题：我们把形如2x a =（其中a 是常数且0a ≥）这样的方程叫做x 的完全平方方程． 如：29x =，2(32)25x -=，2(21)9x -=…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路：我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．如：解完全平方方程29x =的思路是：由()239+=，()239-=，可得13x =，23x =-．解决问题：(1)填空：解方程：()23225x -=．解题思路：我们只要把32x -看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得325x -=或32x -=_______． 分别解这两个一元一次方程，得1x =_____，2x =______． (2)解方程()232127x -=．13．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．14．列方程解应用题：我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，求人数与车数．15．人体下半身（脚底到肚脐的长度）与身高的比例越接近0.618，越给人美感遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美某女士，身高1.68m ，下半身1.02m ，她应选择多高的高跟鞋看起来更美呢？（精确到0.01m ）【参考答案】应用题1．(1)2x 元；(2.612)x -元(2)25a = 【解析】 【分析】（1）分类讨论：当0≤x ≤20时，水费为2x 元；当x ＞20时，水费为[20×2+2.6（x ﹣20）]元；（2）小花家4月份，5月份共交水费30+34＝64，则可知6月份交了53元，则a ＞20，可列出方程求出a 的值． (1)解：当020x ≤≤时，水费为2x 元；当20x >时，水费为202 2.6(20)(2.612)x x ⨯+-=-元； 故答案为：2x 元；(2.612)x -元． (2)解：由题意，小花家4月份和5月份共交水费152172303464⨯+⨯=+=（元）， 则6月份交水费11764=53-（元）， 53202>⨯，∴6月份用水量大于20吨，设小花家6月份的用水为a 吨，则超过20吨的部分为（20a -）吨， ∴152172202 2.6(20)117a ⨯+⨯+⨯+-=， 解得：25a =．答：小花家6月份用水25吨． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，用代数式表示数量并建立等量关系是解题关键． 2．(1)100元(2)第二种更实惠，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设该蛋糕原价x 元．根据商品降价10%后恰好比原价的一半多40元得出等式求出即可；（2）设这种奶茶原来售价a 元每杯．计算出两种方案的单价，然后进行比较即可． (1)解：设该蛋糕原价x 元，根据题意得()1110%402x x -=+， 解得100x =．答：该口味蛋糕原价100元． (2)解：设这种奶茶原来售价a 元每杯． 第一种方案，相当于每杯价格0.77130% 1.3a aa =≈+元；第二种方案，相当于每杯价格：()130%0.7a a -=元，0.770.7a a >，∴第二种方式实惠．答：第二种方式实惠． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3．(1)200毫升 (2)60滴 (3)60分钟 【解析】 【分析】（1）先求出药液流速为5毫升/分钟，再求出输液10分钟的毫升数，用250减去输液10分钟的毫升数即为所求；（2）用20分钟时剩余药液量减去10分钟时剩余药液量，再乘以每毫升滴数求出总的滴数，最后除以时间即可得出答案；（3）可设从输液开始到结束所需的时间为t 分钟，根据输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升，列出方程计算即可求解． (1)解：25075151025050200-÷⨯=-=（毫升）． 故输液10分钟时瓶中的药液余量是200毫升； (2)解：10到20分钟期间药液流速是每分钟()200160156010-⨯=（滴)；(3)解：设从输液开始到结束所需的时间为t 分钟，依题意有 ()200160201602010t --=-，解得60t =．故从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题关键是求出输液前10分钟药液流速和输液10分钟后药液流速． 4．40 【解析】 【分析】根据频率稳定性定理，用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，进而得出得到白球的概率，即可得出等式求出即可． 【详解】解：设小球共有x 个，根据题意可得：1075100x x -= 解得：x =40．经检验x =40，为方程的解且符合题意， 答：袋中共有40个球 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用和利用频率估计概率，得出求白球的频率公式是解题关键．5．两人合作的天数为20天． 【解析】 【分析】可设两人合作的天数为x 天，根据等量关系：甲单独做（x +4）天的工作量+乙单独做x 天的工作量=工作总量“1”，依此列出方程求解即可． 【详解】解：设两人合作的天数为x ，依题意有， 414050x x ++=， 解得：x =20．即两人合作的天数为20天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由工作总量找出合适的等量关系列出方程，再求解．6．可以问：甲骑行了多长时间？或A 、B 两地之间的路程是多少？甲骑行了2小时，A 、B 间的路程是20千米． 【解析】 【分析】根据题意可以提问：甲走了几个小时？A ，B 两地的路程为多少千米？ 设甲走了x 小时，根据题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】根据题意可以提问：甲走了几个小时？A ，B 两地的路程为多少千米？ 解：设甲走了x 小时， 依题意得：1068x x =－， 解得2x =， ∴1020x =，∴甲走了2个小时，A ，B 两地的路程为20千米；故答案为：甲走了几个小时？或者A ，B 两地的路程为多少千米？． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题关键． 7．（1）见解析，（2）3x +8560；（3）不能，理由见解析 【解析】【分析】（1）根据丙地有蔬菜160吨，可得丙地运往乙地的数量，根据甲地的需求量，可得丁地运往甲地的数量，根据乙地的需求量，可得丁地运往乙地的数量；（2）根据运费和吨数求得各地的运费，再相加即可；（3）根据题意列出方程求解即可．【详解】解：（1）设丙地运往甲地的蔬菜为x吨，根据题意填表得，化简得，3x+8560；（3）根据总运输费是9010元，列方程得，3x+8560=9010，解得，x=150，∵甲地需要蔬菜120吨，小于150吨，总运输费不能是9010元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是熟练把握题目中数量关系，列出代数式和方程．8．2m．【解析】【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．【详解】解：设道路的宽应为x米，剩余部分拼成一个长方形，长和宽分别为（12﹣x）米、（8﹣x）米，由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝60．解得x＝2或x＝18（舍去）．答：道路的宽应设计为2m．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．9．（1）8；（2）①2（x﹣1）；②长方形个数为10【解析】【分析】（1）根据题目中图形规律直接可得；（2）①由图可知每个图形中三角形的个数为长方形个数与1的差的2倍，据此可得；②根据①中所得结果，列出方程，求出x 的值即可． 【详解】解：（1）∵长方形个数为2时，三角形个数为2个，即2212=⨯=； 长方形个数为3时，三角形个数为4个，即4224=⨯=； 长方形个数为4时，三角形个数为6个，即6326=⨯=． ∴当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为428⨯=， 故答案为：8；（2）①∵长方形个数为2时，三角形个数为2个，即2212=⨯=； 长方形个数为3时，三角形个数为4个，即4224=⨯=； 长方形个数为4时，三角形个数为6个，即6326=⨯=． …∴长方形个数为x ，三角形个数为y 时，y 与x 的数量关系为()21y x =-（用含x 的代数式表示）；故答案为：()21x -； ②当28x y +=时， 即()2128x x -+=， 解得：10x =，答：该图中长方形个数为10． 【点睛】题目主要考查图形的找规律问题，列代数式及一元一次方程的求解，理解题意，找准图形的规律是解题关键．10．25%【解析】 【分析】首先根据题意设出原价与销售量要比按原价销售时增加的百分数，等量关系是：原价×（1−20%）×（1＋增加的百分数）＝原销售总额． 【详解】设销售量要比按原价销售时增加的百分数是x ，原价为a 元，由题意得： 0.8a ×（1＋x ）＝a ， 解得：x ＝25%．答：销售量要比按原价销售时增加25%． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．11．该厂原来每天加工20套运动服． 【解析】 【分析】设该厂原来每天加工x 套运动服，则采用新技术后每天加工2x 套运动服，由题意：某服装厂准备加工260套运动服，在加工了60套后，采用新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了8天完成，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设该厂原来每天加工x 套运动服，则采用新技术后每天加工2x 套运动服． 根据题意得：602606082x x-+= 解这个方程得20x ，经检验：20x 是原方程的根．答：该厂原来每天加工20套运动服．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 12．(1)－5，73，1-(2)12x =，21x =- 【解析】 【分析】（1）根据乘方运算求解即可；（2）根据题中给出的解题思路求解即可． (1)解：∵()2525+=，()2525-=， 又∵325x -=，解得173x =325x -=-，解得21x =-故答案为：－5，73，1-．(2)（2）解：两边同时除以3得：()2219x -=． 根据乘方运算，得：213x -=或213x -=- 分别解这两个一元一次方程，得12x =，21x =- 【点睛】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正确理解题意． 13．甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元 【解析】 【分析】设甲种树苗价格是x 元/棵，则乙种树苗价格是（x +10）元/棵，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设甲种树苗价格是x 元/棵，则乙种树苗价格是（x +10）元/棵，依题意得：48010x +＝360x， 解得：x ＝30， 经检验，x ＝30是原方程的解， x +10＝30+10＝40（元）， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题关键是设出未知数，根据题目中的等量关系列出方程，注意：分式方程要检验． 14．共有39人，15辆车． 【解析】【分析】设有x 辆车，根据两个乘坐方式下，总人数相同建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设有x 辆车， 由题意得：3(2)29x x -=+， 解得15x =（辆），则总人数为315(239)⨯-=（人）， 答：共有39人，15辆车． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确建立方程是解题关键． 15．05． 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可． 【详解】解：设她应选择高跟鞋的高度是x m ，则1.021.68xx++＝0.618， 解得：x ≈0.05m ．经检验，x ≈0.05是原方程的解， 故本题答案为：0.05． 【点睛】本题考查了比例线段和分式方程，解题关键是根据题意设未知数列出方程．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．。
七年级数学思维探究——一元一次不等式(组)(含答案)
．一元一次不等式（组）．问题解决例1 （1）已知不等式30x a -≤的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是___________；（2）已知关于x 的不等式组0521x a x ->⎧⎨--⎩≥无解，则a 的取值范围是______________．试一试 对于（1），由题意知不等式的解在34x <≤的范围内；对于（2），从数轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分．例2 （1）若关于x 的不等式()2120a x a --+>的解集为2x <，则a 的值为（ ）． A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1-（2）若不等式组0122x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则a 的取值范围是（ ）．A ．1a >-B ．1a -≥C ．1a ≤D ．1a <．例3 解下列关于x 的不等式（组）： （1）2210x x --≤；（2）()233mx n x +-<． 试一试对于（1），分20x -≥、20x -<两种情况讨论，去掉绝对值符号；对于（2），化为ax b <的形式，再就a 的正负性讨论．例4 已知()2351310a b a b +-+++=，求关于x 的不等式63x ax b ->+的解集．例5 已知a 、b 、c 是三个非负数，并且满足325a b c ++=，231a b c +-=，设37m a b c =+-，记x 为m 的最大值，y 为m 的最小值，求xy 的值．分析 本例综合了方程组、不等式组的丰富知识，解题的关键是通过解方程组，用含一个字母的代数式来表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求出x ，y 的值．解 由条件得325213,a b c a b c +=-⎧⎨+=+⎩解得73711,a c b c =-⎧⎨=-⎩则32m c =-．由000,a b c ⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≥得73071100,c c c -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≥，解得37711c ≤≤，从而111x =-，57y =-，故577xy =．例6 甜饮料里有糖的质量分数，那么，给糖水添上一点糖，糖水就更甜了．请你把这一生活常识用数学式子表达出来．分析与解 从生活常识到“数学不等式”历经以下三个步骤： （1）用字母a 、b 、m 表示相应的量；（2）根据质量分数的定义，写出加糖前后的质量分数a b ，a mb m++；（3）将“更甜了”表示为不等式a a mb b m+<+，其中0b a >>，0m >．进一步追问：（1）怎样证明上述不等式？（2）将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数变大了吗？数学冲浪 知识技能广场1．若不等式组1240x ax +>⎧⎨-⎩≤有解，则a 的取值范围是________________．2．若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，则()2006a b +=____________．3．已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥只有4个整数解，则a 的取值范围是___________．4．n 个小杯中依次盛有1b ，2b ，…，n b 克糖水，并且分别含糖1a ，2a ，…，n a 克．若这n 杯水的浓度相同，则有连等式：1212n na a ab b b ===． 现将这n 杯糖水合到一个大空杯中，则合杯糖水的浓度与各小杯糖水的浓度还是一样的，这个尽人皆知的事实，说明了一个数学定理——等比定理：若1212n n a a a b b b ===，则12121212n nn na a a a a ab b b b b b +++====+++． 若这n 杯糖水的浓度互不相同，不妨设1212nna a ab b b <<<，现将这n 杯糖水合到一个大空杯中，则合杯糖水的浓度一定大于__________，且小于___________．这个尽人皆知的事实，又说明了一个数学定理——不等比定理：若1212nna a ab b b <<<，则__________．5．若不等式24x <的解集都能使关于x 的一次不等式()15a x a -<+成立，则a 的取值范围是（ ）． A ．17a <≤ B ．7a ≤ C ．1a <或7a ≥ D ．7a =6．若10a b -<<<，则下列式子中正确的是（ ）．A ．a b -<-B ．11a b< C ．a b < D ．22a b >7．若方程组4143x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足条件01x y <+<，则k 的取值范围是（ ）．A ．41k -<<B ．40k -<<C ．09k <<D ．4k >-8．不等式组9511x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ）．A ．2m ≤B ．2m ≥C ．1m ≤D ．1m >9．试确定a 的取值范围，使不等式组()()()114111.510.52122x x a x a x x +⎧+>⎪⎪⎨⎪-+>-+-⎪⎩只有一个整数解．10．解下列关于x 的不等式 （1）213x -≤； （2）11ax ax --≥．11．已知关于x 、y 的方程组325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩的解满足0x y >>，化简3a a +-．12．关于x 的不等式216x -<的所有非负整数解的和为________________． 13．14．当3a >时，不等式23ax x b +<+的解集是0x <，则b =___________． 15．14．若实数a 、b 、c 满足a b c >>，0a b c ++=，则ca的取值范围是______________．15．16．已知非负数a 、b 、c 满足条件324a b c ++=，235a b c ++=，设547s a b c =++的最大值为m ，最小值为n ，则n m -的值为_____________． 17．16．已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为13x <，则0bx a -<的解集是（ ）．A ．3x >-B ．3x <-C ．3x >D ．3x <17．如果关于x 的不等式组7060x m x n -⎧⎨-<⎩≥的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(),m n 共有（ ）．A ．49对B ．42对C ．36对D ．13对18．关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ）．A ．1162a -<<-B ．1162a -<-≤C ．1162a -<-≤D ．1162a --≤≤19．若a 、b 为实数，则下列命题中正确的是（ ）．A ．22a b a b >⇒>B ．22a b a b ≠⇒≠C ．22a b a b >⇒>D ．22a b a b >⇒>20．已知2153132x xx ----≥，求13x x --+的最大值和最小值． 21．21．已知非负数x ，y ，z 满足123234x y z ---==，设345w x y z =++，求w 的最大值与最小值．22．探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”、“<”、“=”，并完成式后的问题． ①2223+_______223⨯⨯，2245+__________245⨯⨯， 2277+_________277⨯⨯，2258+__________258⨯⨯，… 试用含有a 、b 的式子表示上述规律为________________．②()3123++__________27123⨯⨯⨯，()3235++__________27235⨯⨯⨯，()3447++___________27447⨯⨯⨯，()3555++___________27555⨯⨯⨯，…试用含有a 、b 、c 的式子表示上述规律为____________________．应用：用边长为30cm 的正方形铁片，在四个角上剪去四个边长相同的小正方形，然后将对边剩余部分分别折起来（如图），可做成一个无盖的长方体盒，问怎样剪可使得到的盒子的容积最大？最大容积为多少？23．已知整数1x ，2x ，3x ，…，2008x 满足①12n x -≤≤，1n =，2，…，2008；②122008208x x x +++=；③2221220082008x x x +++=．求333122008x x x +++的最大值与最小值．xxxxxxxx．一元一次不等式（组）例1 （1）由343a<≤，得912a <≤；（2）3a ≥． 例2 （1）A 由条件得21022,1a a a -<⎧⎪⎨-=⎪-⎩，推得0a =；（2）A ．例3 （1）由202210,x x x -⎧⎨--⎩≥≤得8x ≥；由202210,x x x -<⎧⎨--⎩≤得24x x <⎧⎨⎩≥，矛盾．故原不等式的解集为8x ≥；（2）由原不等式得()233m x n -<-，当230m ->，即32m >时，其解集为323n x m -<-；当230m -<，即32m <时，其解集为323n x m ->-；当23m =，即32m =时且3n >，解集为所有数；当32m =且3n ≤时，原不等式无解．例4 3x >1．3a < 2．13．32a -<-≤4．11a b ；n n a b ；121112n n n n a a a a a b b b b b +++<<+++5．A6．D 7．A 8．C9．12a <≤10．（1）12x -≤≤；（2）10ax -<，即1ax <，当0a >时，解集为1x a <；当0a <时，解集为1x a>；当0a =时，解集为一切数．11．当23a <≤时，原式3=；当3a ≥时，原式23a =-．12．6 原不等式等价于216216x x -<⎧⎨->-⎩13．214．122c a -<<- 由条件得0a > 20a c a b c +>++=，20a c a b c +<++=． 15．2-，12n =，14m = 102s c =+，615c ≤≤16．B17．B 由76m nx <≤，得1m =，2，3，4，5，6，7；19n =，20，21，22，23，24，(),m n 共有7642⨯=对． 18．C 19．D20．解不等式得711x ≤，原式()()()41223143x x x x -⎧⎪=---<⎨⎪<-⎩≥≤，从而知最大值为4，最小值为3311-．21．设123234x y z k ---===，则21x k =+，32y k =-+，43z k =+，由题意得210320430,k k k +⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≥ 解得1223k -≤≤，于是()()()3214325431426w k k k k =+--++=+．所以1214261426142623k -⨯++⨯+≤≤，即119353w ≤≤，故w 的最小值为19，最大值为1353．22．①>；>；=；>；222a b ab +≥（a b =时，等号成立)②>；>；>；=；()327a b c abc ++≥（a b c ==时，等号成立)．设长方体盒子的容积为V ，小正方形的边长为x ，则有()()31511511615153023021620002222272222x x V x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+-+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤，此时15122x x =-，解得5x =，32000cm V =最大值．23．设1-，1，2的个数分别是x ，y ，z ，则,,02008220842008,x y z x y z x y z x y z ⎧⎪++⎪⎨-++=⎪⎪++=⎩≥≤即求8A x y z =-++的范围解，得90011083,x zy z =-⎧⎨=-⎩ 2086A z ∴=+．由条件得103693z ≤≤，∴当90011080x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，A 取最小值208，当5311369x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，A 取最大值2422．。
人教版七年级数学下册 第九章：不等式(组)与方程(组)的综合应用(含答案)
不等式（组）与方程（组）的综合应用1.方程组或不等式出现字母系数时可将字母当数字，解方程组成不等式的参数解。
2.解决不等式(组)或方程(组)的问题可运用整体思想、转化思想、消元思想。
【例1】若方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩解为x ，y ，且2<k <4，则x －y 的取值范围是（ ） A.102x y -<<B.01x y -<<C.31x y ---<<D.11x y --<<【例2】若关于x ，y 的二元一次方程组323225x y m x y m -=+⎧⎨-=-⎩的解满足x >y ，求m 的取值范围。
【例3】若2a +b =12，其中a ≥0，b ≥=0，又P=3a +2b ，试确定P 的最小值和最大值。
【例4】若关于x ，y 的二元一次方程组25x y a x y +=⎧⎨-=⎩的解满足1x >，1y ≤，其中a 是满足条件的最小整数，求a 2+1的值。
【例5】已知关于x，y的方程组2232 4x y mx y m-=⎧⎨+=+⎩①②的解满足不等式组3050x yx y+≤⎧⎨+⎩>，求满足条件的m的整数值。
1.已知关于x，y的方程组2121x y ax y a-=+⎧⎨+=-⎩的解满足不等式21x y->，求a的取值范围。
2.已知x、y同时满足三个条件：①324x y p-=-，②4x－3y=2+p，③x>y，则（）A.p>－1B.p<1C.1p-< D.1p>3.若30x y z++=，350x y z+-=，x、y、z皆为非负数，求M=5x+4y+2z的取值范围。
4.在关于x ，y 的方程组2728x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩中，未知数满足x ≥0，y >0，那么m 的取值在数轴上应表示为（ ）5.已知关于x ，y 的方程组213252x y k x y k +=+⎧⎨-=-⎩的解满足5035x y x y -⎧⎨-+≥-⎩>，求整数k 的值。
7年级不等式组练习题答案
7年级不等式组练习题答案7年级不等式组练习题答案不等式是数学中的一种基本概念，它描述了两个数之间的大小关系。
在7年级的数学学习中，不等式组是一个重要的知识点。
通过解不等式组，我们可以进一步理解数的大小关系，并且在实际问题中应用这些知识。
下面是一些7年级不等式组练习题的答案，希望能帮助同学们更好地掌握这一知识点。
1. 解不等式组：2x + 3 < 5，x - 1 > 2首先，我们解第一个不等式2x + 3 < 5：2x + 3 < 52x < 5 - 32x < 2x < 1然后，我们解第二个不等式x - 1 > 2：x - 1 > 2x > 2 + 1x > 3综合以上两个不等式的解，我们可以得出不等式组的解为x < 1且x > 3。
2. 解不等式组：3x - 2 > 4，2x + 1 < 5首先，我们解第一个不等式3x - 2 > 4：3x - 2 > 43x > 4 + 23x > 6x > 2然后，我们解第二个不等式2x + 1 < 5：2x + 1 < 52x < 5 - 12x < 4x < 2综合以上两个不等式的解，我们可以得出不等式组的解为x > 2且x < 2。
但是这个解是矛盾的，因为x既不能大于2又不能小于2。
所以这个不等式组没有解。
3. 解不等式组：4x + 3 > 7，2x - 5 < 1首先，我们解第一个不等式4x + 3 > 7：4x + 3 > 74x > 7 - 34x > 4x > 1然后，我们解第二个不等式2x - 5 < 1：2x - 5 < 12x < 1 + 52x < 6x < 3综合以上两个不等式的解，我们可以得出不等式组的解为x > 1且x < 3。
七年级数学下册第九章不等式与不等式组知识点归纳总结(精华版)(带答案)
七年级数学下册第九章不等式与不等式组知识点归纳总结(精华版) 单选题1、若不等式组{x+m>2n−x>−4的解集为1<x<2，则(m+n)2022的值为（）A．−1B．0C．1D．2答案：C分析：先解不等式组，再根据不等式组的解集确定m、n的值，代入原式计算即可．{x+m>2①n−x>−4②解①得x>2−m解②得x<n+4∵解集为1<x<2∴2−m=1,n+4=2∴m=1,n=−2∴(m+n)2022=(1−2)2022=1故选：C．小提示：本题考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程、代入求值，熟练掌握知识点是解题的关键．2、若m>n，则下列各式中正确的是（）A．m2>n2B．m+1>n−1C．m2+1>n2−1D．m−1>n+1答案：B分析：根据m＞n，可以取满足条件的特殊值m=−2，n=−3进行判断．解：m＞n，当m=−2，n=−3时，A、m2=4，n2=9，m2＜n2，故该选项错误，不符合题意；B、∵m＞n，∴m+1＞n+1，又∵n+1＞n−1，∴m+1＞n−1，故该选项正确，符合题意；C、m2+1=5，n2−1=8，m2+1＜n2−1，故该选项错误，不符合题意；D、m−1=−3，n+1=−2，m−1＜n+1，故该选项错误，不符合题意．故选B．小提示：本题考查了不等式，可以采用特殊值的方法进行判断．3、椰树牌椰子汁外包装标明：净含量为330±5g，表明了这瓶椰子汁的净含量x的范围是（）A．315<x<330B．325≤x<330C．315<x≤325D．325≤x≤335答案：D分析：根据不等式的定义可得答案．解：这瓶椰子汁的净含量x的范围是：330−5≤x≤330＋5，即325≤x≤335，故选：D．小提示：本题考查了不等式的定义，正确理解330±5g的意义是解题关键．4、不等式﹣2x+4<0的解集是（）A．x>1B．x>﹣2C．x<2D．x>22答案：D分析：首先通过移项得到-2x<-4，然后利用不等式性质进一步化简即可得出答案.解：移项可得：−2x<−4，两边同时除以-2可得：x＞2，∴原不等式的解集为：x＞2，故选：D.小提示：本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握相关方法是解题关键.5、不等式4x+1>x+7的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．答案：A分析：先将不等式移项、合并同类项、系数化为1求得其解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案．解：解不等式：4x+1>x+7，移项得：4x−x>7−1合并同类项得：3x>6系数化为1得：x>2，数轴上表示如图所示，故选：A．小提示：本题主要考查解一元一次不等式及再数轴上表示不等式解集的能力，掌握“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则是解题的关键．6、若0<x<1，则下列选项正确的是（）A．x<1x <x2B．x<x2<1xC．x2<x<1xD．1x<x<x2答案：C分析：利用不等式的基本性质，分别求得x、x2及1x的取值范围，然后比较，即可做出选择．解：∵0＜x＜1，∴0＜x2＜x（不等式两边同时乘以同一个大于0的数x，不等号方向不变）；0＜1＜1x（不等式两边同时除以同一个大于0的数x，不等号方向不变）；∴x2＜x＜1x．故选：C．小提示：考查了有理数大小比较，解答此题的关键是熟知不等式的基本性质：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数或式子，不等号方向不变；基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的数或式子，不等号方向改变．7、若a<b，则下列式子中，错误．．的是（）A．2a<2b B．a−2<b−2C．1−a>1−b D．−12a<−12b答案：D分析：利用不等式的基本性质逐一判断即可．解：A. 若a<b，则2a<2b正确，故A不符合题意；B. 若a<b，则a−2<b−2正确，故B不符合题意；C. 若a<b，则−a>−b，1−a>1−b正确，故C不符合题意；D. 若a<b d，则−12a>−12b，所以D错误，故D符合题意，故选：D．小提示：本题考查不等式的性质，掌握相关知识是解题关键．8、已知非负数 x，y，z 满足.3−x2=y+23=z+54.，设W=3x−2y+z，则 W 的最大值与最小值的和为（）A．−2B．−4C．−6D．−8答案：C分析：首先设3−x2=y+23=z+54=k，求得x=−2k+3，y=3k−2，z=4k−5，又由x，y，z均为非负实数，即可求得k的取值范围，则可求得W的取值范围．解：设3−x2=y+23=z+54=k，则x=−2k+3，y=3k−2，z=4k−5，∵x，y，z均为非负实数，∴{−2k+3⩾03k−2⩾04k−5⩾0，解得54⩽k⩽32，于是W=3x−2y+z=3(−2k+3)−2(3k−2)+(4k−5)=−8k+8，∴−8×32+8⩽−8k+8⩽−8×54+8，即−4⩽W⩽−2．∴W的最大值是−2，最小值是−4，∴W的最大值与最小值的和为−6，故选：C．小提示：此题考查了最值问题．解此题的关键是设比例式：3−x2=y+23=z+54=k，根据已知求得k的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解．9、给出下列各式：①−3<0；②a+b；③x=5；④x2−xy+y2；⑤x+2>y−7；⑥a≠3．其中不等式的个数是（）A．5B．2C．3D．4答案：C分析：运用不等式的定义进行判断．解：①−3<0是不等式；②a+b是代数式，不是不等式；③x=5是等式，④x2−xy+y2是代数式，没有不等关系，所以不是不等式，⑤x+2>y−7是不等式，⑥a≠3是不等式．不等式有①⑤⑥，共3个．故选：C．小提示：本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：>，<，≤，≥，≠．10、如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（）A．a+3＜b+3B．a－3＜b－3C．3a＞3b D．－3a＞－3b答案：C分析：根据不等式的基本性质即可解决．解：A.∵a ＞b ，∴a +3＞b +3，原变形错误，故本选项不符合题意；B. ∵a ＞b ，∴a －3＞b －3，原变形错误，故本选项不符合题意；C. ∵a ＞b ，∴3a ＞3b ，原变形正确，故本选项符合题意；D. ∵a ＞b ，∴－3a ＜－3b ，原变形错误，故本选项不符合题意；故选：C小提示：本题主要考查不等式的性质．需利用不等式的性质对根据已知得到的不等式进行变形，从而找到最后的答案．填空题11、“寒辞去冬雪，暖带入春风”，随着新春佳节的临近，家家户户都在准备年货，腊肉香肠几乎是川渝地区必备的年货之一．某超市购进一批川味香肠和广味香肠进行销售，试销期间，两种香肠各销售100千克，销售总额为12000元，利润率为20%．正式销售时，超市决定将两种香肠混装成礼盒的形式促销（每个礼盒的成本为混装香肠的成本之和），其中A 礼盒混装2千克广味香肠，2千克川味香肠；B 礼盒混装1千克广味香肠，3千克川味香肠，两种礼盒的数量之和不超过180个．超市工作人员在对这批礼盒进行成本核算时将两种香肠的成本刚好弄反，这样核算出的成本比实际成本少了500元，则超市混装A 、B 两种礼盒的总成本最多为______元．答案：36250分析：设每千克川味香肠的成本为x 元，每千克广味香肠的成本为y 元，先根据利润率的计算公式可得x +y =100，从而可分别求出每个A,B 礼盒的实际成本和核算出的成本，再设A 礼盒的数量为a 个，B 礼盒的数量为b 个，根据“核算出的成本比实际成本少了500元”可得x −y =250b ，从而可得x =125b +50，然后结合a +b ≤180求出超市混装A,B 两种礼盒的总成本的最大值即可得．解：设每千克川味香肠的成本为x 元，每千克广味香肠的成本为y 元，由题意得：100×(1+20%)(x +y)=12000，即x +y =100，则每个A 礼盒的实际成本和核算出的成本均为2x +2y =200（元），每个B 礼盒的实际成本为3x +y =2x +100（元），核算出的成本为x +3y =2y +100（元），设A 礼盒的数量为a 个，B 礼盒的数量为b 个，由题意得：{a +b ≤180200a +(2x +100)b −200a −(2y +100)b =500，即{a +b ≤180x −y =250b ， 联立{x −y =250b x +y =100，解得x =125b +50， 则超市混装A,B 两种礼盒的总成本为200a +(2x +100)b =200a +2xb +100b=200a +2b ⋅(125b +50)+100b =200(a +b)+250≤36250，即超市混装A,B 两种礼盒的总成本最多为36250元，所以答案是：36250．小提示：本题考查了列代数式、二元一次方程组的应用等知识点，通过设立未知数，正确找出等量关系是解题关键．12、已知关于x 的不等式组{x −1>2x ≤m无解，则m 的取值范围是____． 答案：m ≤3分析：先计算第一个不等式，得到x >3，不等式组无解，即两个不等式没有公共解集，据此解题．解：由不等式组可得{x >3x ⩽m， 因为不等式组无解，根据大大小小找不到的原则可知m ⩽3，所以答案是：m ≤3．小提示：本题考查由一元一次不等式组的解集求参数，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13、若m ＞n ，则﹣2m ________﹣2n （填＞，＜）答案：<分析：根据不等式的性质进行求解即可．解：∵m >n∴−2m <−2n所以答案是：<．小提示：本题考查了不等式的性质．解题的关键在于明确不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变．14、已知关于x 的不等式组{2x −1<4x −m >0的整数解有且只有2个，则m 的取值范围是__________． 答案：0≤m ＜1分析：首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数的个数，确定整数解，从而确定m 的范围．解： {2x −1<4①x −m >0②， 解①得x <52，解②得x ＞m ，则不等式组的解集是m ＜x ＜52． 不等式组有2个整数解，则整数解是1，2．则0≤m ＜1．故答案是：0≤m ＜1．小提示：此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．15、不等式组{x −2>1x+12<3 的解集是________． 答案：3<x <5分析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：由x −2>1，得：x >3，由x+12<3，得：x <5，则不等式组的解集为3<x <5，所以答案是：3<x <5．小提示：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．解答题16、（1）已知不等式组{x −3(x −b)≤4a+2x 3>x −1 的解集为1≤x ＜2，求a 、b 的值． （2）已知关于x 的不等式组{x ≥a −3x ≤15−5a无解，试化简|a +1|－|3－a |． 答案：（1）a ＝－1，b ＝2；（2）4．分析：（1）先解出含参数的不等式的解集，再根据已知的解集求出a 、b 的值；（2）根据不等式无解得a －3＞15－5a ，即可求出a 的取值范围，再根据绝对值的运算法则进行化简．（1）{x −3(x −b)≤4①a+2x 3>x −1② 由①，得x ≥3b 2－2， 由②，得x ＜3+a ，所以不等式组的解集为3b 2－2≤x ＜3+a ，因为已知不等式组的解集委1≤x ＜2，所以3b 2－2＝1，3+a ＝2， 所以a ＝－1，b ＝2．（2）∵关于x 的不等式组{x ≥a −3x ≤15−5a无解， ∴a －3＞15－5a∴a ＞3，原式＝a +1－（a －3）＝4．小提示：此题主要考查了根据不等式的解集情况求番薯，化简绝对值，解题的关键是熟知不等式的解法． 17、x+35的值能否同时大于2x +3和1−x 的值？说明理由．答案：不能，见解析分析：根据题意列出不等式组，然后分别求出两个不等式的解集，再求公共部分即可．解：不能．理由如下：{x+35>2x +3①x+35>1−x② ，由①得：x＜−43，由②得：x＞13，∴不等式组无解，因此不能同时大于2x+3和1−x的值．小提示：本题考查的是根据题意列不等式组并求解，熟练掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中间，小小大大无解”．18、解不等式组：{5x+2≥3(x-1)①12x-1≤7-32x②，并把解集在数轴上表示出来．答案：-2.5≤x≤4，数轴上表示见解析分析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：解不等式①，得：x≥-2.5，解不等式②，得：x≤4，则不等式组的解集为-2.5≤x≤4，将不等式组的解集表示在数轴上如下：小提示：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．。
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徐宝騄（1910-1970），浙江杭州人，中国著名的数理统计学家．1936年徐宝騄进入当时的数理统计研究中心伦敦大学学院学习数理统计，1940年回国任教．作为我国概率统计方面的学科带头人，在数理统计的许多领域，他都做出了杰出贡献，Springer 出版的专著介绍了对他的评价：“徐宝騄是20世纪中最渊博、富有创造性的统计学家之一．”14．不等式（组）的应用解读课标现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题是很难确定或不需确定具体的数值，但可以求出或确定某个量的变化范围或变化趋势，从而对所研究问题有一个较清晰的估算或认识，这就是不等分析的基本思想．不等式的应用主要表现在： （1）求代数式的取值范围； （2）作差或作商比较数的大小； （3）求代数式的最值；（4）列不等式（组）解决实际问题． 问题解决例1 若a 、b 满足2357a b +=，223s a b =-，则s 的取值范围是______________．试一试 用s 的代数式表示2a 、b ，由20a ≥、0b ≥建立关于s 的不等式组． 例2 1a 、2a ，…，2004a 都是正数，如果()()122003232004M a a a a a a =++++++，()()122004222003N a a a a a a =++++++，那么M 、N 的大小关系是（ ）．A ．M N >B ．M N =C ．M N <D ．不确定的试一试 作差比较M 、N 的大小，解题的关键是如何简化M 、N ，不妨换元．例3 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一次小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但又不少于4人，这个中学共选派值勤学生多少人？共在多少个交通路口安排值勤？试一试 设共在x 个交通路口安排值勤，则共派478x +名学生值勤，解题的关键是，若每个路口安排8人，则最后一个路口安排人数用怎样的不等式表示．例4 某工厂生产A 、B 两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：若该厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问：工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利最大？最大利润是多少？试一试 设生产A 种产品x 件，建立x 的不等式组，将问题转化为求x 的整数解并讨论． 例5 已知1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a 是彼此互不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数1a 的最大值．分析与解 不妨设1237a a a a <<<<，则1237159a a a a ++++=，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含1a 的不等式，这里要用到整数的如下性质：设a 、b 为整数，若a b <，则1a b +≤．因1a ，2a ，…7a 为整数，故121a a +≤，132a a +≤，143a a +≤，151a a +≤，165a a +≤，176a a +≤，上面不等武相加，得1721159a +≤，15197a ≤，故1a 的最大值是19．放缩法放缩法，即将代数式的某些部分恰当地放大或缩小，从而得到相应的不等式，以达到解决问题的目的．放缩法的实质是构造不等式，通过缩小范围逼近求解，放缩法体现了化“相等”为不等．以“不等”求“相等”的策略和思想．例6 将若干由1开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下的数的平均数为4537，问删去的那个数是多少？分析 设所写的数为1，2，…，n ，删去其中的()1a a n ≤≤，则余下的数的平均数为1245317n a n +++-=-，由1a n ≤≤，建立n 的不等式组．解1a n ≤≤，()()1231231123111n nn n a n n n ++++-++++-++++-∴<<---，即()()()1112142253171n n n n n n -+-<<--，解得1110510777n ≤≤，106n =或107．当106n =时，46a =；当107n =时，a 为非正数，舍去．数学冲浪1．在关于1x ，2x ，3x 的方程组121232313x x a x x a x x a+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩中，已知123a a a >>，那么将1x ，2x ，3x 从大到小排起来应该是_________________．2．若方程组24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x ，y 都是正数，则m 的取值范围是___________．3．一辆公共汽车上有()54a -名乘客，到某一车站有()92a -名乘客下车，则车上原有_______名乘客．4．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于（ ）．A ．49千克B ．50千克C ．24千克D ．25千克5．几位同学拍一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元，在每位同学得到一张相片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（ ）．A ．至多6人B ．至少6人C ．至多5人D ．至少5人6．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（ ）．A ．11B ．8C ．7D ．57．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友未分到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．8．“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：视机的数量的3倍，请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2012年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？9．温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n 件产品运往A ，B ，C 三地销售，要求运往C 地的件数是运往A 地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x 件产品运往A 地．（1）当200n 时，①根据信息填表：（2）若总运费为5800元，求n 的最小值． 思维方法天地10．100名少年运动员胸前的号码分别是1，2，3，…，99，100．选出其中的k 名运动员，使得他们的号码数之和等于2008，那么k 的最大值是______________．11．按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否487>”为一次操作，如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是____________．12．a 、b 、c 、d 是正整数，且20a b +=，24a c +=，22a d +=，设a b c d +++的最大值为M ，最小值为N ，则M N -=____________．13．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A 、B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水及年消耗费如下表．经计算，该企业购买设备的资金不高于105万元，请你设计，该企业购买方案有______________种．14．要使方程组3232x y ⎧⎨+=⎩的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ）．A ．433a << B ．43a < C ．3a > D ．43a <或3a > 15．已知a ，b ，c ，d 都是整数，且2a b <，3b c <，4c d <，50d <，那么a 的最大值是（ ）． A ．1157 B ．1167 C ．1191 D ．119916．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条6元，后来他又以每条2a b+元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）． A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．与a 和b 的太小关系无关 17．若2a b +=-，且2a b ≥，则（ ）． A ．b a 有最小值12 B ．b a 有最大值1 C ．a b 有最大值2 D ．a b 有最小值89-18．有五个数，每两个数的和分别为2，3，4，5，6，7，8，6，5，4（未按顺序排列），求五个数中最大数的值．19．问题提出我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式M 、N 的大小，只要作出它们的差M N -，若0M N ->，则M N >；若0M N -=，则M N =；若0M N -<，则M N <．问题解决如图①，把边长为()a b a b +≠的大正方形分割成两个边长分别是a 、b 的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和M 与两个矩形面积之和N 的大小．图①a解：由图可知，22M a b =+，2N ab =， ()2222M N a b ab a b ∴-=+-=-．a b ∴≠，()20a b ∴-> 0M N ∴->，M N ∴>．类比应用（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为2a b +元/千克、2aba b+元/千克（a ，b 是正数，且a b ≠），试比较小丽和小颖所购商品的平均价格的高低．（2）试比较图②、图③两个矩形的周长1M 、1N 的大小()b c >．图②b +ca +b图③a-cb +3c联系拓展小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，箱子的尺寸如图④所示()0b a c >>>，售货员分别可按图⑤、图⑥、图⑦三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．图④c ba 图⑤图⑥图⑦应用探究乐园20．已知n ，k 皆为自然数，且1k n <<，若102131n kn =-++++-，及n k a +=，求a 的值．21．某楼盘一楼是车库（暂不销售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/平方米，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为2120m ，开发商为购买者制定了两种购房方案．方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．方案二：若购买者一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a 元）．（1）请写出每平方米售价y （元/平方米）与楼层x （223x ≤≤，x 是正整数）之间的关系式． （2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？（3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法．14．不等式（组）的应用答案问题解决 例1 211453s -≤≤ 2215019s a +=≥ 143019s b -=≥ 例2 A 设122003a a a a +++=，232003a a a b +++=，则()()()2004220040040M a a b a a b N a b a -=+-+=->．例3 由题意得()4784818x x +--<≤，19．520.5x <≤，20x =，共有值勤学生78420158+⨯=（人），共在20个交通路口值勤． 例4 x 正整数解为17，18，19，即共有三种生产方案，具体方案略；最大利润为16.6万元． 数学冲浪 1．213x x x >> 2．572m << 3．6人或11人或16人 提示：540a -≥且920a -≥、5492a a --≥． 4．D 5．B 6．B7．37个或42个，5人或6人 8．（1）共有三种进货方案； （2）最多送出消费券130张（130600130100≈）． 9．（1）①略 ②有三种运输方案； （2）n 的最小值为221．10．选号码越小的，可以使选出的人数越多，因此考虑选由1～n 的连续n 个自然数之和不超过2008的n 组，因()112320082n n n +++++=≤，得()14016n n +≤，626339064016⨯=<，636440324016⨯=>，于是取62n =．即最多能选出62人．11．719x <≤ 前四次操作的结果分别为32x -，()332298x x --=-，()39822726x x --=-，()3272628180x x --=-．由已知，得27264878180487,x x -⎧⎨->⎩≤，解得719x <≤．容易验证，当719x <≤时，32487x -≤，98487x -≤． 故x 的取值范围是719x <≤．12．36 20b a =-，24c a =-，22d a =-，由a ，b ，c ，d 为正整数得119a ≤≤，原式662a =-． 13．3 设购买x 台A 种型号的设备，y 台B 种型号的设备，则101210105.x y x y +=⎧⎨+⎩≤ 14．D 345a x -=，625ay -=，()()34620a a --<． 15．B 21a b -≤，31b c -≤，41c d -≤，50149d -=≤． 16．A()()532022a b b aa b +--+=<，得a b >． 17．C 0a >，0b <或0a <，0b <，从而12b a ≤或12b a ≥，2ab≤．18．设a b c d e ≤≤≤≤，将和数从小到大重新排列为2，3，4，4，5，5，6，6，7，8． 则2378,a b a c c e d e +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩又()1234455667812.54a b c d e ++++=+++++++++=，从而 4.5e =．19．（1）()()22022a b a b ab a b a b -+-=>++，22a b ab a b+∴>+，即小丽所购商品的平均价格比小颖的高． （2）图②矩形的周长大于图③矩形的周长． 联系拓展图⑦的捆绑方法用绳最长，图⑥的最短． 20．1k n << ()()()1231231231111n nn kn n n n ++++-++++-++++-∴<<---．即()()()11121221011n n n n n n -+-<<--，21022n n +<<，202n n <<+，19n = 于是()1231910191k++++-=-，119201802k ⨯⨯-=，10k =故191029a n k =+=+=．21．（1）()()20284028,402680823,x x x y x x x ⎧+⎪=⎨+<⎪⎩为正整数为正整数≤≤≤ （2）当28x ≤≤时，小张首付款为：()()20284012030%36202840362082840108(0)00x x +⨯⨯=+⨯+=≤（元）120000<（元）．所以2～8层可任选．当923x ≤≤时，小张首付款为：()()40268012030%36402680x x +⨯⨯=+（元），由()36402680120000ax +≤，解得4911633x =≤． 因x 为正整数，所以916x ≤≤．综上可知：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：()14016268012092%60y a =⨯+⨯⨯-（元）． 若按老王的想法则要交房款为：()24016268012091%y =⨯+⨯⨯（元）． 由12398460y y a -=-．可知当12y y >，即12y y -时，解得066.4a <<，此时老王想法正确；当12y y ≤，即120y y -≤，解得66.4a ≥，此时老王想法不正确．。