七年级数学下思维探究-绝对值与方程(含答案)
七年级数学上册数学 2.4.2 绝对值与相反数-绝对值(六大题型)(解析版)
2.4.2绝对值与相反数——绝对值分层练习考察题型一求一个数的绝对值1．下列各对数中，互为相反数的是()A ．(5)-+与(5)+-B ．12-与(0.5)-+C ．|0.01|--与1(100--D ．13-与0.3【详解】解：A ．(5)5-+=-，(5)5+-=-，不合题意；B ．(0.5)0.5-+=-，与12-相等，不合题意；C ．|0.01|0.01--=-，11()0.01100100--==，0.01-与0.01互为相反数，符合题意；D ．13-与0.3不是相反数，不合题意．故本题选：C ．2．若m 、n 互为相反数，则|5|m n -+=．【详解】解：m 、n 互为相反数，|5||5|5m n -+=-=．故本题答案为：5．3．比较大小：3(15--)| 1.35|--．（填“<”、“>”或“=”）【详解】解：3(1) 1.65--=，| 1.35| 1.35--=-，因为1.6 1.35>-，所以3(15--)| 1.35|>--．故本题答案为：>．考察题型二绝对值的代数意义1．最大的负整数是，绝对值最小的数是．【详解】解：最大的负整数是1-，绝对值最小的数是0．故本题答案为：1-，0．2．如果|2|2a a -=-，则a 的取值范围是()A ．0a >B ．0aC ．0aD ．0a <【详解】解：|2|2a a -=- ，20a ∴-，解得：0a ．故本题选：C ．3．如果一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是()A ．正数B ．负数C ．正数或零D ．负数或零【详解】解： 一个数的绝对值是它的相反数，设这个绝对值是a ，则||0a a =-，0a ∴．故本题选：D ．4．已知实数满足|3|3x x -=-，则x 不可能是()A ．1-B ．0C ．4D ．3【详解】解：|3|3x x -=- ，30x ∴-，即3x ．故本题选：C ．5．下列判断正确的是()A ．若||||a b =，则a b=B ．若||||a b =，则a b =-C ．若a b =，则||||a b =D ．若a b =-，则||||a b =-【详解】解：若||||a b =，则a b =-或a b =，所以A ，B 选项错误；若a b =，则||||a b =，所以C 选项正确；若a b =-，则||||a b =，所以D 选项错误．故本题选：C ．6．在数轴上有A 、B 两点，点A 在原点左侧，点B 在原点右侧，点A 对应整数a ，点B 对应整数b ，若||2022a b -=，当a 取最大值时，b 值是()A ．2023B ．2021C ．1011D ．1【详解】解： 点A 在点B 左侧，0a b ∴-<，||2022a b b a ∴-=-=，a 为负整数，则最大值为1-，此时(1)2022b --=，则2021b =．故本题选：B ．7．若x 为有理数，||x x -表示的数是()A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数【详解】解：（1）若0x 时，||0x x x x -=-=；（2）若0x <时，||20x x x x x -=+=<；由（1）（2）可得：||x x -表示的数是非正数．故本题选：B ．8．如果||||||m n m n +=+，则()A ．m 、n 同号B ．m 、n 异号C ．m 、n 为任意有理数D ．m 、n 同号或m 、n 中至少一个为零【详解】解：当m 、n 同号时，有两种情况：①0m >，0n >，此时||m n m n +=+，||||m n m n +=+，故||||||m n m n +=+成立；②0m <，0n <，此时||m n m n +=--，||||m n m n +=--，故||||||m n m n +=+成立；∴当m 、n 同号时，||||||m n m n +=+成立；当m 、n 异号时，则：||||||m n m n +<+，故||||||m n m n +=+不成立；当m 、n 中至少一个为零时，||||||m n m n +=+成立；综上，如果||||||m n m n +=+，则m 、n 同号或m 、n 中至少一个为零．故本题选：D ．考察题型三解方程：()0x a a =>，x a =±；0x =，0x =1．若|| 3.2a -=-，则a 是()A ．3.2B ． 3.2-C ． 3.2±D ．以上都不对【详解】解：|| 3.2a -=- ，|| 3.2a ∴=，3.2a ∴=±．故本题选：C ．2．若0a <，且||4a =，则1a +=．【详解】解：若0a <，且||4a =，所以4a =-，13a +=-．故本题答案为：3-．3．已知||4x =，||5y =且x y >，则2x y -的值为()A ．13-B ．13+C ．3-或13+D ．3+或13-【详解】解：||4x = ，||5y =且x y >，y ∴必小于0，5y =-，当4x =或4-时，均大于y ，①当4x =时，5y =-，代入224513x y -=⨯+=；②当4x =-时，5y =-，代入22(4)53x y -=⨯-+=-；综上，23x y -=-或2x y -=13+．故本题选：C ．4．已知||4m =，||6n =，且||m n m n +=+，则m n -的值是()A ．10-B ．2-C ．2-或10-D ．2【详解】解：||m n m n +=+ ，||4m =，||6n =，4m ∴=，6n =或4m =-，6n =，462m n ∴-=-=-或4610m n -=--=-．故本题选：C ．5．若|2|1x -=，则x 等于．【详解】解：根据题意可得：21x -=±，当21x -=时，解得：3x =；当21x -=-时，解得：1x =；综上，3x =或1x =．故本题答案为：1或3．6．小明做这样一道题“计算|2-★|”，其中★表示被墨水染黑看不清的一个数，他翻开后面的答案得知该题的结果为6，那么★表示的数是．【详解】解：设这个数为x ，则|2|6x -=，所以26x -=或26x -=-，①26x -=，62x -=-，4x -=，4x =-；②26x -=-，62x -=--，8x -=-，8x =；综上，4x =-或8．故本题答案为：4-或8．考察题型四绝对值的化简1．若1a <，|1||3|a a -+-=．【详解】解：1a < ，10a ∴->，30a ->，∴原式1342a a a =-+-=-．故本题答案为：42a -．2．若|||4|8x x +-=，则x 的值为．【详解】解：|||4|8x x +-= ，∴当4x >时，48x x +-=，解得：6x =；当0x <时，48x x -+-=，解得：2x =-．故本题选：2-或6．3．已知20212022x =，则|2||1||||1||2|x x x x x ---+++-+的值是．【详解】解：20212022x = ，即01x <<，20x ∴-<，10x -<，10x +>，20x +>，|2||1||||1||2|x x x x x ∴---+++-+2(1)12x x x x x =---+++--2112x x x x x =--++++--x =20212022=．故本题答案为：20212022．4．若a 、b 、c 均为整数，且||||1a b c a -+-=，则||||||a c c b b a -+-+-的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】解：a ，b ，c 均为整数，且||||1a b c a -+-=，||1a b ∴-=，||0c a -=或||0a b -=，||1c a -=，①当||1a b -=，||0c a -=时，c a =，1a b =±，所以||||||||||||0112a c c b b a a c a b b a -+-+-=-+-+-=++=；②当||0a b -=，||1c a -=时，a b =，所以||||||||||||1102a c c b b a a c c a b a -+-+-=-+-+-=++=；综上，||||||a c c b b a -+-+-的值为2．故本题选：B ．5．用abc 表示一个三位数，已知这个三位数的低位上的数字不大于高位上的数字，当||||||a b b c c a -+-+-取得最大值时，这个三位数的最小值是．【详解】解：abc 表示一个三位数，已知这个三位数的低位上的数字不大于高位上的数字，a b c ∴，||||||a b b c c a ∴-+-+-a b b c a c =-+-+-22a c =-2()a c =-，当||||||a b b c c a -+-+-取得最大值时，即a c -取得最大值，而a 、b 、c 是自然数，9a ∴=，0c =，∴这个三位数的最小值为900．故本题答案为：900．【根据数轴上的点的位置化简绝对值】6．已知a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简||||a c a b +-+的结果是()A ．2a b c ++B ．b c -C ．c b -D ．2a b c--【详解】解：由题意得：0b a c <<<，且||||c a >．0a c ∴+>，0a b +<，∴原式()a c a b =+---a c a b =+++2a b c =++．故本题选：A ．7．已知a ，b ，c 的位置如图所示，则||||||a a b c b ++--=．【详解】解：由数轴可知：0b a c <<<，且||||||b c a >>，0a b ∴+<，0c b ->，||||||a abc b ∴++--()()a abc b =--+--a a b c b=----+2a c =--．故本题答案为：2a c --．8．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“>”或“<”填空：b c -0，a b +0，c a -0．（2）化简：||||||b c a b c a -++--．【详解】解：（1）由图可知：0a <，0b >，0c >且||||||b a c <<，所以0b c -<，0a b +<，0c a ->，故本题答案为：<，<，>；（2）||||||b c a b c a -++--()()()c b a b c a =-+----c b a b c a=----+2b =-．【当0a >，1||aa =，当0a <时，1||aa =-】9．已知0ab ≠，则||||a b a b +的值不可能的是()A ．0B ．1C ．2D ．2-【详解】解：①当a 、b 同为正数时，原式112=+=；②当a 、b 同为负数时，原式112=--=-；③当a 、b 异号时，原式110=-+=．故本题选：B ．10．已知a ，b 为有理数，0ab ≠，且2||3||a bM a b =+．当a ，b 取不同的值时，M 的值等于()A ．5±B ．0或1±C ．0或5±D ．1±或5±【详解】解：由于a ，b 为有理数，0ab ≠，当0a >、0b >时，且2||3235||a b M a b =+=+=；当0a >、0b <时，且2||3231||a b M a b =+=-=-；当0a <、0b >时，且2||3231||a b M a b =+=-+=；当0a <、0b <时，且2||3235||a b M a b =+=--=-．故本题选：D ．11．已知a ，b ，c 为非零有理数，则||||||a b c a b c ++的值不可能为()A ．0B ．3-C ．1-D ．3【详解】解：当a 、b 、c 没有负数时，原式1113=++=；当a 、b 、c 有一个负数时，原式1111=-++=；当a 、b 、c 有两个负数时，原式1111=--+=-；当a 、b 、c 有三个负数时，原式1113=---=-；原式的值不可能为0．故本题选：A ．12．若||||||a b ab x a b ab =++，则x 的最大值与最小值的和为()A ．0B ．1C ．2D ．3【详解】解：当a 、b 都是正数时，1113x =++=；当a 、b 都是负数时，1111x =--+=-；当a 、b 异号时，1111x =--=-；则x 的最大值与最小值的和为：3(1)2+-=．故本题选：C ．13．已知：||2||3||a b b c c a m c a b+++=++，且0abc >，0a b c ++=．则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最大的值为y ，则(x y +=)A ．4B ．3C ．2D ．1【详解】解：0abc > ，0a b c ++=，a ∴、b 、c 为两个负数，一个正数，a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，∴||2||3||c a b m c a b---=++，∴分三种情况说明：当0a <，0b <，0c >时，1234m =--=-，当0a <，0c <，0b >时，1230m =--+=，当0a >，0b <，0c <时，1232m =-+-=-，m ∴共有3个不同的值，4-，0，2-，最大的值为0，3x ∴=，0y =，3x y ∴+=．故本题选：B ．14．已知||1abc abc =，那么||||||a b c a b c++=．【详解】解：1abcabc =，0abc ∴>，a ∴、b 、c 均为正数或一个正数两个负数，①当a 、b 、c 均为正数时，1113ab c ab c ++=++=；②a 、b 、c 中有一个正数两个负数时，不妨设a 为正数，b 、c 为负数，1111ab c a b c++=--=-；综上，3ab c++=或1-．故本题答案为：3或1-．考察题型五绝对值的非负性1．任何一个有理数的绝对值一定()A ．大于0B ．小于0C ．不大于0D ．不小于0【详解】解：由绝对值的定义可知：任何一个有理数的绝对值一定大于等于0．故本题选：D ．2．对于任意有理数a ，下列结论正确的是()A ．||a 是正数B ．a -是负数C ．||a -是负数D ．||a -不是正数【详解】解：A 、0a =时||0a =，既不是正数也不是负数，故本选项错误；B 、a 是负数时，a -是正数，故本选项错误；C 、0a =时，||0a -=，既不是正数也不是负数，故本选项错误；D 、||a -不是正数，故本选项正确．故本题选：D ．3．式子|1|3x --取最小值时，x 等于()A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】解：|1|0x - ，∴当10x -=，即1x =时，|1|3x --取最小值．故本题选：A ．4．当a =时，|1|2a -+会有最小值，且最小值是．【详解】解：|1|0a - ，|1|22a ∴-+，∴当10a -=，即1a =，此时|1|2a -+取得最小值2．故本题答案为：1，2．5．已知|2022||2023|0x y -++=，则x y +=．【详解】解：|2022|x - ，|2023|0y +，20220x ∴-=，20230y +=，2022x ∴=，2023y =-，202220231x y ∴+=-=-．故本题答案为：1-．6．如果|3||24|y x +=--，那么(x y -=)A ．1-B ．5C ．5-D ．1【详解】解：|3||24|y x +=-- ，|3||24|0y x ∴++-=，30y ∴+=，240x -=，解得：2x =，3y =-，235x y ∴-=+=．故本题选：B ．7．若|2|2|3|3|5|0x y z -+++-=．计算：（1）x ，y ，z 的值．（2）求||||||x y z +-的值．【详解】解：（1）由题意得：203050x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得：235x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即2x =，3y =-，5z =；（2）当2x =，3y =-，5z =时，|||||||2||3||5|2350x y z +-=+--=+-=．8．若a 、b 都是有理数，且|2||1|0ab a -+-=，求1111(1)(1)(2)(2)(2022)(2022)ab a b a b a b +++⋯⋯+++++++的值．【详解】解：由题意可得：20ab -=，10a -=，1a ∴=，2b =，原式1111 (12233420232024)=+++⨯⨯⨯⨯111111112233420232024=-+-+-++-112024=-20232024=．考察题型六绝对值的几何意义1．绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为6，则这两个数是()A ．6，6-B ．0，6C ．0，6-D ．3，3-【详解】解： 绝对值相等的两个数在数轴上对应的两个点间的距离是6，∴这两个数到原点的距离都等于3，∴这两个数分别为3和3-．故本题选：D ．2．绝对值不大于π的所有整数为．【详解】绝对值不大于π的所有整数为0，1±，2±，3±．故本题答案为：0，1±，2±，3±．3．绝对值小于4的所有负整数之和是．【详解】解： 绝对值小于4的所有整数是3-，2-，1-，0，1，2，3，∴符合条件的负整数是3-，2-，1-，∴其和为：3216---=-．故本题答案为：6-．4．大家知道|5||50|=-，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|63|-，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，类似地，式子|5|a +在数轴上的意义是．【详解】解：|5|a +在数轴上的意义是表示数a 的点与表示5-的点之间的距离．故本题答案为：表示数a 的点与表示5-的点之间的距离．5．计算|1||2|x x -++的最小值为()A ．0B ．1C ．2D ．3【详解】解：|1||2||1||(2)|x x x x -++=-+-- ，|1||2|x x ∴-++表示在数轴上点x 与1和2-之间的距离的和，∴当21x -时|1||2|x x -++有最小值3．故本题选：D ．6．当a =时，|1||5||4|a a a -+++-的值最小，最小值是．【详解】解：当4a 时，原式5143a a a a =++-+-=，这时的最小值为3412⨯=，当14a <时，原式5148a a a a =++--+=+，这时的最小值为189+=，当51a -<时，原式51410a a a a =+-+-+=-+，这时的最小值接近为189+=，当5a -时，原式5143a a a a =---+-+=-，这时的最小值为3(5)15-⨯-=，综上，当1a =时，式子的最小值为9．故本题答案为：1，9．7．已知式子|1||2||3||4|10x x y y ++-+++-=，则x y +的最小值是．【详解】解：令12x x a ++-=，34y y b ++-=，根据绝对值几何意义：a 表示x 到1-与2两点之间的距离之和，b 表示y 到3-与4两点之间的距离之和， 当12x -，34y -时，正好有10a b +=，∴当1x =-，3y =-时，x y +的最小值为：1(3)4-+-=-．故本题答案为：4-．8．若不等式|2||3||1||1|x x x x a -+++-++对一切数x 都成立，则a 的取值范围是．【详解】解：数形结合：绝对值的几何意义：||x y -表示数轴上两点x ，y 之间的距离．画数轴易知：|2||3||1||1|x x x x -+++-++表示x 到3-，1-，1，2这四个点的距离之和．令|2||3||1||1|y x x x x =-+++-++，3x =-时，11y =，1x =-时，7y =，1x =时，7y =，2x =时，9y =，可以观察知：当11x -时，由于四点分列在x 两边，恒有7y =，当31x -<-时，711y <，当3x <-时，11y >，当12x <时，79y <，当2x 时，9y ，综上，7y ，即|2||3||1||1|7x x x x -+++-++对一切实数x 恒成立．∴a 的取值范围为7a ．9．设|1|a x =+，|1|b x =-，|3|c x =+，则2a b c ++的最小值为．【详解】解：|1|2|1||3|x x x ++-++表示x 到1-、3-的距离以及到1的距离的2倍之和，当x 在1-和1之间时，它们的距离之和最小，此时26a b c ++=．故本题答案为：6．10．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示3-和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．（2）如果|1|3x +=，那么x =；（3）若|3|2a -=，|2|1b +=，且数a 、b 在数轴上表示的数分别是点A 、点B ，则A 、B 两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a 的点位于4-与2之间，则|4||2|a a ++-=．【详解】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：413-=，表示3--=，-和2两点之间的距离是：2(3)5故本题答案为：3，5；（2）|1|3x+=，x+=-，x+=或1313x=或4x=-，2故本题答案为：2或4-；（3）|3|2b+=，，|2|1a-=b=-或3b=-，∴=或1，1a5当5b=-时，则A、B两点间的最大距离是8，a=，3当1b=-时，则A、B两点间的最小距离是2，a=，1则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2，故本题答案为：8，2；（4）若数轴上表示数a的点位于4-与2之间，++-=++-=．a a a a|4||2|(4)(2)6故本题答案为：6．11．同学们都知道，|5(2)|--表示5与2-之差的绝对值，实际上也可理解为5与2-两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5(2)|--=；（2）同样道理|1008||1005|x x+=-表示数轴上有理数x所对点到1008-和1005所对的两点距离相等，则x=；（3）类似的|5||2|++-表示数轴上有理数x所对点到5x x-和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|5||2|7x x++-=，这样的整数是．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|3||6|-+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，x x说明理由．【详解】解：（1）|5(2)|7--=，故本题答案为：7；（2）(10081005)2 1.5-+÷=-，故本题答案为： 1.5-；（3）式子|5||2|7++-=理解为：在数轴上，某点到5x x-所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，所以满足条件的整数x 可为5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2，故本题答案为：5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2；（4）有，最小值为3(6)3---=．12．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示3-和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．如果表示数a 和1-的两点之间的距离是3，那么a =．（2）若数轴上表示数a 的点位于4-与2之间，则|4||2|a a ++-的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x ，使得|2||5|7x x ++-=，这些点表示的数的和是．（4）当a =时，|3||1||4|a a a ++-+-的值最小，最小值是．【详解】解：（1）|14|3-=，|32|5--=，|(1)|3a --=，13a +=或13a +=-，解得：4a =-或2a =，故本题答案为：3，5，4-或2；（2） 表示数a 的点位于4-与2之间，40a ∴+>，20a -<，|4||2|(4)[(2)]426a a a a a a ∴++-=++--=+-+=，故本题答案为：6；（3）使得|2||5|7x x ++-=的整数点有2-，1-，0，1，2，3，4，5，2101234512--++++++=，故本题答案为：12；（4）1a =有最小值，最小值|13||11||14|4037=++-+-=++=，故本题答案为：7．1．将2，4，6，8，⋯，200这100个偶数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任意数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式1(||)2a b a b -++中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是．【详解】解：当a b >时，11(||)()22a b a b a b a b a -++=-++=，当a b <时，11(||)()22a b a b b a a b b -++=-++=，1021041062007550∴+++⋯⋯+=，∴这50个值的和的最大值是7550．故本题答案为：7550．2．39121239||||||||a a a aa a a a +++⋯+的不同的值共有()个．A ．10B ．7C ．4D ．3【详解】解：当0a >，1||a a =，当0a <时，1||aa =-，按此分类讨论：当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 均为正数时，391212399||||||||a a a aa a a a +++⋯+=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有八个为正数，一个为负数时，39121239817||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有七个为正数，两个为负数时39121239725||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有六个为正数，三个为负数时，39121239633||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有五个为正数，四个为负数时，39121239541||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有四个为正数，五个为负数时，39121239451||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=-；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有三个为正数，六个为负数时，39121239363||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=-；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有两个为正数，七个为负数时，39121239275||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=-；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有一个为正数，八个为负数时，39121239187||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=-；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 均为负数时，391212399||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-；所以共有10个值．故本题选：A ．3．若x 是有理数，则|2||4||6||8||2022|x x x x x -+-+-+-+⋯+-的最小值是．【详解】解：当1012x =时，算式|2||4||6||2022|x x x x -+-+-+⋯+-的值最小，最小值=2|2|2|4|2|6|2|1012|x x x x -+-+-+⋯+-2020201620120=+++⋯+(20200)5062=+⨯÷20205062=⨯÷511060=．故本题答案为：511060．4．对于有理数x ，y ，a ，t ，若||||x a y a t -+-=，则称x 和y 关于a 的“美好关联数”为t ，例如，|21||31|3-+-=，则2和3关于1的“美好关联数”为3．（1）3-和5关于2的“美好关联数”为；（2）若x 和2关于3的“美好关联数”为4，求x 的值；（3）若0x 和1x 关于1的“美好关联数”为1，1x 和2x 关于2的“美好关联数”为1，2x 和3x 关于3的“美好关联数”为1，⋯，40x 和41x 关于41的“美好关联数”为1，⋯．①01x x +的最小值为；②12340x x x x +++⋯⋯+的最小值为．【详解】解：（1）|32||52|8--+-=，故本题答案为：8；（2）x 和2关于3的“美好关联数”为4，|3||23|4x ∴-+-=，|3|3x ∴-=，解得：6x =或0x =；（3）①0x 和1x 关于1的“美好关联数”为1，01|1||1|1x x ∴-+-=，∴在数轴上可以看作数0x 到1的距离与数1x 到1的距离和为1，∴只有当00x =，11x =时，01x x +有最小值1，故本题答案为：1；②由题意可知：12|2||2|1x x -+-=，12x x +的最小值123+=，34|4||4|1x x -+-=，34x x +的最小值347+=，56|6||6|1x x -+-=，56x x +的最小值5611+=，78|8||8|1x x -+-=，78x x +的最小值7815+=，......，3940|40||40|1x x -+-=，3940x x +的最小值394079+=，12340x x x x ∴+++⋯⋯+的最小值：371115...79+++++(379)202+⨯=820=，故本题答案为：820．。
部编数学七年级下册专题04《实数》解答题重点题型分类(解析版)含答案
专题04《实数》解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《实数》中“化简求值题型”、“利用平方根与立方根的性质解方程题型”、“计算解答题型”、“数轴比较大小题型”、“整数部分与小数部分题型”、“创新题型”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：化简求值题型方法点拨：1.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应（数形结合）。
2.数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.4.绝对值、平方、算术平方根的双重非负性的应用。
1．若0,0a ab <<，化简a b a --【答案】【分析】由0,0a ab <<判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值，再计算即可．【详解】解：∵0,0a ab <<，∴b ＞0，∴0,0a b b a --<->∴a b a --((a b b a =-----a b b a =-+++=【点睛】本题考查二次根式的化简，正确的对含绝对值号的代数式的化简是解题的关键．分类的标准应按正实数，负实数，零分类考虑．掌握好分类标准，不断加强分类讨论的意识．2．先化简后求值：()()()()222232x y y x y x y x y -----+-，其中x ，y满足30x y +=．【答案】xy -，1-【分析】直接利用整式的混合运算法则以及绝对值、算术平方根的性质得出x ，y 的值，进a a而计算得出答案．【详解】解：原式2222244432x xy y x y xy y =-+-++-xy =-，30x y +=Q ，\3402350x y x y +-=ìí--=î，解得：313x y =ìïí=ïî，\原式1313=-´=-．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，绝对值的非负性，算术平方根，解题的关键是正确掌握相关运算法则．3．先化简，再求值：[（3x +y ）（3x ﹣y ）﹣2x （y +2x ）+（y ﹣2x ）2]÷（﹣3x ），其中x 、y满足1y =．【答案】﹣3x +2y ，﹣26【分析】原式中括号利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝（9x 2﹣y 2﹣2xy ﹣4x 2+y 2﹣4xy +4x 2）÷（﹣3x ）＝（9x 2﹣6xy ）÷（﹣3x ）＝﹣3x +2y ，∵1y =，∴x ﹣8≥0且8﹣x ≥0，解得：x ＝8，∴11y ==-，∴原式＝﹣3×8+2×（﹣1）＝﹣24﹣2＝﹣26．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．4．已知多项式A ＝x 2+2xy ﹣3y 2，B ＝2x 2﹣3xy +y 2，先化简3A +2B ；再求当x ，y 为有理数且满足x 2y +2y ＝﹣+17时，3A +2B 的值．【答案】2277,63x y -【分析】根据多项式的加减运算进行化简，进而根据x ，y 为有理数求得,x y 的值，代入求解即可．【详解】Q A ＝x 2+2xy ﹣3y 2，B ＝2x 2﹣3xy +y 2，\()()222232323223A B x xy y x xy y +=+-++-2222369462x xy y x xy y =+-+-+2277x y =-()227x y =-Q x 2+2y ＝﹣，x ，y 为有理数，22x y \+==-，4,5y x \=-=±2225169x y \-=-=\原式7963=´=【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，实数的性质，求得,x y 的值是解题的关键．5．（1）化简：a 2+（5a 2﹣2a ）﹣2（a 2﹣3a ）；（2）先化简，再求值：14（﹣4x 2+2x ﹣8y ）﹣（﹣x ﹣2y ），其中x ＝23，y ＝2018．【答案】（1）244a a +；（2）232x x -+，59【分析】（1）去括号后合并同类项即可；（2）利用乘法分配律化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【详解】解：（1）a 2+（5a 2﹣2a ）﹣2（a 2﹣3a ），2225226a a a a a =+--+ ，244a a =+ ；（2）14（﹣4x 2+2x ﹣8y ）﹣（﹣x ﹣2y ），()()21114282444x x y x y =´-+´+´-++ ，21222x x y x y =-+-++ ，232x x =-+ ，当x ＝23，y ＝2018时，原式2232323æö=-+´ç÷èø ，419=-+ ，59= ．【点睛】此题主要考查了整式的化简求值和实数运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．6．已知数a a【答案】2【分析】直接利用数轴得出a 的取值范围，进而化简得出答案．【详解】解：由数轴得：0.50a -＜＜，a ＝121a a a-+++＝2．【点睛】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键．7．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点位置如图所示，化简：【答案】3b【详解】解：原式=|-c |+|a -b |+a +b -|b -c |，=c +（-a +b ）+a +b -（-b +c ），=c -a +b +a +b +b -c ，=3b ．【点睛】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质．8．若一个正数的两个平方根分别为1a -，27a +，请先化简再求值：()()222123a a a a -+--+．【答案】25a +，9【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可求得a 的值，再对原式去括号合并同类项化简后，代入a 的值求解即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为1a -，27a +，∴（a -1）+（2a +7）=0，解得a =-2．()()222123a a a a -+--+2222223a a a a =-+-++25a =+，当a =-2时，原式()2259=-+=．【点睛】本题主要考查了平方根的性质，整式的加减求值．利用正数的两个平方根互为相反数列等式求值是解题的关键．9．我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的．例如：（1）请仿照上例化简．①②；（2）请化简【答案】（1）；②2）【分析】（1）①根据题意仿照求解即可；②根据题意仿照求解即可；（2）先根据被开方数的非负性判断a 的正负，然后根据题意求解即可．【详解】解：（1）①；②===（2）∵∴10a -³，∴0a <∴==【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．10．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简a 时，当a 在数轴上位于原点的右侧时，a a =；当a 在数轴上位于原点时，0a =；当a 在数轴上位于原点的左侧时，a a =-．当a ，b ，c 三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题，（1）当1a =时，求aa =______，当2b =-时，求bb =______．（2）请根据a ，b ，c 三个数在数轴上的位置，求abca b c ++的值．（3）请根据a ，b ，c 三个数在数轴上的位置，化简：a c c a b b c ++++--．【答案】（1）1；1- ；（2）1-；（3）c -．【分析】（1）当1a =时，点a 在原点右边，由题意可知，此时a a =，代入a a 即可求值；当2b =- 时，点b 在原点左边，由题意可知，此时b b =-，代入bb 即可求值；（2）由图中获取a b c 、、三点的位置信息后，结合题意即可求原式的值；（3）由图获取a b c 、、的正、负信息和三个数绝对值的大小后，就可确定原式中绝对值符号里面式子的值的符号，就可化简原式．【详解】解：（1）当1a =时，111a a ==；当2b =-时，212b b ==--，故答案是：1，-1；（2）由数轴可得：0b < ，0c < ，0a > ，∴abca b c ++=1111a b c a b c--++=--=-；（3）由数轴可知：0b c a <<<且c a b <<，∴000a c a b b c +>+<-<，，，∴a c c a b b c++++--()[()][()]a c c a b b c =++-+-+---a c c ab b c=+---+-c =-．【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．在解第3小问这类题时，需注意以下两点：（1）根据在数轴上表示的数中，左边的总小于右边的，确定好所涉及数的大小关系及每个数的正、负信息（涉及异号两数相加的还要获取它们绝对值的大小关系）；（2）根据有理数加、减法法则确定好需化简式子中绝对值符号里的式子的正、负，然后再根据绝对值的代数意义将绝对值符号去掉．考点2：利用平方根与立方根的性质解方程题型方法点拨：解方程时应把平方部分看成一个整体，先根据等式基本性质把方程化为平方部分等什么。
07-绝对值与一元一次方程专项训练(含答案)经典
讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几
何意义迅速求解.
解:(1)提示:当 x<-3 时,原方程化为 x+3+(x-1)=x+1,得 x=-5;
当-3≤x<1 时,原方程化为 x+3+x-1=x+1,得 x=-1;
当 x≥1 时,原方程化为 x+3-(x-1)=x+1,得 x=3.
15.若 m 是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).
A.m-2001
B.-m-2001
C.m+2001
D.-m+2001
-4-
铮满分，吴压力！学而思网校_初中数学吴铮老师_QQ 答疑群：246440018_验证信息:快乐铮满分
16.若关于 x 的方程│2x-3│+m=0 无解,│3x-4│+n=0 只有一个解,│4x-5│+•k=0 有两个
A.10 或 2 5
B.10 或- 2 5
C.-10 或 2 5
D.-10 或- 2 5
(2000 年山东省竞赛题)
8.若│2000x+2000│=20×2000,则 x 等于( ).
A.20 或-21
B.-20 或 21
C.-19 或 21
D.19 或-21
(2001 年重庆市竞赛题)
9.解下列方程:
5.使方程 3│x+2│+2=0 成立的未知数 x 的值是( ).
A.-2
B.0
C. 2 3
6.方程│x-5│+x-5=0 的解的个数为(
D.不存在 ).
(完整版)七年级下册数学实数试卷及答案(人教版)
一、选择题1．对一组数(x,y)的一次操作变换记为P 1(x,y)，定义其变换法则如下：P 1(x,y)=(x+y,x-y)，且规定P n (x,y)=P 1(P n-1(x,y))（n 为大于1的整数），如：P 1(1,2)=(3,-1)，P 2(1,2)= P 1(P 1(1,2))= P 1(3,-1)=(2,4)，P 3(1,2)= P 1(P 2(1,2))= P 1(2,4)=(6,-2)，则P 2017(1,-1)=（ ）． A ．（0，21008） B ．（0，-21008） C ．（0，-21009） D ．（0，21009）2．定义一种新运算“*”，即()*23m n m n =+⨯-，例如()2*322339=+⨯-=．则()6*3-的值为（ ） A ．12 B ．24 C ．27 D ．30 3．若29x =，|y |＝7，且0x y ->，则x +y 的值为（ ）A ．﹣4或10B ．﹣4或﹣10C ．4或10D ．4或﹣104．以下11个命题：①负数没有平方根；②内错角相等；③同旁内角互补，两直线平行；④一个正数有两个立方根，它们互为相反数；⑤无限不循环小数是无理数；⑥数轴上的点与实数有一一对应关系；⑦过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；⑧不相交的两条直线叫做平行线；⑨从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．⑩开方开不尽的数是无理数；⑪相等的两个角是对顶角；其中真命题的个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．数轴上A ，B ，C ，D 四点中，两点之间的距离最接近于6的是（ ）A ．点C 和点DB ．点B 和点CC ．点A 和点CD ．点A 和点B6．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+p=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n7．观察下列各等式：231-+=-5-6+7+8=4-10-l1-12+13+14+15=9 -17-18-19-20+21+22+23+24=16……根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ） A ．-130B ．-131C ．-132D ．-1338．如图，点A 表示的数可能是（ ）A ．21+B ．6C ．11D ．179．下列说法中，正确的个数是（ ）．（1）64-的立方根是4-；（2）49的算术平方根是7±；（3）2的立方根为32；（4）7是7的平方根． A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，数轴上,A B 两点表示的数分别为1,2--，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．12-B ．21-C ．22-D ．22-二、填空题11．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①31；②3312+；③333123++；④33331234+++，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值333312326++++=__________．12．用⊕表示一种运算，它的含义是：1(1)(1)x A B A B A B ⊕=++++，如果5213⊕=，那么45⊕=__________．13．某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k 棵树种植在点k x 处，其中11x =，当2k ≥时，112()()55k k k k x x T T ---=+-，()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=. 按此方案，第6棵树种植点6x 为________；第2011棵树种植点2011x ________.14．a ※b 是新规定的这样一种运算法则：a ※b=a+2b ，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣1．若（﹣2）※x=2+x ，则x 的值是_____．15．如图，按照程序图计算，当输入正整数x 时，输出的结果是161，则输入的x 的值可能是__________．16．对于正整数a ，我们规定：若a 为奇数，则()f a 3a 1=+；若a 为偶数，则()af a .2=例如()f 15315146=⨯+=，()8f 842==，若1a 16=，()21a f a =，()32a f a =，()43a f a =，⋯，依此规律进行下去，得到一列数1a ，2a ，3a ，4a ，⋯，n a ，(n ⋯为正整数)，则1232018a a a a +++⋯+=______．17．将1，2，3，6按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，如（5，4）表示的数是2（即第5排从左向右第4个数），那么（2021，1011）所表示的数是 ___．18．将1，2，3，6按如图方式排列．若规定m ，n 表示第m 排从左向右第n 个数，则()7,3所表示的数是___________．19．已知M 是满足不等式27a <N 52M N +的平方根为__________．20．规定：用符号[x ]表示一个不大于实数x 的最大整数，例如：[3.69]＝3，3＝2，[﹣2.56]＝﹣3，[3＝﹣2．按这个规定，[131]＝_____．三、解答题21．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小华受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A 类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B 类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C 类，例如3，6，9等．（1）2020属于 类（填A ，B 或C ）；（2）①从A 类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A ，B 或C ）； ②从A 、B 类数中任取一数，则它们的和属于 类（填A ，B 或C ）；③从A 类数中任意取出8个数，从B 类数中任意取出9个数，从C 类数中任意取出10个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A ，B 或C ）；（3）从A 类数中任意取出m 个数，从B 类数中任意取出n 个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C 类，则下列关于m ，n 的叙述中正确的是 （填序号）． ①2m n +属于C 类；②m n -属于A 类；③m ，n 属于同一类．22．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图2中A 、B 两点表示的数分别为___________，____________；（2）请你参照上面的方法：①把图3中51⨯的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a=___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及3a-．（图中标出必要线段的长）23．阅读材料：求2320192020122222++++++的值．解：设2320192020122222S=++++++①，将等式①的两边同乘以2，得234202020212222222S=++++++②，用②－①得，2021221S S-=-即202121S=-．即2320192020202112222221++++++=-．请仿照此法计算：（1）请直接填写231222+++的值为______；（2）求231015555+++++值；（3）请直接写出202123452019202010 110101*********11-+-+-+-+-的值．24．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：现代社会会保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中,,,,,Q W E N M这26个字母依次对应1,2,3,,25,26这26个自然数（见下表）．Q W E R T Y U I O P A S D 12345678910111213 F G H J K L Z X C V B N M给出一个变换公式：(126,3)3217(126,31)318(126,32)3J J J xx x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩是自然数，被整除是自然数，被除余是自然数，被除余 将明文转成密文，如4+24+17=193⇒，即R 变为L ：11+111+8=123⇒，即A 变为S ．将密文转成成明文，如213(2117)210⇒⨯--=，即X 变为P ：133(138)114⇒⨯--=，即D 变为F ．（1）按上述方法将明文NET 译为密文．（2）若按上方法将明文译成的密文为DWN，请找出它的明文． 25．先阅读然后解答提出的问题：设a 、b 是有理数，且满足3=-a b a 的值． 解：由题意得(3)(0-++=a b ，因为a 、b 都是有理数，所以a ﹣3，b+2也是有理数， a-3=0，b+2=0， 所以a=3，b=﹣2， 所以3(2)8=-=-a b ．问题：设x 、y 都是有理数，且满足2210x y -=+x+y 的值． 26．a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如:2的差倒数是1112=--，现已知a 1=12，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，… (1)求a 2，a 3，a 4的值；(2)根据(1)的计算结果，请猜想并写出a 2016•a 2017•a 2018的值； (3)计算：a 33+a 66+a 99+…+a 9999的值． 27．观察下列各式：21131222-=⨯；21241333-=⨯；21351444-=⨯；……根据上面的等式所反映的规律， （1）填空：21150-=______；2112019-=______； （2）计算：2222111111112342019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭28．（阅读材料）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：第一步：∵10=100，1000593191000000<<，∴10100<<．∴能确定59319的立方根是个两位数． 第二步：∵59319的个位数是9，39729= ∴能确定59319的立方根的个位数是9．第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，34<<，可得3040<<， 由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （解答问题）根据上面材料，解答下面的问题 （1）求110592的立方根，写出步骤．（2=__________．29．小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减．”如：1132321123232323236--=-===⨯⨯⨯⨯，反之，这个式子仍然成立，即：1132321162323232323-===-=-⨯⨯⨯⨯. （1）问题发现 观察下列等式： ①1212111121212122-==-=-⨯⨯⨯⨯， ②13232112323232323-==-=-⨯⨯⨯⨯， ③14343113434342334-==-=-⨯⨯⨯⨯，…， 猜想并写出第n 个式子的结果：1(1)n n =+ ．（直接写出结果，不说明理由） （2）类比探究将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得： 1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯， 类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果： ①111112233420192020++++=⨯⨯⨯⨯ ；②1111122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯+ ； （3）拓展延伸 计算：111113355799101++++⨯⨯⨯⨯．30．请观察下列等式，找出规律并回答以下问题． 111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，1114545=-⨯，…… （1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n 个等式是：______． （2）①计算：11111223344950⨯⨯⨯⨯++++．②若a 0=，求： ()()()()()()()()111111122339797ab a b a b a b a b +++++++++++++．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【解析】分析：用定义的规则分别计算出P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，观察所得的结果，总结出规律求解.详解：因为P 1（1，-1）=（0，2）； P 2（1，-1）=P 1(P 1(1,-1）)=P 1(0,2)=(2,-2)； P 3（1，-1）=P 1（P 2(2,-2)）=(0,4)； P 4（1，-1）=P 1（P 3(0,4)）=(4,-4)； P 5（1，-1）=P 1（P 4(4,-4)）=(0,8)； P 6（1，-1）=P 1（P 5(0,8)）=(8,-8)； ……P 2n-1（1，-1）=……=(0,2n )； P 2n （1，-1）=……=(2n ,-2n ). 因为2017=2×1009-1， 所以P 2017=P 2×1009-1=（0，21009）. 故选D.点睛：对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则进行相关的计算；探索数字的变化规律通常用列举法，按照一定的顺序列举一定数量的运算过程和结果，从运算过程和结果中归纳出运算结果或运算结果的规律.2．C解析：C 【分析】根据新定义的公式代入计算即可． 【详解】∵()*23m n m n =+⨯-, ∴()6*3-=()623(3)27+⨯--=, 故选C ． 【点睛】本题考查了新定义下的实数计算，准确理解新定义公式是解题的关键．3．B解析：B 【分析】先根据平方根、绝对值运算求出,x y 的值，再代入求值即可得． 【详解】解：由29x =得：3x =±， 由7y =得：7y =±，0x y ->， x y ∴>，37x y =-⎧∴⎨=-⎩或37x y =⎧⎨=-⎩， 则3(7)10x y +=-+-=-或3(7)4x y +=+-=-， 故选：B ． 【点睛】本题考查了平方根、绝对值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．4．A解析：A 【分析】根据相关知识逐项判断即可求解． 【详解】解：①“负数没有平方根”，是真命题②“内错角相等”，缺少两直线平行这一条件，是假命题；③“同旁内角互补，两直线平行”，是真命题；④“一个正数有两个立方根，它们互为相反数”，一个正数有一个立方根，是假命题；⑤“无限不循环小数是无理数”，是真命题；⑥“数轴上的点与实数有一一对应关系”，是真命题；⑦“过一点有且只有一条直线和已知直线垂直”，缺少在同一平面内条件，是假命题；⑧“不相交的两条直线叫做平行线”，缺少在同一平面内条件，是假命题；⑨“从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离”，应为“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离”，是假命题．⑩“开方开不尽的数是无理数”，是真命题；⑪“相等的两个角是对顶角”，相等的角有可能是对顶角，但不一定是对顶角，是假命题． 所以真命题有5个． 故选：A 【点睛】本题考查判断真假命题、平方根、立方根、平行线的判定、无理数、实数与数轴关系、直线外一点到直线的距离、对顶角等知识，综合性较强，熟知相关知识点是解题关键．5．A解析：A【分析】的范围，结合数轴可得答案．【详解】解：∵4＜6＜9，∴2＜3，∴的是点C和点D．故选：A．【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．6．B解析：B【分析】根据n+p=0可以得到n和p互为相反数，原点在线段PN的中点处，从而可以得到绝对值最大的数．【详解】解：∵n+p=0，∴n和p互为相反数，∴原点在线段PN的中点处，∴绝对值最大的一个是Q点对应的q．故选B．【点睛】本题考查了实数与数轴及绝对值．解题的关键是明确数轴的特点．7．C解析：C【分析】通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n行右边的数就是n的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．【详解】解：第一行：211=；第二行：224=；第三行：239=；第四行：2416=；……第n行：2n；∴第11行：211121=．∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．8．C解析：C 【分析】先确定点A 表示的数在3、4之间，再根据夹逼法逐项判断即得答案． 【详解】解：点A 表示的数在3、4之间，A 、因为12<，所以213<<，故本选项不符合题意；B 23<<，故本选项不符合题意；C ，所以34<，故本选项符合题意；D ，所以45<<，故本选项不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了实数与数轴以及无理数的估算，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．9．C解析：C 【详解】4-，故（1）对；根据算术平方根的性质，可知49的算术平方根是7，故（2）错； 根据立方根的意义，可知23）对；7的平方根．故（4）对； 故选C.10．D解析：D 【分析】设点C 的坐标是x ，根据题意列得12x=-，求解即可. 【详解】解：∵点A 是B ，C 的中点． ∴设点C 的坐标是x ，=-，1则2x=-∴点C表示的数是2-．故选：D.【点睛】此题考查数轴上两点的中点的计算公式：两点的中点所表示的数等于两点所表示的数的平均数，正确掌握计算公式是解题的关键.二、填空题11．351【分析】先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．【详解】=1=3=6=10发现规律：1+2+3+∴1+2+3=351故答案为：351【点解析：351【分析】先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．【详解】+3++=1+2+3+nn∴3+=35126++=1+2+326故答案为：351【点睛】本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．12．【分析】按照新定义的运算法先求出x ，然后再进行计算即可.【详解】解：由解得：x=8故答案为.【点睛】本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的 解析：1745【分析】按照新定义的运算法先求出x ，然后再进行计算即可.【详解】 解：由1521=21(21)(11)3x ⊕=++++ 解得：x=818181745==45(41)(51)93045⊕=+++++ 故答案为1745. 【点睛】本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的值.13．403【解析】当k=6时，x6=T （1）+1=1+1=2，当k=2011时,=T()+1=403.故答案是:2,403.【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解xk 的表达解析：403【解析】当k=6时，x 6=T （1）+1=1+1=2，当k=2011时,2011 x =T(20105)+1=403. 故答案是:2,403.【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解xk的表达式并写出用T表示出的表达式是解题的关键．14．4【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.故答案为：4．点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根解析：4【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.故答案为：4．点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根据新定义的代数式计算即可.15．、、、．【详解】解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；解析：53、17、5、1．【详解】解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；如果四次才输出结果：则x=(5-2)÷3=1；则满足条件的整数值是：53、17、5、1．故答案为53、17、5、1．点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．16．4728【分析】先求出，，，，寻找规律后即可解决问题．【详解】由题意，，，，，，，，从开始，出现循环：4，2，1，，，，故答案为4728．【点睛】本题考查了规律型——数字的变解析：4728【分析】先求出1a ，2a ，3a ，⋯，寻找规律后即可解决问题．【详解】由题意1a 16=，2a 8=，3a 4=，4a 2=，5a 1=，6a 4=，7a 2=，8a 1=⋯，， 从3a 开始，出现循环：4，2，1，()201823672-÷=，2018a 1∴=，1232018a a a a 16867274728∴+++⋯+=++⨯=，故答案为4728．【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类问题，解题的关键是从一般到特殊，寻找规律，利用规律解决问题.17．1【分析】所给一系列数是4个数一循环，看是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可．【详解】解：前2020排共有的个数是：，表示的数是第个数，，第2021排的第1011个数为1．解析：1【分析】所给一系列数是4个数一循环，看(2021,1011)是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可．【详解】解：前2020排共有的个数是：(20201)20201234202020412102+⨯++++⋯⋯+==， (2021,1011)∴表示的数是第204121010112042221+=个数，204222151055541=⨯+，∴第2021排的第1011个数为1．故答案为：1．【点睛】本题考查算术平方根与规律型：数字的变化类，根据规律判断出是第几个数是解本题的关键．18．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．【详解】解：（7，3）表示第7排从左向右第3个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，1+2+3+4+5+6+3=24，24÷4=6，则（7，3，．【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键．19．±3【分析】先通过估算确定M、N的值，再求M+N的平方根．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴a的整数值为：-1，0，1，2，M=-1+0+1+2=2，∵，∴，N=7解析：±3【分析】先通过估算确定M 、N 的值，再求M+N 的平方根．【详解】解：∵< ∴221， ∵∴23<，∵a <∴23a -<<，∴a 的整数值为：-1，0，1，2，M=-1+0+1+2=2， ∵∴78<，N=7，M+N=9，9的平方根是±3；故答案为：±3．【点睛】本题考查了算术平方根的估算，用“夹逼法”估算算术平方根是解题关键．20．－5【详解】∵3<<4，∴−4<−<−3，∴−5<−−1<−4，∴[−−1]=−5.故答案为−5.点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，解决此题的关键是求出的范围. 解析：－5【详解】∵，∴，∴，∴故答案为−5..三、解答题21．（1）A；（2）①B；②C；③B；（3）①③．【分析】÷，结合计算结果即可进行判断；（1）计算20203（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；②从A、B两类数中任取两个数进行计算，即可求解；③根据题意，从A类数中任意取出8个数，从B类数中任意取出9个数，从C类数中任意取出10个数，把它们的余数相加，再除以3，即可得到答案；（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．【详解】解：（1）根据题意，÷=，∵202036731∴2020被3除余数为1，属于A类；故答案为：A．（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3=1…2，（4+7）÷3=3…2，……∴两个A类数的和被3除余数为2，则它们的和属于B类；②从A、B类数中任取一数，与①同理，如：（1+2）÷3=1，（1+5）÷3=2，（4+5）÷3=3，……∴从A、B类数中任取一数，则它们的和属于C类；③从A类数中任意取出8个数，从B类数中任意取出9个数，从C类数中任意取出10个数，把它们的余数相加，则⨯+⨯+=，8192026÷=，∴26382∴余数为2，属于B类；故答案为：①B；②C；③B．（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2=m+2n，∵最后的结果属于C类，∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；②若m=1，n=1，则|m-n|=0，不属于B类，②错误；③观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，③正确；综上，①③正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．22．（1）；（2）①②见解析【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N．【详解】（1）由图1知，小正方形的对角线长是2，∴图2中点A表示的数是2-，点B表示的数是2，故答案是：2-，2；（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，∴正方形的边长是5，如图所示：故答案是：5；②如图所示：【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解．23．（1）15；（2）11514-；（3）111．【分析】（1）先计算乘方，即可求出答案；（2）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；（3）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；【详解】解：（1）231248125122=++++=++；故答案为：15；（2）设231015555T=+++++①，把等式①两边同时乘以5，得112310555555T=+++++②，由②-①，得：11451T=-，∴11514T -=， ∴31121015551455++=+++-； （3）设234520192020110101010101010M =-+-+-+-+①， 把等式①乘以10，得：3456222019020202110101010101010101010M =-+-+-+-++②，把①+②，得：202111110M =+， ∴202110111M +=， ∴232452019200022111010101010110010111-+-+-+-++=， ∴20212345201920201011010101010101011-+-+-+-+- 20212021101101111+=- 111=． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，熟练掌握运算法则，熟练运用有理数乘法，以及运用消项的思想是解题的关键．24．（1）N,E,T 密文为M,Q,P;（2）密文D,W,N 的明文为F,Y ,C ．【分析】(1) 由图表找出N,E,T 对应的自然数,再根据变换公式变成密文.(2)由图表找出N=M,Q,P 对应的自然数，再根据变换.公式变成明文.【详解】解：（1）将明文NET 转换成密文：2522517263N M +→→+=→ 3313E Q →→=→ 5158103T P +→→+=→ 即N,E,T 密文为M,Q,P;（2）将密文D,W,N 转换成明文：()133138114D F →→⨯--=→2326W Y →→⨯=→253(2517)222N C →→⨯--=→即密文D,W,N 的明文为F,Y ,C ．【点睛】本题考查有理数的混合运算，此题较复杂，解答本题的关键是由图表中找到对应的数或字母，正确运用转换公式进行转换．25．7或-1.【分析】根据题目中给出的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，进而可求x+y的值.【详解】解：∵2210 x y-=+∴()22100x y--+-=，∴2210x y--=0-=0∴x=±4，y=3当x=4时，x+y=4+3=7当x=-4时，x+y=-4+3=-1∴x+y的值是7或-1.【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答.26．（1）a2=2，a3=-1，a4=1 2（2）a2016•a2017•a2018= -1（3）a33+a66+a99+…+a9999=-1【分析】(1)将a1=12代入11a-中即可求出a2，再将a2代入求出a3，同样求出a4即可.(2)从（1）的计算结果可以看出，从a1开始，每三个数一循环，而2016÷3=672，则a2016=-1,a2017=12,a2018=2然后计算a2016•a2017•a2018的值；(3)观察可得a3、a6、a9、…a99，都等于-1，将-1代入，即可求出结果.【详解】（1）将a1=12，代入11a-，得21=211-2a=；将a2=2，代入11a-，得31=-11-2a=；将a3=-1，代入11a-，得411=1--12a=（）.（2）根据(1)的计算结果，从a1开始，每三个数一循环，而2016÷3=672，则a2016=-1,a2017=12,a2018=2所以，a2016•a2017•a2018=（-1）×12×2= -1（3）观察可得a3、a6、a9、…a99，都等于-1，将-1代入，a33+a66+a99+…+a9999=（-1）3+（-1）6+（-1）9+…+（-1）99=（-1）+1+（-1）+…(-1)=-1【点睛】此类问题考查了数字类的变化规律，解题的关键是要严格根据定义进行解答，同时注意分析循环的规律．27．（1）49515050⨯；2018202020192019⨯；（2）10102019. 【分析】（1）根据已知数据得出规律，2111111n n n ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，进而求出即可； （2）利用规律拆分，再进一步交错约分得出答案即可．【详解】解：（1）21150-=49515050⨯； 2112019-=2018202020192019⨯； （2）2222111111112342019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1324352018202022334420192019⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯…… =1202022019⨯ =10102019. 【点睛】此题主要考查了实数运算中的规律探索，根据已知运算得出数字之间的变化规律是解决问题的关键．28．（1）48；（2）28【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．【详解】解：（1）第一步：10100=，11059210100000000<<，10100∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数．第二步：110592的个位数是2，38512=，∴能确定110592的立方根的个位数是8．第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，45，可得4050，由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：10=100=，1000219521000000<<，10100∴<，∴能确定21952的立方根是个两位数．第二步：21952的个位数是2，38512=，∴能确定21952的立方根的个位数是8．第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，23<，可得2030，由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．28，故答案为：28．【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．29．(1) 111n n -+；(2)①20192020；②1n n +；(3) 50101． 【分析】（1）根据题目中的式子可以写出第n 个式子的结果；（2）①根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值； ②根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；（3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值．【详解】解：（1）由题目中的式子可得，111(1)1n n n n =-++， 故答案为：111n n -+； （2）①111112233420192020++++⨯⨯⨯⨯ 111111112233420192020-+-+-++-= 211200=- 20192020=， 故答案为：20192020； ②1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+11111111223341n n =-+-+-+⋯+-+ 111n =-+ 1n n =+， 故答案为：1n n +； （3）111113355799101++++⨯⨯⨯⨯ 11111111123355799101⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭ 1112101⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 11002101=⨯ 50101=． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值．30．（1）1115656=-⨯，()11111n n n n =-⨯++；（2）①4950；②1465119800【分析】（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n 个算式；（2）①根据运算规律可得结果．②利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果． 【详解】（1）根据规律得：第5个等式是1115656=-⨯，第n 个等式是()11111n n n n =-⨯++； （2）①11111223344950⨯⨯⨯⨯++++， 111111111223344950=-+-+-++-， 1150=-， 4950=；②a 0=，1a ，3b =， 原式111111324354698100=+++++⨯⨯⨯⨯⨯，11111111111111=⨯-+⨯-+⨯-⨯-++⨯-，(1)()()+()() 23224235246298100 1111111111(1)=⨯-+-+-+-++-，23243546981001111(1)=⨯+--，229910014651=．19800【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．。
七年级数学必备的个数学思维训练方法
七年级数学必备的个数学思维训练方法七年级数学必备的 5 个数学思维训练方法在七年级的数学学习中，培养良好的数学思维至关重要。
掌握有效的思维训练方法，不仅能够帮助我们更好地理解数学知识，还能提高解决问题的能力，为今后的学习打下坚实的基础。
下面为大家介绍五个七年级数学必备的数学思维训练方法。
一、转化思维转化思维是数学中最基本也是最常用的思维方法之一。
它是指将一个复杂的问题通过一定的手段转化为一个相对简单、熟悉的问题，从而达到解决问题的目的。
例如，在求解一元一次方程时，我们常常会将方程进行变形，把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边，从而将方程转化为“ax ＝b”的形式，然后求解。
再比如，计算不规则图形的面积时，我们可以通过割补、平移、旋转等方法，将其转化为规则图形来计算。
为了培养转化思维，同学们可以多做一些相关的练习题。
例如：“已知正方形的边长为 5 厘米，求阴影部分的面积。
”这道题中，阴影部分是不规则图形，我们可以通过将其分割成几个三角形和梯形，然后分别计算面积，最后相加得到阴影部分的面积。
二、分类讨论思维分类讨论思维是在解决问题时，根据问题的不同情况进行分类，然后分别对每一类情况进行讨论和求解。
比如，在绝对值的计算中，当绝对值符号内的数大于等于 0 时，绝对值等于其本身；当绝对值符号内的数小于 0 时，绝对值等于其相反数。
这就需要我们对绝对值内的数进行分类讨论。
又比如，在求解一元二次方程时，如果方程的二次项系数含有参数，我们需要分二次项系数为 0 和不为 0 两种情况进行讨论。
在日常学习中，同学们可以通过以下题目来训练分类讨论思维：“已知一次函数 y ＝ kx ＋ b，当 k 为何值时，函数图像经过第一、二、三象限？”在这个问题中，需要分 k ＞ 0 和 k ＜ 0 两种情况进行讨论。
三、逆向思维逆向思维是从问题的相反方向进行思考，寻求解决问题的方法。
例如，在证明“如果两个角是对顶角，那么它们相等”时，我们通常会从“对顶角相等”这个结论出发，反推其条件，从而完成证明。
函数探究题型-含答案
函数探究题型一、知识梳理1、求函数解析式正比例与反比例自变量取值范围（1）分母（2）偶次根式被开方数（3）题目特殊要求2、画函数图像列表、描点、连线注：过整数点、渐进线3、函数的性质2.1对称性2.2增减性2.3极大值、极小值4、函数与方程的解交点个数与方程解的个数5、函数与不等式的解6、常考函数（1）函数的平移左加右减、上加下减（2）反比例函数变形（3）对勾函数（4）绝对值函数（5）幂函数及变形强化练习1．参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝的图象与性质．因为y ＝，即y ＝﹣+1，所以我们对比函数y ＝﹣来探究．列表：﹣描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②y＝的图象是由y＝﹣的图象向平移个单位而得到；③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝的图象上的两点，且x1+x2＝0，试求y1+y2+3的值．2．已知函数y＝y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，函数的自变量x的取值范围是x≥，且当x＝1或x＝4时，y的值均为．请对该函数及其图象进行如下探究：（1）解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：．（2）函数图象探究：①根据解析式，补全下表：②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当x＝，，8时，函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系为：；（用“＜”或“＝”表示）②若直线y＝k与该函数图象有两个交点，则k的取值范围是，此时，x的取值范围是．（4）写出函数的两条性质①②3．已知y＝y1﹣y2，其中y1与x﹣1成反比例，y2＝x+b，下表给出了自变量x与函数y 的一些对应值．（1）求函数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）补全表格m＝，n＝；（3）在如图所示的平面直角坐标系中，根据表中数据描出相应的点，画出函数图象；（4）根据图象直接写出y1≥y2时，自变量x的取值范围．﹣﹣（5）写出函数的两条性质①②4．已知函数，探究函数图象和性质过程如下：（1）下表是y与x的几组值，则解析式中的m＝，表格中的n＝（2）在平面直角坐标系中描出表格中各点，并画出函数图象：（3）若A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）为函数图象上的三个点，其中x2+x3＞4且﹣1＜x1＜0＜x2＜2＜x3＜4，则y1、y2、y3之间的大小关系是；（4）若直线y＝k+1与该函数图象有且仅有一个交点，则k的取值范围为．（5）写出函数的两条性质①②5.吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整（1）该函数的自变量x的取值范围是．（2）列表：表中m＝，n＝．（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：（4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①；②．y=2x-36. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y=|kx-3|+b 中，当x=2时，y= -4当x=0时，y= -1. （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3）已知函3x 21y -=的图象如图 所示，结合你所画的函数图象，直 接写出不等式3x 21b 3kx -≤+-的 解集．7．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数y＝﹣2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象如图所示．（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数y＝﹣2|x+2|的对称轴．（2）探索思考：平移函数y＝﹣2|x|的图象可以得到函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣3|+1的图象．若点（x1，y1）和（x2，y2）在该函数图象上，且x2＞x1＞3，比较y1，y2的大小．8.已知函数2x b2ax y 1+-+=，其自变量的取值范围是x>-2，当x=2时，y 1=-2；当x=6时，y 1=-5.（1）根据给定的条件，求出a 、b 的值和y 1的函数解析式；（2）根据你所求的函数解析式，选取适当的自变量x 完成下表，并在下面的平面直角坐标系中描点并画出函数的大致图象.（3）请画出y 2=x-4的图象，并结合图象直接写出：当y 1>y 2时，x 的取值范围是 .9.某班“数学兴趣小组”对函数的函数图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）函数的自变量x的取值范围是；下表是y与x的几组对应值．﹣则表格中的m＝；（2）如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；（3）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数图象，写出一条该函数的其它性质；（4）该函数的图象关于点（，）成中心对称，若直线y＝m与该函数的图象无交点，请求出m的取值范围．10.参考答案1．参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝的图象与性质．因为y ＝，即y ＝﹣+1，所以我们对比函数y ＝﹣来探究．列表：﹣描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而增大；（填“增大”或“减小”）②y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝的图象上的两点，且x1+x2＝0，试求y1+y2+3的值．【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）故答案为增大，上，1，（0，1）（3）∵x1+x2＝0，∴x1＝﹣x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，∴y1+y2＝2，∴y1+y2+3＝5．2．已知函数y＝y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，函数的自变量x的取值范围是x≥，且当x＝1或x＝4时，y的值均为．请对该函数及其图象进行如下探究：（1）解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：．（2）函数图象探究：①根据解析式，补全下表：②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当x＝，，8时，函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系为：y2＜y1＜y3；（用“＜”或“＝”表示）②若直线y＝k与该函数图象有两个交点，则k的取值范围是1＜k≤，此时，x的取值范围是≤x≤8．【解答】解：（1）设，y2＝k2（x﹣2），则，由题意得：，解得：，∴该函数解析式为，故答案为：，（2）①根据解析式，补全下表：②根据上表在平面直角坐标系中描点，画出图象．（3）①由（2）中图象可得：（2，1）是图象上最低点，在该点左侧，y随x增大而减小；在该点右侧y随x增大而增大，∴y2＜y1＜y3，故答案为：y2＜y1＜y3，②观察图象得：x≥，图象最低点为（2，1），∴当直线y＝k与该图象有两个交点时，1＜k≤，此时x的范围是：≤x≤8．故答案为：1＜k≤，≤x≤8．3．已知y＝y1﹣y2，其中y1与x﹣1成反比例，y2＝x+b，下表给出了自变量x与函数y的一些对应值．（1）求函数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）补全表格m＝，n＝；（3）在如图所示的平面直角坐标系中，根据表中数据描出相应的点，画出函数图象；（4）根据图象直接写出y1≥y2时，自变量x的取值范围．﹣﹣【解答】解：（1）y1与x﹣1成反比例，设y1＝，∴y＝y1﹣y2＝﹣x+b，令x＝0，则﹣k+b＝﹣1，令x＝﹣1，则﹣++b＝，∴k＝2，b＝1，∴y＝﹣x+1，（x≠1）；（2）当x＝﹣2时，m＝，当x＝3时，n＝，故答案为，；（3）如图：（4）当y1≥y2，∴y≥0，当y＝0时，x＝或x＝，结合函数图象可知x≤或1＜x≤；4．已知函数，探究函数图象和性质过程如下：（1）下表是y与x的几组值，则解析式中的m＝﹣3，表格中的n＝（2）在平面直角坐标系中描出表格中各点，并画出函数图象：（3）若A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）为函数图象上的三个点，其中x2+x3＞4且﹣1＜x1＜0＜x2＜2＜x3＜4，则y1、y2、y3之间的大小关系是y1＜y3＜y2；（4）若直线y＝k+1与该函数图象有且仅有一个交点，则k的取值范围为k＜﹣1或k ＝3．【解答】解：（1）将表格中（﹣5，）代入函数y＝中，得m＝﹣3将x＝5代入函数y＝﹣（x﹣2）2+4中，得y＝，即n＝故答案为：﹣3，；（2）如图所示，（3）∵﹣1＜x1＜0，即﹣2＜x1﹣1＜﹣1，﹣1＜＜﹣，＜＜3，∴＜y1＜3∵0＜x2＜2，∴﹣2＜x2﹣2＜0，＜4，即﹣＞﹣1∴﹣+4＞3 即y2＞3＞y1∵2＜x3＜4，在对称轴右侧，∴y随着x的增加而减小，∴3＜y3＜4，∴y3＞y1又∵x2+x3＞4且x2＜2＜x3且对称轴为x＝2，∴（2﹣x2）﹣（x3﹣2）＝4﹣（x2+x3）＜0∴2﹣x2＜x3﹣2即x3距离对称轴更远，∴y3＜y2综上所述，y1＜y3＜y2故答案为y1＜y3＜y2（4）直线y＝k+1为平行于x轴的直线，观察图象可知，k+1＜0或k+1＝4时，与该函数图象有且仅有一个交点，∴k＜﹣1或k＝3故答案为k＜﹣1或k＝35.吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整（1）该函数的自变量x的取值范围是一切实数．（2）列表：表中m＝，n＝．（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：（4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x＝2对称．【解答】解：（1）由y＝知，x2﹣4x+5≠0，所以变量x的取值范围是一切实数．故答案为：一切实数；（2）m＝，n＝，y=x-3故答案为：；；（3）建立适当的直角坐标系，描点画出图形，如下图所示：（4）观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x ＝2对称．故答案为：该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x ＝2对称6. 解：（1）将x=2时，y= -4和分别代入y=|kx-3|+b 中，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=+-1b 34b 3k 2解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==4b 23k ∴这个函数的表达式是 43x 23y --=……（3分） （2）函数图象如答图……（5①当x<2时，y 随x当x>2时，y随x的增大而增大.②当x=2时，函数有最小值，最小值是-4. ……（7分）（3）不等式的解集是1≤x≤4……（10分）7．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数y＝﹣2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象如图所示．（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数y＝﹣2|x+2|的对称轴．（2）探索思考：平移函数y＝﹣2|x|的图象可以得到函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣3|+1的图象．若点（x1，y1）和（x2，y2）在该函数图象上，且x2＞x1＞3，比较y1，y2的大小．【解答】解：（1）A（0，2），B（﹣2，0），函数y＝﹣2|x+2|的对称轴为x＝﹣2；（2）将函数y＝﹣2|x|的图象向上平移2个单位得到函数y＝﹣2|x|+2的图象；将函数y＝﹣2|x|的图象向左平移2个单位得到函数y＝﹣2|x+2|的图象；（3）将函数y＝﹣2|x|的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数y＝﹣2|x ﹣3|+1的图象．所画图象如图所示，当x2＞x1＞3时，y1＞y2．8.已知函数2x b2ax y 1+-+=，其自变量的取值范围是x>-2，当x=2时，y 1=-2；当x=6时，y 1=-5.（1）根据给定的条件，求出a 、b 的值和y 1的函数解析式；（2）根据你所求的函数解析式，选取适当的自变量x 完成下表，并在下面的平面直角坐标（3）请画出y 2=x-4的图象，并结合图象直接写出：当y 1>y 2时，x 的取值范围是 . 解：（1）∵当x=2时，y 1=-2；当x=6时，y 1=-5. ∴⎪⎩⎪⎨⎧+-+=-+-+=-26b 2a 6522b 2a 22，解得⎩⎨⎧=-=8b 1a ∴a 的值为-1，b 的值为8， y 1的函数解析式为2x 82x y 1+-+-=.……3分. （2）列表：……5分描点，连线，画出图象如图所示. ……8分（3）画出y 2=x-4的图象，如图所示.当y 1>y 2时，x 的取值范围是-1<x<2. ……10分9.某班“数学兴趣小组”对函数的函数图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）函数的自变量x的取值范围是；下表是y与x的几组对应值．﹣则表格中的m＝；（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数图象，写出一条该函数的其它性质；（4）该函数的图象关于点（1，1）成中心对称，若直线y＝m与该函数的图象无交点，请求出m的取值范围．【解答】解：（1）函数的自变量x的取值范围是x≠1；x＝4时，y＝+4＝，∴m＝．故答案为．（2）函数图象如图所示：（3）x＞2时y随x的增大而增大．（答案不唯一）（4）①该函数的图象关于点（1，1）成中心对称；直线y＝m与该函数的图象无交点，则m的取值范围为﹣1＜m＜3；故答案为1，1．10.（1）。
七年级数学(上)思维特训(4)：绝对值与分类讨论(含答案)
思维特训(四) 绝对值与分类讨论方法点津 ·1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．用符号表示这一过程为：||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论． 用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a .3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳．典题精练 ·类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB |，定义|AB |＝|a －b |.(1)|AB |＝________；(2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|P A |－|PB |＝2时，求x 的值．2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b |，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题：(1)|5－(－2)|的值为________；(2)若|x －3|＝1，则x 的值为________；(3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值；(4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值．类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值． 【解决问题】解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c＝1＋1＋1 ＝3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c＝a a ＋－b b ＋－c c＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值为3或－1.【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值； (2)已知|a |＝3，|b |＝1，且a ＜b ，求a ＋b 的值．4．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7.(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7－21|＝________；②|－12＋0.8|＝________； ③⎪⎪⎪⎪717－718＝________． (2)用合理的方法计算：|15－12018|＋|12018－12|－|－12|＋11009.5．探索研究：(1)比较下列各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)：①|－2|＋|3|________|－2＋3|；②|－12|＋|－13|________|－12－13|；③|6|＋|－3|________|6－3|；④|0|＋|－8|________|0－8|.(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．(直接写出结论即可)(3)根据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x|＋|－2018|＝|x－2018|时，求x的取值范围．详解详析1．解：(1)因为|a ＋4|＋(b －1)2＝0，所以a ＝－4，b ＝1，所以|AB |＝|a －b |＝5.(2)当点P 在点A 左侧时，|P A |－|PB |＝－(|PB |－|P A |)＝－|AB |＝－5≠2，不符合题意； 当点P 在点B 右侧时，|P A |－|PB |＝|AB |＝5≠2，不符合题意．当点P 在点A ，B 之间时，|P A |＝|x －(－4)|＝x ＋4，|PB |＝|x －1|＝1－x . 因为|P A |－|PB |＝2，所以x ＋4－(1－x )＝2，解得x ＝－12. 2．解：(1)7(2)因为|x －3|＝1，所以x －3＝±1，解得x ＝2或4.故x 的值为2或4.(3)根据绝对值的几何意义可知，x 必在－1与3之间，故x －3＜0，x ＋1＞0， 所以原式可化为3－x ＝x ＋1，所以x ＝1.(4)在数轴上表示3和－1的两点之间的距离为4，则满足方程的x 的对应点在－1的对应点的左边或3的对应点的右边．若x 的对应点在－1的对应点的左边，则原式可化为3－x －x －1＝7，解得x ＝－2.5； 若x 的对应点在3的对应点的右边，则原式可化为x －3＋x ＋1＝7，解得x ＝4.5. 综上可得，x 的值为－2.5或4.5.3．解：(1)因为abc ＜0，所以a ，b ，c 都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．①当a ，b ，c 都为负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋－b b ＋－c c＝－1－1－1＝－3； ②当a ，b ，c 中有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0， 则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋b b ＋c c＝－1＋1＋1＝1. 综上所述，|a |a ＋|b |b ＋|c |c的值为－3或1.(2)因为|a |＝3，|b |＝1，且a ＜b ，所以a ＝－3，b ＝1或－1，则a ＋b ＝－2或－4.4．解：(1)①21－7 ②0.8－12 ③717－718(2)原式＝15－12018＋12－12018－12＋11009＝15. 5．解：(1)①因为|－2|＋|3|＝5，|－2＋3|＝1，所以|－2|＋|3|＞|－2＋3|.②因为|－12|＋|－13|＝56，|－12－13|＝56，所以|－12|＋|－13|＝|－12－13|. ③因为|6|＋|－3|＝6＋3＝9，|6－3|＝3，所以|6|＋|－3|＞|6－3|.④因为|0|＋|－8|＝8，|0－8|＝8，所以|0|＋|－8|＝|0－8|.(2)当a ，b 异号时，|a |＋|b |＞|a ＋b |；当a ，b 同号或a ，b 中有一个为0或两个同时为0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，所以|a |＋|b |≥|a ＋b |.(3)由(2)中得出的结论可知，x 与－2018同号或x 为0，所以当|x |＋|－2018|＝|x －2018|时，x 的取值范围是x ≤0.。
七年级新思维9-绝对值与方程
9.绝对值与方程问题解决例1 方程x _5 +2x 的解是________________【答案】由| x「5 |= _5「2x，得 x「5=_ 5—2x或X「5=_ 卜5- 2 X ，所以x = 0或x = _10 .经检验知x=0时，方程左右两边不等，故舍去•从而原方程的解为X M-10 .例2 若关于x的方程2x_3|-m=0无解，3x -4・n=0只有一个解，4x_5 • k =0有两个解，则m , n , k的大小关系为（）.A . m>n>kB . n>k>mC. k> m> n D . m> k> n【答案】A |2x-3|=_m ,|3x_4| 二_n , |4x「5|=_k，由题意得-m ：：：0 ,「n= 0, - k. 0,从而m . 0, n =0, k <0.例3解下列方程：(1) x「3x 1 =4 ; （天津市竞赛题）(2) x 亠3 - x -1 =x T ; （北京市“迎春杯”竞赛题）(3) x 1 x -3 =4. （“希望杯”邀请赛试题）(1)5 3x =-—或x =—.原方程化为x—|3x • 1|=4或x—|3x 1^-4，即4 2|3x 1^x -4 或|3x 1^x - 4.(2)当x ：：：七时，原方程化为-(x 3) (x -1) =x • 1 ,得x =-5 .当-3 < x ：：： 1时，原方程化为x 3 x 1，得x - -1 .当x> 1时，原方程化为x ^（x -1^x 1，得x=3 .综上知原方程的解为x -与,-1, 3 .（3 ）由绝对值的几何意义得原方程的解为-1 < x < 3 .例4如图，数轴上有A、B两点，分别对应的数为a、b，已知（a 1）2与b-3互为相反数.点P为数轴上一动点，其对应的数为x .（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数.（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5?若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；问几分钟时点P到点A、点B的距离相等?3 7 2 4【答案】（1）x =1 ;⑵存在，X---或—；（3）—或一2 2 23 15A O PB I | | ill n -2 -1 0 3（3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时,点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动, 点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动,例5讨论关于x的方程x-2 • x-5 =a的解的情况.33分析与解 a 与方程中常数2、5有依存关系，这种关系决定了方程解的情况•故寻求这种关系是解本例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具. 数轴上表示数x 的点到数轴上表示数 2和5的点的距离和的最小值为 3,由此可得原方程的解的情况是：(1 )当a >3时，原方程有两解；(2 )当a =3时，原方程有无数解(2 < x < 5) ; ( 3)当a v 3 时，原方程无解.数学冲浪知识技能广场1 11 .若x =9是方程—x 一2 =m 的解，贝U m= ________ ;又若当n =1时，则方程 —x —2 = n 的3 3 解是 _______ . 【答案】1; 9或32•方程|3x —1 = 2x+1的解是 __________ ; x= ________ 是方程3(x -1)=凶+1的解；解方程5 3990x 1995 =1995，得 x = _________ . 【答案】2或0; _!°； 0或-17，3. (湖北省荆州市中考题)如果 x -2 • (x -y • 3)2二0,那么(x y)2的值为 【答案】494.(山东省竞赛题)已知关于 x 的方程ax ^2(^x)的解满足 ( ).222A . 10 或B . 10 或C . -10 或—55 5【答案】A5. (重庆市竞赛题)若 2004x 2004 =20 2004，贝U x 等于( A . 20 或-21 B . -20 或 21C . -19 或 21【答案】D).C .无数个D .不确定(2) x _2 =2x -1 ; (4) x -2x 1=3 .1x 一1=0，贝U a 的值为2 D . -10 或-— 5).D . 19 或-216.方程m ' 8 "m=0的解的个数为( A . 2个 B . 3个【答案】C 7 .解下列方程1(1) 4 —2 —X +1 =3 ；2 (3)3x-5卜4=8 ;1 【答案】(1) x = -1 或x = -3 ; ( 2) x=1 ; ( 3) x = 3 或x=-;3&求关于x的方程| |x_2 _a =0（0v a v l）的所有解的和.【答案】|x _2|=1 _a（0 ：：：a ：：：1）, x_2= （1_a）, x=2_（1_a）,得X =3 a , x2= 3「a, x3= 1 a , x4= 1「a ,故x x2x3x4= 8 .9. 解方程| |x 3 -2 =k .【答案】当k ：,0 ,原方程无解；当k =0时，原方程有两解：x = _1或x = _5 ;当0 ：：：k ：：：2时，原方程化为|x・3|=2_k，此时原方程有四解：x=-3_（2_k）;当k =2时，原方程化为|x ,3=2 _2，此时原方程有三解：x =1或x - 一7或x亠3 ；当k 2时，原方程有两解：x - -3 _（2 k）.思维方法天地10. （"希望杯”邀请赛试题）已知a、b、c、d都是整数，且a ^_|b ■ c - c | d • a = 2 ,贝U a +d = ______ .【答案】0或1 |d+a|w 2 ,又a、d都是整数，得|d+a|=2 , 1, 0.当|d+a|=2,则a = -b =c = -d ,即d +a =0 矛盾；若|d+a|=1 令a = ,1 b=c=d 足题意；若| d a \- 0 令b =1, a=c=d=0 满足题意.11. _________ （山东省竞赛题）若x、X2都满足条件2xT，2x，3=4，且x< x?，则x-x?的取值范围是________ .【答案】-2 < x 一役:::012. （“华罗庚杯”邀请赛试题）满足方程___________ | || x-2006 -1 +8 =2006的所有x的和为.【答案】401213. （武汉市选拔赛试题）若关于x的方程x-2-1 =a有三个整数解，则a的值为（）.A . 0B . 2 C. 1 D. 3【答案】C14. 方程2a - 7 "^a -1 =8的整数解的个数有（）.A . 5B . 4C . 3D . 2【答案】B由数轴知-7 < 2a < 1，且2a为偶数15 .若a是方程2004 -a =2004 • a 的解，贝U a-2005 等于（）.A . a -2005B . -a - 2005C . a 2005D . -a 2005 【答案】D a w 016 .（第69届“莫斯科”市竞赛题）解下列方程（1）x -2005| “|2005 -x =2006 ；(2) x _ V:；x _ 5 =4 .【答案】(1) 1002或3008可以得到2 |x _2005|=2006;(2) 1 < x w 5 .17. 当a满足什么条件时，关于x的方程x—2 — x_5 "有一解？有无数多个解？无解?【答案】由绝对值几何意义知：当_3：：：a ：：：3时，方程有一解；当 a = 3时，方程有无穷多个解，当a 3或a：：：；时，方程无解.应用探究乐园18. 如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a,b满足a 2 (b -1) =0.(1)求线段AB的长；1(2)点C在数轴上对应的数为x ,且x是方程2x -1 =丄x 2的解，在数轴上是否存在点P ,2使得PA PB =PC ?若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；(3)在(1 )、(2)的条件下，点 A , B , C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，假设t秒种过后，若点B与点C之间的距离表示为BC ,点A与点B之间的距离表示为AB .请问：AB —BC 的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值.【答案】(1) a = —2, b =1, AB =3;(2)存在点P，点P对应的数为-1或-3 ； (3) AB — BC丄(5t • 3)—(5t・1)=2，为常数.19 .("希望杯”邀请赛试题)已知(x T • x「2 )(y - 2 • y 1 )(z - 3 z 1 36求x 2y 3z的最大值和最小值.【答案】|x 1| • |x-2|=|x-(-1)| • |x-2p 3 ,同理|y-2| |y1p 3 , |z-3|Tz1|> 4,得(|x 1| |x-2|)(|y-2| |y 1|)(| z-3| | z • 1|) > 36 .当且仅当-1 w x w 2, -1 w y w 2 , - 1w z w 3时，上面各式等号成立.又(|x 1| |x—2|)(|y-2| |y 1|)(|z—3| |z 1|) =36 ,-1 w x w 2 ①由-1 w y w 2②得①+②X 2+③x 3, -6 w x 2y 3z w 15，因此，x 2y 3z的最大值-1 w z w 3 ③为15,最小值为-6 .从三阶幻方谈起(微探究)问题解决例1 (北京市“迎春杯”竞赛题)如图①，有9个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等.问：图中左上角的数是多少？H □ □ □ □P3 □□图①x1x2□□□x4图②【答案】 由已知条件得：x x 1 x 2 =xx 3 x^ =x 1 x 3 • 13 = x 2 19 x 4，这样前面两个式子之和等于后面的两个式子之和，即 2xx 1 x 2 x 3 x 4 =13 19 xx 2 x 3 x 4 , . 2x =13 19 ,得x =16. 例2 （“希望杯”邀请赛试题）如图，在的正整数：1 , 2, 3, 数的和都相等，请确定 【答案】a - b 与 c d 3 3的方格表中填入九个不同 4, 5, 6, 7, 8和x .使得各行、各列所填的三个 x 的值，并给出一种填数法. 的最小值是1 2 3 4 =5，所以2x 12—仝 > 5 , 3x < 21 .而 2 2 xa b =12 为整数，且x 是不同于1, 2, 3, 4, 5,3 例3 （美国南卡罗来纳大学高中数学竞赛试题）如图①， a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别代表 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内 3个数的和 都相等，那么a d g 的值是多少？ 分析与解 设这个相等的和是 S ，现将这9个小圆中（3 9）=27个 数求和，可得： 6，7，8的正整数, a 93 4 5 7f e6 9S =(1 2 川 9) 2 (a b c d e f g h i) =3 (1 2 III 9) =3 45-，故 S =15 . 先从9所在的小圆看，h 至少是1, i 最多只能是5,再从1所在的 小圆看，a 最多只能是9,由于1 i a 15 ,所以必须i =5, a = 9, 由此可以求得图②. 对照图①与图②中各数的位置，可看到 a d • g =9 • 3 • 6 =18 . 当然也可以有另一解法. 将含1、含2、含4、含5、含7与含8的6个小圆内（3 6 =）18个 数求和，可得： 6 15 =1 2 4 5 78 （a b c d e f g h i ） a d g ，即 90 =72 a d g ，所以 a d g =90-72 =18 . 练一练 1.（世界数学团体锦标赛试题）将 2到10这9个自然数填入图中的 圆圈中，每个数只能用一次， 且使每一条直线上的三个数的和相同， 图① 9个 则中间的圆圈中的数是 __________ ，对应的每一条直线上的 3个数的和是 【答案】2, 6, 10; 15, 18, 21 设中间的圆圈中的数是 x ，同一直线上的3个数的和是y ，则44y _3x =2 3 山 10 =54 , x =4y _18 .32.（《时代学习报》数学文化节试题）请构造“幻角”，将1~10这10个整数填入图中的小三角形内 （2和4已填好），使图中每个大三角形内四数之和都等于25. 【答案】如下面第2题图 3. （《时代学习报》数学文化节试题）3 , 4，这9个数分别填入图中方阵的 都是0. 【答案】如图1 2-4 0 43-2-14. （上海市竞赛题）如图， a 、b 、c 、d 、e 、f 均为有理数，图中各行各列及两条对角线上 的和都相等，求 a b c d e f 的值.【答案】由条件得：4-「a =9, b 3 ^9, d f ^9 .上述三式相加有 a b c d e f 6 = 27，故 a b c d e f=21 . 5.（“两岸四地”数学邀请赛试题）如图是一个 33的幻方，当空格填了适当的数后，每行、 每列以及对角线上的和都是相等的，求k 的值.【答案】 如图，由 a k b =a c 121 及c d 11 =b d 121,得 k b =c 121, c =b 110,从而k =110 • 121 =231 （注：这个幻方是可以完成的, 第 2 行为 221, 116, 11;第 3 行为 121, 1, 226）.a k b请将 _4 , - 3 , - 2 , -1 ,0,1 ,2 ,■9个空格，使3行、3列、2条对角线上的3个数的和4 -1 a b 3 c def如第1行为6, 231 , 111;□ k□□ □11121□□32□ x□ □□ □ 64□（第 2题）（第 3题）（第 4题）（第 5题）（第6题）46 .（上海市竞赛题）图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数:1，1,1,2，4 ,8,16 ,32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等， 4 2 求x 的值.1 1 3 一1 2 4 8 16 32 64 =64，所以每行、每列、每条对角 4 2 线上三个数字积为 64,得ac=1, ef =1, ax =2 , a 、c 、e 、f 分别为-、1、2、4个的某4 2 个数，推得x =8 .32 a xbcd e64f7•幻方第一人（《时代学习报》数学文化节试题）幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中 3行、3列以及2条对角线上的点数 之和都等于15,是一种“ 3阶幻方”（如图②）.我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进 行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从 3阶到10阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想•例如，用1 , 2, 3,…，16构造4阶幻方的方法是：先将1, 2, 3,…，16依次排成图③，然后以外四角对换，即 1与16对换，4与13对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的4阶幻方.三个数，共有6种不同填法.显然，当这三个圈中之数一旦确定，根据题目要求，其余六个 圈内之数也随之确定，从而得到结论，共有6种不同的填法.【答案】 这9个数的积为H j1 7JZ13 9 5 114 10 6 2 15 11 7 3 16 12 84图③图④【答案】略& （山东省竞赛题）把数字 个圈内，要求三角形ABC 和三角形DEF 的每条边上三个圈内数 字之和都等于18.（1） 给出一种符合要求的填法； （2 ）共有多少种不同填法？证明你的结论. 【答案】（1 ）略 （2）显然有 x y z =1，2 *9= 45力中六条边，每条边上三个圈中之数的和为 z 3y 2x 6 18 =108 .②-①，得 x 2y =108 -45 =63 .把AB 、BC 、CA 每一边上三圈中之数的和相加， 联立③、④解得x =15, y =24，进而z = 6 .在1〜9中三个数之和为 24的仅有7, 8, 9,1, 2, 3，…，9分别填入图中的918, 2x y =3 18 =54 . 所以在D 、E 、F 三处圈内,只能填 7, 8, 9图②（第8题）商品的利润（微探究）例1 （陕西省中考题）一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润_________ 元.【答案】设成本为a，则a（1 50%） =450，得a =300，所求利润为450 X 0.8-300=60（元）.例2 （重庆市竞赛题）某商店出售某种商品每件可获利m元，利润率为20% .若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为（）.A. 25% B . 20% C. 16% D . 12.5%【答案】C设原进价为a元，提价后的利润率为x%，则m =a・2C%二a（1 25%）% ,解得x%=16% .例3 （第23届“五羊杯”竞赛题）某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原来增加了10%，为了赚钱，开发商把售价提高了0.5倍，利润率比原来增加了60%，求开发商原来的利润率.【答案】设原来的利润率是x%，原来的成本是a,则 1.5a（1 0.01x^（1 0.1）a[1 0.01（x 60）]，解得x =6 5，即原来的利润率是65% .例4 （江苏省竞赛题）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1 ）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予8折优惠.小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元.现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？分析与解第一次付款198元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按发九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论.情形1当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元，又554=450+104，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱，1040.8 =130 （元）. 因此，554元所购物品的原价为130+500=630 （元），于是购买小明花198+630=828 （元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付500 0.9 • （828 -500） 0.8 =712.4 （元）.情形2当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为198亠0.9=220 （元）.仿情形1的讨论，购220+630=850 （元）物品一次性付款应为500 0.9 *（850 -500） 0.8 =730 （元）.练一练1 .某商品的进价为x元，售价为120元，则该商品的利润率可表示为____________ .【答案】匹岂x2.（黑龙江省齐哈尔市中考题）某商店老板将一件进价为800元的商品先提价50%，再打八折卖出，则卖出这件商品所获利润为__________ 元.【答案】1603 .（沈阳市中考题）某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了_________ 折优惠.【答案】九4. （宁夏中考题）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”，你认为售货员应标在标签上的价格为___________ .【答案】1205. （2012年陕西省中考题）一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件按原销售价的八折销售，售价为120元，则这款羊毛衫每件的原销售价为_____________ 元.【答案】1506. （第22届“希望杯”邀请赛题）甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利10% •而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙•若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲（）.A .盈亏平衡B .盈利1元C.盈利9元 D .亏损1.1元【答案】B7. （兰州市中考题）2008年爆发的世界金融危机，是自20世纪30年代以来世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a%后售价为148兀，下列所列方程正确的是（).A . 200(1 a%)2=148B . 200(1 —a%)2=148C . 200(1 -2a%) =148D . 2200(1 — a %) =148【答案】B& （重庆市中考题）某商店出售某种商品每件可获利m元，利润率为20% .若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为（）.A . 25%B . 20%C . 16%D . 12.5%【答案】C设提价后的利润率为x%，则-^（V 25%）（1 x%）=^^ （1 25%）• m,解得20% 20% x =16 .9.（山东省荷泽市中考题）某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（）.A . 6折B . 7折C . 8折D . 9折【答案】B10 .（全国初中数学联赛题）某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元，则其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠. 某人两次去购物，分别付款168元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（）.A . 522.8 元B . 510.4 元C . 560.4 元D . 472.8 元【答案】C提示：168 <200 0.9 =180，没有经过打折；423 ：：:500 0.9 =450，且大于200,所以这是经过9折后的价格；合在一起是168+423-P.9 =638 500，按照③，可得应付款为500 0.9 138 0.8 =560.4 （元）.11 .（云南省昆明市中考题）某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示：例2 （1）（五城市竞赛题）一艘轮船从水需8小时，若在静水条件下，从C . 66A 港到B 港顺水航行，需 A 港到B 港需（）小时.6小时，从B 港到A 港逆 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏）60100（1） 这两种台灯各购进多少盏？（2） 若A 型台灯按标价的九折出售， B 型台灯按标价的八折出售，那么这批台灯全部售完 后，商场共获利多少元？【答案】（1）A 型台灯购进30盏，B 型台灯购进20盏； （2）这批台灯全部售完后，商场共获利 720元.12.（重庆市中考题） 某公司销售A 、B 、C 三种产品，在去年的销售中，高新产品 C 的销售金额占总销售金额的 40% .由于受国际金融危机的影响， 今年A 、B 两种产品的销售金额都将比去年减少 20%，因而高新产品 C 是今年销售的重点.若要使今年的总销售金额与去年 持平，问：今年高新产品 C 的销售金额应比去年增加多少？【答案】设去年总销金额为 a ，则高新产品 C 的销售金额为0.4a , A 、B 的原销售金额为0.6a ,今年的销售金额为0. 6 （1-20% 0a4,8设高新产品C 的增长率为x ,由 0.4a （1x 片 0.4cA a 得 x =0.3 =30% . 13.（海南省竞赛题）某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠，超过100元而不超过300元时，按该次购物全额 9折优惠，超过300元的其中300 元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了 94.5元和282.8元，则小丽 决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元？【答案】注意到100 0.9 =90 <94.5 <100, 300 0.9 =270 ：：： 282.8设小美第二次购物的原价为 x 元，贝U （x -300） 0.8 300 0.9 =282.8，解得 x =316 .（1） 若小美第一次购物没有优惠， 第二次购物原价超过 300元，则小丽应付（316+94.5-300） 0. 8+300 0. 9=358 . 4 （元）.（2） 若小美第一次购物原价超过 100元，第二次购物原价超过 300元，购第一次物原价超过100元，第二次购物原价超过 300元，则第一次购物原价为 94.5」0.9 =105 （元），则小丽应付（316+105-300）0.8 300 0.9 =366.8 （元）.多变的行程问题（微探究）例1（1）（"希望杯”邀请赛试题）在公路上，汽车A 、B 、C 分别以80km/h 、70km/h 、50km/h 的速度匀速行驶， A 从甲站开往乙站，同时， B 、C 从乙站开往甲站. A 在与B 相遇2小时后又与C 相遇，则甲、乙两站相距 __________ km . （2）（浙江省竞赛题）小王沿街匀速行走，他发现每隔6min 从背后驶过一辆18路公交车；每隔3min 迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆 18路公交车行驶速度相同，而且 18路总 站每隔固定时间发一辆车，那么，发车的间隔时间为 ____________________ min .一—-2 = 一—,解得 x =1950 .80 70 80 50（2） 4设18路公交车的速度是 xm/min ,小王行走的速度是 ym/min ,同向行驶的相邻两车6x -6y =s的间距为sm .则Qx +3y = s【答案】（1） 1950设甲、乙两站相距 x 千米，则 解得s = 4x ,即—=4 .x甲A 、C 同时沿正方形的边开始移动.甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙 的速度是甲的速度的 4倍，则它们第2000次相遇在边（ ）.A . AB 上 B . BC 上 C . CD 上D . DA 上【答案】（1） C 设船在静水中的速度为 x ，水流速度为 y ，则6（x • y ） = 8（x_y ）,解得x=7y , 6（x y）= 6（7y y ）= 6-6x 7y 7 ■（2） A 设正方形边长为 a ，第2000次相遇共行了 2a （2000 -1） 4a=7998a ，设甲的路程为 y ，甲的速度为 x ，则》=7998a -y ，解得 y =i599.6a =4a 399 - 3.6a .x 4x例3有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙.如果它们 从同一点同时出发沿相返方向行驶，那么每隔11分钟相遇一次.现在，它们从同一点同出 3发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了 4圈，此时它们行驶了多少分钟？ 【答案】 设环形跑道长为 S ，甲和乙的速度分别是 v 甲，v 乙.因为当甲、乙同时同地同向出发，甲首次追上乙时，乙行驶了 4圈，所以当甲追上乙时，甲行驶了 5圈.这说明竺二5,v 乙 4 代入到4 （v 甲 v 乙） =S 中，得4 9v 乙二S ,即v 乙二S ，于是所球时间为甞=12 （分钟）3 34 3 S3 例4 （“祖冲之杯”邀请赛试题）甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，在距离 B 地6千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达 B 地、A 地后,又在距A 地4千米处相遇.求 A 、B 两地相距多少千米？ 解法一 第一次相遇时，甲、乙两人所走的路程 之和，正是 A 、B 两地相距的路程，即当甲、乙 合走完A 、B 间的全部路程时，乙走了 6千米.第 二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的3倍（如图，图中实线表示甲所走路程，虚线表 示乙所走路线），因此，这时乙走的路程应为 6 3=18 （千米）.考虑到乙从B 地走到A 后又返回了 4千米，所以A 、B 两地间的距离为18-4=14 （千米）.解法二 甲、乙两人同时动身，相向而行， 至躺遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有：两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例.到第一次相遇，甲走了（全程-6 ）千米，乙走了 6千米；到第二次相遇，甲走了（ 2全程-4 ）千米，乙走了（全程 +40）千米.解得s =14 , s =0 （舍去）， 所以A 、B 两地相距14千米.解法三 设全程为s 千米，甲、乙两人速度分别为 w , v 2 .则设全程为s ，易得到下列方程s -6 2s - 46 s 4 '（甲）② ①B（乙）33 —5— 33—10—接乙走的路程为 33 -2s 2 =33 -10X .故有3 --------------- -- ---------- =x ，解得x =1.8，甲乘车的时20 25 间为詈七（小时），故甲从学校到博物馆共用「8 “2二3 （小时）. 练一练"s —6 6 V i V 22s -4 s 亠4V i- V①②，①“②得 s —662s —4 s 亠4解得s =14或s =0 （舍去）.例5 （“希望杯”邀请赛试题）老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观，老师乘一辆摩托车，速度为 25千米/时，这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人速度为 20千米/时，学生步行的速度为 5千米/时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆 的时间都不超过3个小时.分析 若能使人车同时到达目的地， 则时间最短，而要实现“同时到达”，必须“机会均等”，即两名同学平等享受交通工具， 各自乘车的路程相等, 关键.解 要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能 短，可设计如下方案：设学生为甲、乙二人.乙先步行，老师带甲乘摩 托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙， 然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆.如图，设老师带甲乘摩托车行驶了 x 千米，用了—小时，比乙多行了 — （20-5）=3X （千米）•这时老师让甲步行前进， 而自己返回接乙,20 20 4 3 X遇到乙时，用了 — x 〒（25亠5） —（小时）.乙遇到老师时，已经步行了 20 40米）,离博物馆还有 33中（千米）.要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩 托车的路程应相同，则有 3x =33 X ，解得x =24 .即甲先乘摩托车824千米，用时1.2小时，再步行9千米，用时1.8小时，共计3小时.因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过 3个小时.另解：设乙先步行的时间为—小时，步行的路 程为s 2，则s 2 =5x （千米），此时老师带甲走 的路程为33-S 2 =33 -5X （千米），老师返回学校博物馆甲（师）乙s iS 2S 2乙（师）1. （江苏省竞赛题）甲、乙两人从两地同时出发,则b 小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为 若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行,【答案】b -a （乙）师2.（“希望杯”邀请赛试题）一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需 __________ 小时. 【答案】243. _________________ 甲、乙两列客车的长分别为 150m 和200m ，它们相向行驶在平行的轨道上.已知甲车上 某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间为 10秒，那么，乙车上的乘客看见甲车在他窗口外 经过的时间是 ____ .【答案】7. 5先求出甲、乙两车速度和为 200 =20 （米/秒）104. ______________ （“希望杯”邀请赛试题）甲、乙分别自A 、B 两地同时相向步行，2小时后中途相遇.甲、 乙步行速度都提高了 1千米/时，当甲到达B 地后立刻按原路向 A 地返行，当乙到达 A 地后 也立刻按原路向 B 地返行.甲、乙两人在第一次相遇后 3小时36分又再次相遇，则A 、B 两 地的距离是 _________ 千米.【答案】36设A 、B 两地相距skm ,甲、乙两人速度和为 v ，贝U 2V，解得（2s = （v+2）汉 3.6s =36 .5•甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从 A 到B ，甲需要30分钟，乙需要40分钟.如果乙比甲早出发6分钟，则甲出发后经 _________ 分钟可以追上乙.【答案】18 6.（北京市“迎春杯”竞赛题）甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线 运动），如果当甲到达终点时，乙距终点还有 5米，丙距终点还有10米，那么当乙到达终点 时，丙距终点还有 _______ 米.5V 19 【答案】5—设甲跑全程需时1 ,则v 乙t =95 , v 丙 t =90,,又设乙跑完全程需时t2 ,19v 丙 18则 v 乙t 2 =100, v 丙t^18v 乙t 2 =1800，此时丙离终点为19 19 7. （广西南宁市中考题）小李骑自行车从 A 地到B 地，小明骑自行车从 B 地到A 地，两人 都匀速前进.已知两人在上午 8时同时出发，到上午 10时，两人还相距 36千米，到中午 12时，两人又相距 36千米，求A 、B 两地间的路程. 【答案】设A 、B 两地间的路程为x 千米，由 匸色二乞空,得x=108（千米）.2 4 &（浙江省嘉兴市中考题） 目前自驾游已成为人们出游的重 要方式.“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公 路途径舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速， 其间用了 4.5小时；返回时平均速度提高了 10千米/时，比去时少用了半小时回到舟山.（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表:大桥名称 舟山跨海大桥杭州湾跨海大桥大桥长度 48千米 :36千米 过桥费100元80元1001800 19据浙江省交通部门规定：轿车的高速公路通行费y （元）的计算方法为：y =ax • b • 5，其中a （元/千米）为高速公路里程费，x（千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），b（元）为跨海大桥过桥费.若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为 速公路里程费a .【答案】（1） 360千米；（2） a =0.4元/千米.9. （河北省竞赛题） 铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进， 行人速度 为3.6千米/时，骑车人的速度为 10.8千米/时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过 行人用了 22秒，通过骑车人用了 26秒.问这列火车的车身长为多少米？【答案】设火车的速度为x 米/秒，则（x_1） 22=（x _3） 26，解得x =14，从而火车的车身 长为（14 _1） 22 =286 （米）.10.如图，甲、乙两人分别在 A 、B 两地同时相向而行，于E 处相遇后，甲继续向 B 地行走，乙则休息了 14分钟， 再继续向A 地行走•甲和乙到达 B 和A 后立即折返，仍在E 处相遇.已知甲每分钟行走 60米，乙每分钟行走80米，则A 和B 两地相距多少米？ （“华罗庚杯”邀请赛试题）【答案】 AE ： BE =60： 80 =3： 4, 设 AE =3x , BE =4x , 7x 亠4乂 7 x 亠3x14, 得x =240，故A 、B 两地距离是240 7 =1680 （米）.60 80 11. 某单位有135人要到50千米外的某地参观，因为步行时速只有 5千米，为了使他们上 午到达，配备了一辆最多载人 50名、时速25千米的大客车.于是早晨6时整出发，若人员 上下车的时间不计，试拟一个运行方案，说明步行与乘车如何安排，才能使全体人员在最短 时间内全部到达目的地，并求出到达该地的时刻，画出汽车往返的运行图. 【答案】如图所示，设第①组先乘车的路程为S ,，后步行的路程为2S 2，则第②组应为先步行S 2，然后乘车，再步行 S 2 ；第③组为先步行2S 2，再乘车到达目的地.设第②组步行S 2所需时间为x 小时，则3=5x （千米），则车送第①组及返回接第②组的时 间和也为x 小时，行驶的路程为 25x 千米，此时2S=5x + 25x ，S =15x .30 d 门 1.2 25（小时），步行时间为2 2=4（小时）•第①组到家达目的地（即全程）所需时间为:4・1.2=5.2（小时），即11时12分到达.12. “希望杯”邀请赛试题） A 、B 、C 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻， 前，C 在后，B 在A 、C 正中间.10分钟后，C 追上B ;又过了 5分钟，C 追上A . 过多少分钟，B 追上A ?【答案】设开始时B 与A , C 的距离均为s , C , B , A 的速度分别为c , b , a ,从开始到295.4元，求轿车的高从而A B =7 x （米），由 由S 2S 2 =50，解得x =2 （小时），所以S =30 （千米），于是第①组乘车时间为A 在问再① ②。
人教版七年级数学上册：1.2.4《绝对值》说课稿4
人教版七年级数学上册：1.2.4《绝对值》说课稿4一. 教材分析《人教版七年级数学上册：1.2.4《绝对值》》这一节内容，主要介绍了绝对值的概念及其性质。
绝对值是数学中一个重要的概念，它体现了数轴上点到原点的距离，具有鲜明的几何特征。
教材通过简单的例子引入绝对值的概念，再引导学生探究绝对值的性质，从而使学生掌握绝对值的基本概念和运用。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数轴有了初步的认识。
但他们对绝对值的理解还较为模糊，需要在教学中通过具体例子和几何直观来加深对绝对值概念的理解。
此外，学生在这一阶段正处于从小学到初中的过渡，学习方式和方法需要进行一定的调整，因此在教学过程中，教师需要关注学生的学习习惯和思维方式的培养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并能运用绝对值解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究、交流等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：绝对值的概念及其性质。
2.教学难点：绝对值性质的推导和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极交流。
2.教学手段：利用多媒体课件、数轴模型等辅助教学，增强教学的直观性和趣味性。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个简单的例子，引导学生思考绝对值的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲解绝对值的概念：结合数轴，讲解绝对值的几何意义，使学生理解并掌握绝对值的概念。
3.探究绝对值的性质：引导学生观察、分析、总结绝对值的性质，并通过小组讨论加深理解。
4.运用绝对值解决实际问题：布置一些实际问题，让学生运用绝对值的知识进行解决，巩固所学内容。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调绝对值的概念和性质。
人教版数学七年级下册第九章《不等式的性质及绝对值不等式》优课件
2x－3，x>2 画出此函数的图象可知，f(x)≥1， ∴要使关于 x 的不等式x－1＋x－2≤a2＋a＋1 的解 集为空集，则需 a2＋a＋1<1，解得－1<a<0.
规律总结
1．运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条 件，若弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论．使 用不等式性质解题时，要搞清性质成立的条件，明确各步推 理的依据，以防出现解题失误．
命题趋势
本单元的内容，是对必修5的补充和深化，预计2011年， 考查的重点一是绝对值不等式的解法；二是利用不等式的 性质求最值；三是柯西不等式和数学归纳法的应用．考查 知识面比较广，有一定的技巧．
使用建议
本单元内容是作为高考的选考内容，在考试中所占的 分值较少，但对提高同学们的逻辑思维能力、分析解决问 题的能力、数形结合的能力和抽象思维能力作用很大．为 此，在复习中建议注意以下几点：
【点评】 本例较好地体现了利用基本不等式求 最值时应充分考虑成立条件，即一正二定三等．不过 首先需由三点共线推出a、b的关系式，利用斜率公式 可得．
变 式 题 已 知 cos2α ＋ cos2β ＋ cos2γ ＝ 1 ， 则 sinαsinβsinγ 的最大值为________．
【思路】利用均值不等式求最值时，一定要注意 “一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧， 积极创造条件利用均值不等式．常用的初等变形有均 匀裂项、增减项、配系数等. 利用均值不等式还可以证 明条件不等式，关键是如何恰当地利用好条件．本题 中目标函数为积式，而cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1为隐含 的条件等式，故需创造条件使各因式之和为定值．
人教版七年级数学上思维特训(十一)含答案：含有绝对值的一元一次方程的解法
思维特训(十一) 含有绝对值的一元一次方程的解法方法点津 ·定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．解含有绝对值的方程的基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．一般有以下两种解法：1．几何解法：在数轴上到一个点的距离等于一个常数的点有两个，分别在这个点的左右两侧，可利用数轴直接观察得到方程的解．2．代数解法：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，把含有绝对值的一元一次方程转化成两个不含有绝对值的一元一次方程求解．||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a>0），0（a ＝0），－a （a<0）.典题精练 ·类型一 几何解法1．阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数x 对应的点与原点的距离，即|x|＝|x －0|，也就是说|x|表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x 1－x 2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．例1：已知|x|＝2，求x的值．解：在数轴上与原点的距离为2的点对应的数为－2或2，即x ＝－2或x＝2.例2：已知|x－1|＝2，求x的值．解：在数轴上与数1对应的点之间的距离为2的点对应的数为3和－1，即x＝3或x＝－1.例3：解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.图11－S－1解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数－2对应的点之间的距离之和为5的点对应的数，即为x的值．在数轴上，数1和－2对应的点的距离为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，如图11－S－1，可以看出x＝2；同理，若x对应的点在－2的左边，可得x ＝－3.故原方程的解是x＝2或x＝－3.仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值：(1)|x－3|＝3；(2)|4x＋2|＝8；(3)|x－3|＋|x＋4|＝9.类型二代数解法2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值符号，转化成一元一次方程求解．例1：解方程|2x－1|＝3.我们只要把2x－1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x－1＝3或2x－1＝－3.解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝－1.检验：(1)当x＝2时，原方程的左边＝|2x－1|＝|2×2－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x ＝2是原方程的解．(2)当x ＝－1时，原方程的左边＝|2x －1|＝|2×(－1)－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x ＝－1是原方程的解．综上可知，原方程的解是x ＝2或x ＝－1.例2：解方程x ＋2|x|＝3.解：当x ≥0时，方程可化为x ＋2x ＝3，解得x ＝1，符合题意；当x ＜0时，方程可化为x －2x ＝3，解得x ＝－3，符合题意．所以原方程的解为x ＝1或x ＝－3.仿照上面的解法，解下列方程：(1)x ＋3|x －1|＝7；(2)|x －12|－x ＝1.详解详析1．解：(1)由题意，得在数轴上与数3对应的点之间的距离为3的点对应的数为0和6，即x ＝0或x ＝6.(2)由题意，得在数轴上与数－2对应的点之间的距离为8的点对应的数为6或－10，即4x ＝6或4x ＝－10，所以x ＝32或x ＝－52.(3)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数3和数－4对应的点之间的距离之和为9的点对应的数，即为x 的值．在数轴上，数3和－4对应的点的距离为7，满足方程的x 在数轴上的对应点在3的右边或－4的左边．若x 对应的点在3的右边，可得x ＝4；同理，若x 对应的点在－4的左边，可得x ＝－5.故原方程的解是x ＝4或x ＝－5.2．解：(1)当x ＜1时，方程可化为x ＋3(1－x)＝7，即3－2x ＝7，解得x ＝－2，符合题意；当x ≥1时，方程可化为x ＋3(x －1)＝7，即4x －3＝7，解得x ＝52，符合题意．所以原方程的解为x ＝－2或x ＝52.(2)原方程可变形为|x －12|＝x ＋1，根据绝对值的意义，得x －12＝1＋x 或x －12＝－(1＋x)，解得x ＝－3或x ＝－13，经检验：x ＝－3不是原方程的解，x ＝－13是原方程的解．所以原方程的解是x ＝－13.。
数学竞赛专题讲座七年级第8讲绝对值与一元一次方程(含答案)
第八讲 绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇．——爱因斯坦爱因斯坦（1879~1955），生于德国，近代最伟大的理论物理学家，相对论的创立者，曾获得诺贝尔物理学奖．例题讲解【例1】方程5665-=+x x 的解是 ． (重庆市竞赛题)思路点拨 设法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．链接：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413=+-x x ； (天津市竞赛题)思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．形如e d c b ax =+++的方程，含有多层的绝对值，可从外向内逐层去掉绝对值符号，将原方程化为形如d cx b ax +=+的方程求解．【例4】解下列方程： (1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．题中给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．【例6】方程431=-++x x 的整数解有（ ）．A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简洁的解题途径．基础训练一、基础夯实1.方程3(│x │-1)= ||5x +1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____. 2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.4.关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=0,则a 的值是______;关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=1,则有理数a 的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x 的值是( ). A.-2 B.0 C. 23D.不存在 6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m 的值是( ). A.10或25 B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题) 8.若│2000x+2000│=20×2000,则x 等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程│││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值. (“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.答案：1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.提高训练1．若方程32100210021002=-x 的解分别是1x 、2x ，则21x x +=______．（希望杯邀请赛试题）2．方程11213=++--x x x 的解是______． （希望杯邀请赛试题）3．已知：有理数x 、y 、z 满足0<xy ，0>yz ，并且3=x ，2=y ，21=+z ，则z y x ++=______． (北京市迎春杯竞赛题)4．已知13+=x x ，则=++20092)94864(x x ________． （广东省竞赛题）5．方程133=+-x x 的解是_________． （山东省竞赛题）6．满足方程123422-=--x x 的所有解的和为______． (新加坡竞赛题)7．若关于x 的方程a x =--12有三个整数解，则a 的值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3 （重庆市竞赛题） ★8．如果关于x 的方程a x x =-++11有实根，那么实数a 的取值范围是（ ）．A ．0≥aB ．0>aC ．1≥aD ．2≥a （CASIO 杯武汉市选拔赛试题）9．用符号“⊕”定义一种新运算：对于有理数a 、b 0(≠a ，)1≠a ，有a ⊕b =a a b a -+220042003，已知2004⊕x =2，求x 的值． （北京市迎春杯竞赛题）。
七级数学思维探究(九)绝对值与方程(含答案)
商高是公元前11世纪的中国数学家，当时中国正在处于奴隶制社会的西周时期，数学研究还处于非常初级的阶段．商高最大的成就是在世界上第一个提出了勾股定理，在我国最早的一部数学著作《周髀算经》中记录着商高和周公的一段对话．商高：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五．”即当直角三角形的两直角边分别为3和4时，直角三角形的斜边就是5，勾股定理在西方被叫做毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪发现的． 9．绝对值与方程 解读课标绝对值是数学中活性较高的一个概念，当这一概念与其他概念结合就生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等．绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解．其基本类型有： 1．最简绝对值方程形如()0ax b c c +=≥是最简单的绝对值方程，可化为两个一元一次方程ax b c +=与ax b c +=-． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类方程常通过分类讨论法、绝对值几何意义转化为最简绝对值方程和一般方程而求解． 问题解决例1 方程525x x -+=-的解是________．试一试 原方程变形为552x x -=--，再把此方程化为一般方程求解．例2 若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，则m ，n ，k 的大小关系为（ ）．A ． m n k >>B ．n k m >>C ．k m n >>D ．m k n >> 试一试 从方程ax b c +=有解的条件入手． 例3 解下列方程： （1）314x x -+=； （2）311x x x +--=+； （3）134x x ++-=．试一试对于（1），从内向外，运用绝对值定义、性质简化方程；对于（2）、（3）运用零点分段讨论法去掉绝对值方程；需要注意的是，方程（3）利用绝对值几何意义可获得简解．例4 如图，数轴上有A 、B 两点，分别对应的数为a 、b ，已知()21a +与3b -互为相反数．点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ．（1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数．（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由；（3）当点P 以每分钟1个单位长度的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点P 到点A 、点B 的距离相等？ 试一试 由绝对值的几何意义建立关于x 的绝对值方程． 例5 讨论关于x 的方程25x x a -+-=的解的情况．分析与解 a 与方程中常数2、5有依存关系，这种关系决定了方程解的情况．故寻求这种关系是解本例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具．数轴上表示数x 的点到数轴上表示数2和5的点的距离和的最小值为3，由此可得原方程的解的情况是：（1）当3a >时，原方程有两解；（2）当3a =时，原方程有无数解()25x ≤≤； （3）当3a <时，原方程无解． 数学冲浪 知识技能广场-2-131．若9x =是方程123x m -=的解，则m =_______；又若当1n =时，则方程123x n -=的解是_____． 2．方程3121x x -=+的解是_______；x =_______是方程()3115xx -=+的解；解方程399019951995x +=，得x =_______．3．如果()2230x x y -+-+=，那么()2x y +的值为________．4．已知关于x 的方程()22ax a x +=-的解满足1102x --=，则a 的值为（ ）． A ．10或25 B ．10或25- C ．10-或25 D ．10-或25-5．若20042004202004x +=⨯，则x 等于（ ）．A ．20或21-B ．20-或21C ．19-或21D ．19或21- 6．方程880m m +++=的解的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．无数个D ．不确定 7．解下列方程（1）142132x -+=； （2）221x x -=-；（3）3548x -+=； （4）213x x -+=． 8．求关于x 的方程()21001x a a ---=<<的所有解的和． 9．解方程32x k +-=．10．已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d +=_______． 11．若1x 、2x 都满足条件21234x x -++=，且12x x <，则12x x -的取值范围是_______． 12．满足方程2006182006x --+=的所有x 的和为________． 13．若关于x 的方程21x a --=有三个整数解，则a 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．314．方程27218a a ++-=的整数解的个数有（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．215．若a 是方程20042004a a -=+的解，则2005a -等于（ ） A ．2005a - B ．2005a -- C ．2005a + D ．2005a -+ 16．解下列方程（1）200520052006x x -+-=； （2）154x x -+-=．17．当a 满足什么条件时，关于x 的方程25x x a ---=有一解？有无数多个解？无解？ 应用探究乐园18．如图，若点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，且a ，b 满足()2210a b ++-=．（l ）求线段AB 的长；（2）点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程12122x x -=+的解，在数轴上是否存在点P ，使得PA PB PC +=?若存在，求出点P 对应的数；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分剐以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：AB BC -的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．ABO19．已知()()()12213136x x y y z z ++--++-++=，求23x y z ++的最大值和最小值． 微探究从三阶幻方谈起相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个3阶幻方，也就是在33⨯的方阵中填入1~9，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等．现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在33⨯的方阵图中，每行、每列、每条对角线上3个数的和都相等，就称它为三阶幻方．可以证明三阶幻方以下基本性质：（1）在33⨯的方格中填入9个不同的数，使得各行各列及两条对角线上3个数的和都相等，且为S ，若最中间数为m ，则3S m =．（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方． （3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方．解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解．例1 如图①，有9个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？试一试 虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条件还与其他的数相关．故为充分运用已知条件，需引入不同的字母表示数（如图②）．例2 如图，在33⨯的方格表中填入九个不同的正整数：1，2，3，4，5，6，7，8和x ．使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定x 的值，并给出一种填数法．试一试 如下页图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等的正整数，即123456781233x x ++++++++=+为正整数，又2121233x xa b c d x +=+=+-=-，从估计a b +和c d+的最小值入手．整体核算法图①1319?图②1913x 4x 3x 2x 1xdcbax整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理．例3 如图①，a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内3个数的和都相等，那么a d g ++的值是多少？分析与解 设这个相等的和是S ，现将这9个小圆中()3927⨯=个数求和，可得：()()()912923129345135S a b c d e f g h i =++++⨯++++++++=⨯+++=⨯=，故15S =．先从9所在的小圆看，h 至少是1，i 最多只能是5，再从1所在的小圆看，a 最多只能是9，由于115i a ++=，所以必须5i =，9a =，由此可以求得图②．对照图①与图②中各数的位置，可看到93618a d g ++=++=． 当然也可以有另一解法．将含1、含2、含4、含5、含7与含8的6个小圆内()3618⨯=个数求和，可得：()615124578a b c d e f g h i a d g ⨯=+++++++++++++++++，即9072a d g =+++，所以907218a d g ++=-=． 练一练1．将2到10这9个自然数填入图中的9个圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，则中间的圆圈中的数是_______，对应的每一条直线上的3个数的和是_______．2．请构造“幻角”，将1~10这10个整数填入图中的小三角形内（2和4已填好），使图中每个大三角123456789i h g f edc b a图①987654321987654321图②形内四数之和都等于25．3．请将4-，3-，2-，1-，0，1，2，3，4，这9个数分别填入图中方阵的9个空格，使3行、3列、2条对角线上的3个数的和都是0．4．如图，a 、b 、c 、d 、e 、f 均为有理数，图中各行各列及两条对角线上的和都相等，求a b c d e f +++++的值．5．如图是一个33⨯的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是相等的，求k 的值．6．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：14，12，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值．7．幻方第一人幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中3行、3列以及2条对角线上的点数之和都等于15，是一种“3阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从3阶到10阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用42-134 fedc b a 1211k64x32了对称思想．例如，用1，2，3，…，16构造4阶幻方的方法是：先将1，2，3，…，16依次排成图③，然后以外四角对换，即1与16对换，4与13对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的4阶幻方．8．把数字1，2，3，…，9分别填入图中的9个圈内，要求三角形ABC 和三角形DEF 的每条边上三个圈内数字之和都等于18．（1）给出一种符合要求的填法；（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．微探究 商品的利润商品的利润涉及商品进价、售价、利润、利润率、打折销售等名词术语，理解相关概念并熟悉它们之间的关系是解这类问题的基础．（1）100%=⨯利润利润率进价； （2）利润=售价-进价；（3）售价=进价+利润=进价×（1+利润率）．例1 一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润_______元．试一试 从求出成本价切入．例2 某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%．若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为（ ）． A ．25% B ．20% C ．16% D ．12.5% 试一试 利用获利不变建立方程．例3 某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原来增加了10%，为了赚钱，开发商把售价提高了0.5倍，利润率比原来增加了60%，求开发商原来的利润率． 试一试 因售价=成本×（1+利润率），故还需设出成本． 例4 某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予8折优惠．图①图②98765321416151413121110987654321图③图④FE DCBA小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？分析与解 第一次付款198元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论．情形l 当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元，又554450104=+，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱，1040.8130÷=（元）． 因此，554元所购物品的原价为130500630+=（元），于是购买小明花198630828+=（元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付()5000.98285000.8712.4⨯+-⨯=（元）．情形2 当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为1980.9220÷=（元）． 仿情形1的讨论，购220630850+=（元）物品一次性付款应为()5000.98505000.8730⨯+-⨯=（元）． 练一练1．某商品的进价为x 元，售价为120元，则该商品的利润率可表示为_______．2．某商店老板将一件进价为800元的商品先提价50%，再打八折卖出，则卖出这件商品所获利润为 _______元．3．某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共带省2800元，则用贵宾卡又享受了_______折优惠．4．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”，你认为售货员应标在标签上的价格为________． 5．一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件按原销售价的八折销售，售价为120元，则这款羊毛衫每件的原销售价为_______元．6．甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利10%．而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙．若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲（ ）．A ．盈亏平衡B ．盈利1元C ．盈利9元D ．亏损1.1元7．2008年爆发的世界金融危机，是自20世纪30年代以来世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价%a 后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）． A ．()22001%148a += B ．()22001%148a -= C ．()20012%148a -= D ． ()22001% 148a -=8．某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%．若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为（ ）． A ．25% B ．20% C ．16% D ．12.5%9．某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（ ）． A ．6新 B ．7折 C ．8折 D ．9折 10．某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元，则其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠． 某人两次去购物，分别付款168元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（ ）． A ．522.8元 B ．510.4元 C ．560.4元 D ．472.8元B 两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示：（2）若A 型台灯按标价的九折出售，B 型台灯按标价的八折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获利多少元？ 12．某公司销售A 、B 、C 三种产品，在去年的销售中，高新产品C 的销售金额占总销售金额的40%．由于受国际金融危机的影响，今年A 、B 两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C 是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，问：今年高新产品C 的销售金额应比去年增加多少？13．某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠，超过100元而不超过300元时，按该次购物全额9折优惠，超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠．小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元？ 微探究多变的行程问题行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下： 1．相遇问题其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇．一般地，甲行的路程+乙行的路程=两地之间的距离． 2．追及问题其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者，一般地，快者行的路程-慢者行的路程=两地之间的距离． 例1 （1）在公路上，汽车A 、B 、C 分别以80km/h 、70km/h 、50km/h 的速度匀速行驶，A 从甲站开往乙站，同时，B 、C 从乙站开往甲站．A 在与B 相遇2小时后又与C 相遇，则甲、乙两站相距_____km ． （2）小王沿街匀速行走，他发现每隔6min 从背后驶过一辆18路公交车；每隔3min 迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路总站每隔固定时间发一辆车，那么，发车的间隔时间为_______min ． 试一试 对于（2），“背后驶过与迎面驶来”，其实质就是追及与相遇，距离是同向行驶的相邻两车的间距．例2 （1）一艘轮船从A 港到B 港顺水航行，需6小时，从B 港到A 港逆水需8小时，若在静水条件下，从A 港到B 港需（ ）小时．A ．7B ．172C ．667D ．162（2）甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点A 、C 同时沿正方形的边开始移动．甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边（ ）． A ． AB 上 B ．BC 上 C ．CD 上 D ．DA 上试一试 对于（2），设正方形边长为a ，甲的速度为x ，相遇时甲行的路程为y ，利用“相遇时甲、乙两动点运动时间相等”建立方程，把y 用a 的代数式表示．例3 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙．如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔113分钟相遇一次．现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了4圈，此时它们行驶了多少分钟？试一试 当甲追上乙时，甲行驶了多少圈？由此可导出甲、乙的速度之比． 例4 甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，在距离B 地6千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达B 地、A 地后，又在距A 地4千米处相遇，求A 、B 两地相距多少千米？ 解法一 第一次相遇时，甲、乙两人所走的路程之和，正是A 、B 两地相距的路程，即当甲、乙合走完A 、B 间的全部路程时，乙走了6千米，第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的3倍（如图，图中实线表示甲所走路程，虚线表示乙所走路线），因此，这时乙走的路程应为6318⨯=（千米）． 考虑到乙从B 地走到A 后又返回了4千米，所以A 、B 两地间的距离为18414-=（千米）．甲解法二 甲、乙两人同时动身，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有：两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例． 到第一次相遇，甲走了（全程6-）千米，乙走了6千米；到第二次相遇，甲走了（2⨯全程4-）千米，乙走了（全程4+）千米．设全程为s ，易得到下列方程62464s s s --=+， 解得114s =，20s =（舍去）， 所以A 、B 两地相距14千米．解法三 设全程为s 千米，甲、乙两人速度分别为1v ，2v ．则 121266244s v v s s v v -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩①②，①÷②得66244s s s -=-+， 解得14s =或0s =（舍去）． 乘车方案例5 老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观，老师乘一辆摩托车，速度为25千米／时，这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人速度为20千米／时，学生步行的速度为5千米／时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过3个小时． 分析 若能使人车同时到达目的地，则时间最短，而要实现“同时到达”，必须“机会均等”，即两名同学平等享受交通工具，各自乘车的路程相等，步行的路程也相等，这是设计方案的关键． 解 要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计如下方案： 设学生为甲、乙二人．乙先步行！，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．如图，设老师带甲乘摩托车行驶了x 千米，用了20x 小时，比乙多行了()3205204x x ⨯-=（千米）．这时老师让甲步行前进，而自己返、回接已，遇到乙时，用了()3255440xx ÷+=（小时）．乙遇到老师时，已经步行了3520408xx x ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭（千米），离博物馆还有3338x -（千米）．要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有3338x x =-，解得24x =．即甲先乘摩托车24千米，用时1.2小时，再步行9千米，用时1.8小时，共计3小时．因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时．另解：设乙先步行的时间为x 小时，步行的路程为2s ，则25s x =（千米），此时老师带甲走的路程为233335s x -=-（千米），老师返回接乙走的路程为23323310s x -=-．故有33533102025x xx --+=，解B （乙）（甲）A①②学校博物馆乙得 1.8x =，甲乘车的时间为335 1.220x-=（小时），故甲从学校到博物馆共用1.8 1.23+=（小时）．练一练1．甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行，则b 小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为_______．2．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需_______小时．3．甲、乙两列客车的长分别为150m 和200m ，它们相向行驶在平行的轨道上．已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间为10秒，那么，乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______． 4．甲、乙分别自A 、B 两地同时相向步行，2小时后中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米／时，当甲到达B 地后立刻按原路向A 地返行，当乙到达A 地后也立刻按原路向B 地返行．甲、乙两人在第一次相遇后3小时36分又再次相遇，则A 、B 两地的距离是_______千米．5．甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A 到B ，甲需要30分钟，乙需要40分钟．如果乙比甲早出发6分钟，则甲出发后经______分钟可以追上乙．6．甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线运动），如果当甲到达终点时，乙距终点还有5米，丙距终点还有10米，那么当乙到达终点时，丙距终点还有______米．7．小李骑自行车从A 地到B 地，小明骑自行车从B 地到A 地，两人都匀速前进．已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A 、B 两地间的路程．8．目前自驾游已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4.5小时；返回时平均速度提高了10千米／时，比去时少用了半小时回到舟山．（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；据浙江省交通部门规定：轿车的高速公路通行费y （元）的计算方法为：5y ax b =++，其中a （元／千米）为高速公路里程费，x （千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），b （元）为跨海大桥过桥费，若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元，求轿车的高速公路里程费a ．9．铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米／时，骑车人的速度为10.8千米／时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用了22秒，通过骑车人用了26秒．问这列火车的车身长为多少米？10．如图，甲、乙两人分别在A 、B 两地同时相向而行，于E 处相遇后，甲继续向B 地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A 地行走．甲和乙到达B 和A 后立即折返，仍在E 处相遇．已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A 和B 两地相距多少米？乙11．某单位有135人要到50千米外的某地参观，因为步行时速只有5千米，为了使他们上午到达，配备了一辆最多载人50名、时速25千米的大客车．于是早晨6时整出发，若人员上下车的时间不计，试拟一个运行方案，说明步车如何安排，才能使全体人员在最短时间内全部到达目的地，并求该地的时刻，画出汽车往返的运行图．12．A 、B 、C 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，A 在前，C 在后，B 在A 、C 正中间．10分钟后，C 追上B ；又过了5分钟，C 追上A ．问再过多少分钟，B 追上A ?乙E BA9．绝对值与方程 问题解决例1 由552x x -=--，得552x x -=--或()552x x -=---，所以0x =或10x =-．经检验知0x =时，方程左右两边不等，故舍去．从而原方程的解为10x =-． 例2 A 23x m -=-，34x n -=-，45x k -=-，由题意得0m -<，0n -=，0k ->，从而0m >，0k <．例3 （1）54x =-或32x =．原方程化为314x x -+=或314x x -+=-，即314x x +=-或314x x +=+．（2）当3x <-时，原方程化为()()311x x x -++-=+，得5x =-． 当31x -<≤时，原方程化为311x x x ++-=+，得1x =-． 当1x ≥时，原方程化为()311x x x +--=+，得3x =． 综上知原方程的解为5x =-，1-，3．（3）由绝对值的几何意义得原方程的解为13x -≤≤．例4 （1）1x =；（2）存在，32x =-或72（3）223或415数学冲浪1．1；9或3 2．2或0；107±；0或1- 3．494．A 5．D 6．C7．（1）1x =-或3x =-；（2）1x =；（3）3x =或13x =；（4）43x =-或2x =．8．()2101x a a -=±<<，()21x a -=±±，()21x a =±±，得13x a =+，23x a =-，31x a =+，41x a =-，故12348x x x x +++=．9．当0k <，原方程无解；当0k =时，原方程有两解：1x =-或5x =-；当02k <<时，原方程化为32x k +=±，此时原方程有四解：()32x k =-±±；当2k =时，原方程化为322x +=±，此时原方程有三解：1x =或7x =-或3x =-；当2k >时，原方程有两解：()32x k =-±+．10．0或1 2d a +≤，又a 、d 都是整数，得2d a +=，1，0．当2d a +=，则a b c d =-==-，即0d a +=矛盾；若1d a +=，令1a =，0b c d ===满足题意；若0d a +=，令1b =，0a c d ===满足题意．11．1220x x --<≤ 12．4012 13．C14．B 由数轴知72a -≤≤1，且2a 为偶数 15．D 0a ≤ 16．（1）1002或3008 可以得到220052006x -=； （2）15x ≤≤．17．由绝对值几何意义知：当33a -<<时，方程有一解；当3a =±时，方程有无穷多个解，当3a >或3a <-时，方程无解． 18．（1）2a =-，1b =，3AB =；（2）存在点P ，点P 对应的数为1-或3-；（3）()()''''53512A B B C t t -=+-+=，为常数．19．()12123x x x x ++-=--+-≥，同理213y y -++≥，314z z -++≥，得()()()12213136x x y y z z ++--++-++≥．当且仅当12x -≤≤，12y -≤≤，13x -≤≤时，上面各式等号成立． 又()()()12213136x x y y z z ++--++-++=，由12123x y z -⎧⎪-⎨⎪⎩①②-1③≤≤≤≤≤≤ 得①+②2⨯+③3⨯，62315x y z -++≤≤，因此，23x y z ++的最大值为15，最小值为6-．从三阶幻方谈起（微探究）例l 由已知条件得：123413241319x x x x x x x x x x ++=++=++=++，这样前面两个式子之和等于后面的两个式子之和，即1234123421319x x x x x x x x x ++++=+++++，21319x =+∴，得16x =．例2 a b +与c d +的最小值是123452+++=，所以21253x -≥，即212x ≤．而2123xa b +=-为整数，且x 是不同于1，2，3，4，5，6，7，8的正整数，故9x =． 练一练1．2，6，10；15，18，21设中间的圆圈中的数是x ，同一直线上的3个数的和是y ，则43231054y x -=+++=，4183x y =-．2．如图3．如图：4．由条件得：41 9a -+=，39b c ++=，9d e f ++=．上述三式相加有627a b c d e f ++++++=，故21a b c d e f +++++=．5．如图，由121a k b a c ++=++及11121c d b d ++=++，得121k b c +=+，110c b =+，从而110121231k =+=（注：这个幻方是可以完成的，如第1行为6，231，111；第2行为221，116，11；第3行为121，1，226）．6．这9个数的积为31112481632646442⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，所以每行、每列、每条对角线上三个数字积为64，得1ac =，1ef =，2ax =，a 、c 、e 、f 分别为14、12、2、4中的某个数，推得8x =．7．略 8．（1）略（2）显然有12945x y z ++=+++= ①图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，得32618108z y x ++=⨯=． ② ②-①，得21084563x y +=-=． ③把AB 、BC 、CA 每一边上三圈中之数的和相加，得231854x y +=⨯=． ④ 联立③、④解得15x =，24y =，进而6z =．在1~9中三个数之和为24的仅有7，8，9，所以在D 、E 、F 三处圈内，只能填7，8，9三个数，共有6种不同填法．显然，当这三个圈中之数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内之数也隧之确56379181024-1-2340-4-321dc b k a 11121。
人教版七年级数学下册6.3.1《实数的概念》说课稿
人教版七年级数学下册6.3.1《实数的概念》说课稿一. 教材分析人教版七年级数学下册6.3.1《实数的概念》是学生在学习了有理数和无理数的基础上，进一步对实数进行系统学习的开始。
本节内容从实际问题出发，引导学生认识实数的必要性，进而引入实数的概念，使学生感受数学与现实生活的密切联系。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握实数的概念，培养学生的抽象思维能力。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了有理数和无理数，对数学运算和逻辑推理有一定的基础。
但是，对于实数的定义和性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要结合学生的认知水平，循序渐进地引导学生理解和掌握实数的概念。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解实数的概念，掌握实数的性质，能够运用实数解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生体验实数概念的形成过程，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学与现实生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：实数的概念和性质。
2.教学难点：实数的抽象性质和实数在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、引导发现法、实践操作法等多种教学方法，结合多媒体课件、实物模型等教学手段，引导学生主动探究、合作交流，提高学生的学习效果。
六. 说教学过程1.导入新课：从实际问题出发，引导学生认识实数的必要性，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现实数的性质，体会实数概念的形成过程。
3.教师讲解：对实数的性质进行详细讲解，引导学生理解实数的概念。
4.例题讲解：通过典型例题，让学生了解实数在实际问题中的应用，巩固所学知识。
5.练习与巩固：让学生进行课堂练习，及时巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
6.课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，帮助学生形成知识体系。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出实数的概念和性质。
核心素养新视角下绝对值解题的多角度探究
-091-2021年第09期︵总第261期︶引 言数学学习的有效性是每位教师关注的焦点，如何让习题讲解有效、有深度、有延展性？这也是教师提高课堂效率，学生提高学习效率需要探究的问题。
罗增儒教授曾说：“一个数学问题，如果我们只有一个解法，不管是自己想出来的还是翻答案看到的，都肯定会存在认识上的局限性。
只有在寻得两个或更多的解法之后，才会对问题的实质有真正的了解。
”因此，对于一道题目，不同角度地思考很重要，这样的解题方式会提升解题的品质，提高学习的效率，提升数学素养。
绝对值的几何意义是指数轴上表示数a 的点A 到表示数b 的点B 之间的距离，用符号语言表示：AB =∣a -b ∣或者∣b -a ∣。
首先，学生要理解的是距离是绝对值的含义。
其次，学生要理解到某一点距离为几的点在数轴上的位置有两个，因此，在解绝对值这类题目的时候既要用到图形思维，即要及时切换到数形结合的思想，又要学会用代数的方法解决。
因此这部分内容用不同的方法难易程度各不同，学生如果用对方法就会轻而易举解决问题，但这部分题目数形结合思想必不可少。
形会让数更直观，数会让形更具体。
下面笔者主要通过绝对值题目讲解中的点滴感悟进行说明。
一、问题呈现类型1：题目：在数轴上表示的数，离-1.2距离为3的点表示的数是 。
本题是笔者在讲苏教版课课练时归纳题目类型时所发现的，原来课课练和试卷上的题目从本质上来说是同一道题，可以让学生触类旁通，因此，在讲完题目后，笔者在复习时，将这几题，用不同的形式归纳出来，让学生探究，并且鼓励学生在学习中归纳，分享不同解法，剖析题目中用的不同知识点，提升学生的思维品质，提高课堂效率。
课后，笔者对有关绝对值解的几道题目进行归纳和总结，并做了深入思考。
二、思路分析第一种解题方法是数形结合法。
绝对值的几何意义就是指表示数x 到-1.2距离为3的点，通过画数轴以及绝对值的几何意义知道有两个点，一个在左边一个在右边。
通过数形结合抽象成一个规律。
绝对值与一元一次方程(含答案)
绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,• 由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。
七年级数学数轴与绝对值
数轴与绝对值一、绝对值定义：正数的绝对值是这个正数本身，负数的绝对值是这个负数的相反数，零的绝对值是零。
也就是说：一个数的绝对值是按照这个数的符号情况，来分类决定的。
如果用字母a 表示这个数，那么用式子来表示就是：)0()0(0000a a a a a a a aaa a 它本身，所以，因为零的相反数就是时），（当时），（当时），（当即：零和正数的绝对值是它本身，零和负数的绝对值是它的相反数。
这里，a 表示什么？如果它是2，结果怎样？如果是-3呢？如果是x -2呢？如果没有告诉你x 的取值范围，那么该如何化简2x ？（示例）。
）；（）解方程：（例x x x x 21212111.1解：（1）略；（2）当x + 1 < 0，即x < - 1 时，原方程为– (x + 1) = 2x ，x =31；当x + 1 ≥0，即x ≥ - 1 时，原方程为x + 1 = 2x ，x = 1，∴原方程的根是x 1 = 31, x 2 = 1 。
指导学生：①分析解题依据及步骤；②检查答案（2）的正确性。
既然已经发现答案是错误的，那么可以肯定解答过程有误，请找出错误。
指导语：在解这类含有绝对值的方程（或不等式）时，应注意：（1）需根据绝对值符号内的整体内容的符号来决定将绝对值符号去掉后的内容，是原来的，还是其相反数。
也就是说，要根据绝对值符号内的整体的“零点”情况来划分自变量的取值范围，对方程（或不等式）进行分类讨论。
（2）要注意检查相应的“解”是否在相应讨论的数的范围之内。
（3）当方程（或不等式）中含有多个绝对值时，应该针对所有的“零点”来划分自变量的取值区间，对方程（或不等式）进行分类讨论。
例2.解方程：|x - 2|+|x + 3| = 6 .二、绝对值与相反数的几何意义1.绝对值：|a| ←→数轴上，和数a对应的点与原点之间的距离。
某数的绝对值越大，则在数轴上，与该数对应的点与原点之间的距离就越大；反之，在数轴上，若某一点距原点越近，那么与之对应的数的绝对值就越小。
七年级物理-绝对值练习及答案
七年级物理-绝对值练习及答案
练1
1. 已知物体在0秒时的位置为-5米，5秒时的位置为3米。
求该物体在5秒内的位移和平均速度。
解答：
物体在5秒内的位移 = 最终位置 - 初始位置 = 3米 - (-5米) = 8米
平均速度 = 位移 ÷时间 = 8米 ÷ 5秒 = 1.6米/秒
练2
2. 若已知绝对值|a| = -a，求a的值。
解答：
因为|a| = -a，所以a只能是0。
练3
3. 若一个数与其绝对值的和等于4，求该数的值。
解答：
假设该数为x，则根据题意可以得到方程：x + |x| = 4。
如果x是正数或者0，那么x + |x| = x + x = 2x，因此2x = 4，解得x = 2。
如果x是负数，那么x + |x| = x - x = 0，因此0 = 4，这个方程没有解。
所以，该数的值只能是2。
练4
4. 求下列绝对值的值：
- |5|
- |-3|
- |0|
- |-4.5|
解答：
- |5| = 5
- |-3| = 3
- |0| = 0
- |-4.5| = 4.5
练5
5. 若已知绝对值|b| = b，求b的值。
解答：
因为|b| = b，所以b只能是非负数（包括0）。
以上是《七年级物理-绝对值练习及答案》的相关内容，希望能帮助到你！如有任何问题，请随时向我提问。
1.4绝对值教学设计2024-2025学年华东师大版(2024)数学七年级上册
5. 解绝对值不等式 |x + 1| > 3。
答案：将绝对值不等式转化为两个不等式，得到x + 1 > 3和x + 1 < -3。解这两个不等式，得到x > 2和x < -4。所以绝对值不等式 |x + 1| > 3的解集是x < -4或x > 2。
3. 解绝对值方程 |2x - 3| = 7。
答案：将绝对值方程转化为两个方程，得到2x - 3 = 7和2x - 3 = -7。解这两个方程，得到x = 10/2和x = -7/2。所以绝对值方程 |2x - 3| = 7的解集是x = 5或x = -1.5。
4. 解绝对值方程 |x + 1| + |x - 2| = 4。
2. 下列哪个方程是绝对值方程？
A. 2x + 3 = 7
B. |2x - 3| = 7
C. 2x - 3 = 7
D. 2x + 3 = -7
填空题：
3. 绝对值表示数轴上表示一个数的点与原点的距离，即 |x| = ______。
4. 一个数的绝对值是非负的，即 |x| ≥ ______。
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七年级数学下思维探究-绝对值与方程(含答案)商高是公元前世纪的中国数学家，当时中国正在处于奴隶制社会的西周时期，数学研究还处于非常初级的阶段．商高最大的成就是在世界上第一个提出了勾股定理，在我国最早的一部数学著作《周髀算经》中记录着商高和周公的一段对话．商高：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五．”即当直角三角形的两直角边分别为和时，直角三角形的斜边就是，勾股定理在西方被叫做毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前世纪发现的．9．绝对值与方程解读标绝对值是数学中活性较高的一个概念，当这一概念与其他概念结合就生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等．绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解．其基本类型有：1．最简绝对值方程形如是最简单的绝对值方程，可化为两个一元一次方程与．2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类方程常通过分类讨论法、绝对值几何意义转化为最简绝对值方程和一般方程而求解．问题解决例1 方程的解是________．试一试原方程变形为，再把此方程化为一般方程求解．例2 若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则，，的大小关系为（）．A．B．．D．试一试从方程有解的条入手．例3 解下列方程：（1）；（2）；（3）．试一试对于（1），从内向外，运用绝对值定义、性质简化方程；对于（2）、（3）运用零点分段讨论法去掉绝对值方程；需要注意的是，方程（3）利用绝对值几何意义可获得简解．例 4 如图，数轴上有、两点，分别对应的数为、，已知与互为相反数．点为数轴上一动点，其对应的数为．（1）若点到点、点的距离相等，求点对应的数．（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；（3）当点以每分钟个单位长度的速度从点向左运动时，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点到点、点的距离相等？试一试由绝对值的几何意义建立关于的绝对值方程．例讨论关于的方程的解的情况．分析与解与方程中常数、有依存关系，这种关系决定了方程解的情况．故寻求这种关系是解本例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具．数轴上表示数的点到数轴上表示数和的点的距离和的最小值为，由此可得原方程的解的情况是：（1）当时，原方程有两解；（2）当时，原方程有无数解；（3）当时，原方程无解．数学冲浪知识技能广场1．若是方程的解，则_______；又若当时，则方程的解是_____．2．方程的解是_______；_______是方程的解；解方程，得_______．3．如果，那么的值为________．4．已知关于的方程的解满足，则的值为（）．A．或B．或．或D．或．若，则等于（）．A．或B．或．或D．或6．方程的解的个数为（）A．个B．个．无数个D．不确定7．解下列方程（1）；（2）；（3）；（4）．8．求关于的方程的所有解的和．9．解方程．10．已知、、、都是整数，且，则_______．11．若、都满足条，且，则的取值范围是_______．12．满足方程的所有的和为________．13．若关于的方程有三个整数解，则的值为（）A．B．．D．14．方程的整数解的个数有（）A．B．．D．1．若是方程的解，则等于（）A．B．．D．16．解下列方程（1）；（2）．17．当满足什么条时，关于的方程有一解？有无数多个解？无解？应用探究乐园18．如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，满足．（l）求线段的长；（2）点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条下，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分剐以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．19．已知，求的最大值和最小值．微探究从三阶幻方谈起相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出，就是一个阶幻方，也就是在的方阵中填入，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等．现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在的方阵图中，每行、每列、每条对角线上个数的和都相等，就称它为三阶幻方．可以证明三阶幻方以下基本性质：（1）在的方格中填入个不同的数，使得各行各列及两条对角线上个数的和都相等，且为，若最中间数为，则．（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方．（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方．解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解．例1 如图①，有个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？试一试虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条还与其他的数相关．故为充分运用已知条，需引入不同的字母表示数（如图②）．例2 如图，在的方格表中填入九个不同的正整数：，，，，，，，和．使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定的值，并给出一种填数法．试一试如下页图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等的正整数，即为正整数，又，从估计和的最小值入手．整体核算法整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理．例3 如图①，、、、、、、、、分别代表，，，，，，，，中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内个数的和都相等，那么的值是多少？分析与解设这个相等的和是，现将这个小圆中个数求和，可得：，故．先从所在的小圆看，至少是，最多只能是，再从所在的小圆看，最多只能是，由于，所以必须，，由此可以求得图②．对照图①与图②中各数的位置，可看到．当然也可以有另一解法．将含、含、含、含、含与含的个小圆内个数求和，可得：，即，所以．练一练1．将到这个自然数填入图中的个圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，则中间的圆圈中的数是_______，对应的每一条直线上的个数的和是_______．2．请构造“幻角”，将这个整数填入图中的小三角形内（和已填好），使图中每个大三角形内四数之和都等于．3．请将，，，，，，，，，这个数分别填入图中方阵的个空格，使行、列、条对角线上的个数的和都是．4．如图，、、、、、均为有理数，图中各行各列及两条对角线上的和都相等，求的值．．如图是一个的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是相等的，求的值．6．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列个数：，，，，，，，，填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求的值．7．幻方第一人幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中行、列以及条对角线上的点数之和都等于，是一种“ 阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从阶到阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想．例如，用，，，…，构造阶幻方的方法是：先将，，，…，依次排成图③，然后以外四角对换，即与对换，与对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的阶幻方．8．把数字，，，…，分别填入图中的个圈内，要求三角形和三角形的每条边上三个圈内数字之和都等于．（1）给出一种符合要求的填法；（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．微探究商品的利润商品的利润涉及商品进价、售价、利润、利润率、打折销售等名词术语，理解相关概念并熟悉它们之间的关系是解这类问题的基础．（1）；（2）利润=售价-进价；（3）售价=进价+利润=进价×（利润率）．例1 一家商店将某商品按成本价提高后，标价为元，又以折出售，则售出这商品可获利润_______元．试一试从求出成本价切入．例 2 某商店出售某种商品每可获利元，利润率为．若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每仍可获利元，则提价后的利润率为（）．A．B．．D．试一试利用获利不变建立方程．例 3 某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原增加了，为了赚钱，开发商把售价提高了倍，利润率比原增加了，求开发商原的利润率．试一试因售价=成本×（利润率），故还需设出成本．例4 某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于元，则不予优惠；（2）若一次购物满元，但不超过元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分给予折优惠．小明两次去该超市购物，分别付款元与元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？分析与解第一次付款元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论．情形l 当元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为元，又，其中元为购物元打九折付的钱，元为购物打八折付的钱，（元）．因此，元所购物品的原价为（元），于是购买小明花（元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付（元）．情形2 当元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为（元）．仿情形1的讨论，购（元）物品一次性付款应为（元）．练一练1．某商品的进价为元，售价为元，则该商品的利润率可表示为_______．2．某商店老板将一进价为元的商品先提价，再打八折卖出，则卖出这商品所获利润为_______元．3．某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为元的商品，共带省元，则用贵宾卡又享受了_______折优惠．4．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为元，打七折售出后，仍可获利”，你认为售货员应标在标签上的价格为________．．一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每按原销售价的八折销售，售价为元，则这款羊毛衫每的原销售价为_______元．6．甲用元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利．而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙．若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲（）．A．盈亏平衡B．盈利元．盈利元D．亏损元7．年爆发的世界金融危机，是自世纪年代以世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是（）．A．B．．D．8．某商店出售某种商品每可获利元，利润率为．若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每仍可获利元，则提价后的利润率为（）．A．B．．D．9．某种商品的进价为元，出售标价为元，后由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打（）．A．新B．折．折D．折10．某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过元，则不予折扣；②如一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过元，则其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款元和元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（）．A．元B．元．元D．元11．某商场用元购进、两种新型节能台灯共盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示：类别价格型型进价（元/盏）标价（元/盏）（1）这两种台灯各购进多少盏？（2）若型台灯按标价的九折出售，型台灯按标价的八折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获利多少元？12．某公司销售、、三种产品，在去年的销售中，高新产品的销售金额占总销售金额的．由于受国际金融危机的影响，今年、两种产品的销售金额都将比去年减少，因而高新产品是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，问：今年高新产品的销售金额应比去年增加多少？13．某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过元的不给优惠，超过元而不超过元时，按该次购物全额折优惠，超过元的其中元仍按折优惠，超过部分按折优惠．小美两次购物分别用了元和元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元？微探究多变的行程问题行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下：1．相遇问题其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇．一般地，甲行的路程+乙行的路程=两地之间的距离．2．追及问题其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者，一般地，快者行的路程-慢者行的路程=两地之间的距离．例1 （1）在公路上，汽车、、分别以、、的速度匀速行驶，从甲站开往乙站，同时，、从乙站开往甲站．在与相遇小时后又与相遇，则甲、乙两站相距_____ ．（2）小王沿街匀速行走，他发现每隔从背后驶过一辆路公交车；每隔迎面驶一辆路公交车．假设每辆路公交车行驶速度相同，而且路总站每隔固定时间发一辆车，那么，发车的间隔时间为_______ ．试一试对于（2），“背后驶过与迎面驶”，其实质就是追及与相遇，距离是同向行驶的相邻两车的间距．例 2 （1）一艘轮船从港到港顺水航行，需小时，从港到港逆水需小时，若在静水条下，从港到港需（）小时．A．B．．D．（2）甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动．甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的倍，则它们第次相遇在边（）．A．上B．上．上D．上试一试对于（2），设正方形边长为，甲的速度为，相遇时甲行的路程为，利用“相遇时甲、乙两动点运动时间相等”建立方程，把用的代数式表示．例 3 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙．如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔分钟相遇一次．现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了圈，此时它们行驶了多少分钟？试一试当甲追上乙时，甲行驶了多少圈？由此可导出甲、乙的速度之比．例4 甲、乙二人分别从、两地同时出发，在距离地千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达地、地后，又在距地千米处相遇，求、两地相距多少千米？解法一第一次相遇时，甲、乙两人所走的路程之和，正是、两地相距的路程，即当甲、乙合走完、间的全部路程时，乙走了千米，第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的倍（如图，图中实线表示甲所走路程，虚线表示乙所走路线），因此，这时乙走的路程应为（千米）．考虑到乙从地走到后又返回了千米，所以、两地间的距离为（千米）．解法二甲、乙两人同时动身，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有：两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例．到第一次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了千米；到第二次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了（全程）千米．设全程为，易得到下列方程，解得，（舍去），所以、两地相距千米．解法三设全程为千米，甲、乙两人速度分别为，．则，①÷②得，解得或（舍去）．乘车方案例老师带着两名学生到离学校千米远的博物馆参观，老师乘一辆摩托车，速度为千米／时，这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人速度为千米／时，学生步行的速度为千米／时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过个小时．分析若能使人车同时到达目的地，则时间最短，而要实现“同时到达”，必须“机会均等”，即两名同学平等享受交通工具，各自乘车的路程相等，步行的路程也相等，这是设计方案的关键．解要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计如下方案：设学生为甲、乙二人．乙先步行！，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．如图，设老师带甲乘摩托车行驶了千米，用了小时，比乙多行了（千米）．这时老师让甲步行前进，而自己返、回接已，遇到乙时，用了（小时）．乙遇到老师时，已经步行了（千米），离博物馆还有（千米）．要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有，解得．即甲先乘摩托车千米，用时小时，再步行千米，用时小时，共计小时．因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过个小时．另解：设乙先步行的时间为小时，步行的路程为，则（千米），此时老师带甲走的路程为（千米），老师返回接乙走的路程为．故有，解得，甲乘车的时间为（小时），故甲从学校到博物馆共用（小时）．练一练1．甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，则小时相遇；若同向而行，则小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为_______．2．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需小时，从乙地到甲地逆流行驶需小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需_______小时．3．甲、乙两列客车的长分别为和，它们相向行驶在平行的轨道上．已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间为秒，那么，乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______．4．甲、乙分别自、两地同时相向步行，小时后中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了千米／时，当甲到达地后立刻按原路向地返行，当乙到达地后也立刻按原路向地返行．甲、乙两人在第一次相遇后小时分又再次相遇，则、两地的距离是_______千米．．甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从到，甲需要分钟，乙需要分钟．如果乙比甲早出发分钟，则甲出发后经______分钟可以追上乙．6．甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线运动），如果当甲到达终点时，乙距终点还有米，丙距终点还有米，那么当乙到达终点时，丙距终点还有______米．7．小李骑自行车从地到地，小明骑自行车从地到地，两人都匀速前进．已知两人在上午时同时出发，到上午时，两人还相距千米，到中午时，两人又相距千米，求、两地间的路程．8．目前自驾游已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟出发，上高速公路途经舟跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了小时；返回时平均速度提高了千米／时，比去时少用了半小时回到舟．（1）求舟与嘉兴两地间的高速公路路程；（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：大桥名称舟跨海大桥杭州湾跨海大桥大桥长度千米千米过桥费元元据浙江省交通部门规定：轿车的高速公路通行费（元）的计算方法为：，其中（元／千米）为高速公路里程费，（千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），（元）为跨海大桥过桥费，若林老师从舟到嘉兴所花的高速公路通行费为元，求轿车的高速公路里程费．9．铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为千米／时，骑车人的速度为千米／时，如果有一列火车从他们背后开过，它通过行人用了秒，通过骑车人用了秒．问这列火车的车身长为多少米？10．如图，甲、乙两人分别在、两地同时相向而行，于处相遇后，甲继续向地行走，乙则休息了分钟，再继续向地行走．甲和乙到达和后立即折返，仍在处相遇．已知甲每分钟行走米，乙每分钟行走米，则和两地相距多少米？11．某单位有人要到千米外的某地参观，因为步行时速只有千米，为了使他们上午到达，配备了一辆最多载人名、时速千米的大客车．于是早晨时整出发，若人员上下车的时间不计，试拟一个运行方案，说明步车如何安排，才能使全体人员在最短时间内全部到达目的地，并求该地的时刻，画出汽车往返的运行图．12．、、三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，在前，在后，在、正中间．分钟后，追上；又过了分钟，追上．问再过多少分钟，追上?̳9．绝对值与方程问题解决例1 由，得或，所以或．经检验知时，方程左右两边不等，故舍去．从而原方程的解为．例2 A ，，，由题意得，，，从而，．例3 （1）或．原方程化为或，即或．（2）当时，原方程化为，得．当时，原方程化为，得．当时，原方程化为，得．综上知原方程的解为，，．（3）由绝对值的几何意义得原方程的解为．例4 （1）；（2）存在，或（3）或数学冲浪1．；或2．或；；或3．4．A ．D 6．7．（1）或；（2）；（3）或；（4）或．8．，，，得，，，，故．9．当，原方程无解；当时，原方程有两解：或；当时，原方程化为，此时原方程有四解：；当时，原方程化为，此时原方程有三解：或或；当时，原方程有两解：．10．或，又、都是整数，得，，．当，则，即矛盾；若，令，满足题意；若，令，满足题意．11．12．13．14．B 由数轴知，且为偶数1．D16．（1）或可以得到；（2）．17．由绝对值几何意义知：当时，方程有一解；当时，方程有无穷多个解，当或时，方程无解．18．（1），，；（2）存在点，点对应的数为或；（3），为常数．19．，同理，，得．当且仅当，，时，上面各式等号成立．又，由得①+②③，，因此，的最大值为，最小值为．从三阶幻方谈起（微探究）例l 由已知条得：，这样前面两个式子之和等于后面的两个式子之和，即，，得．例 2 与的最小值是，所以，即．而为整数，且是不同于，，，，，，，的正整数，故．练一练1．，，；，，设中间的圆圈中的数是，同一直线上的个数的和是，则，．2．如图3．如图：4．由条得：，，．上述三式相加有，故．．如图，由及，得，，从而（注：这个幻方是可以完成的，如第行为，，；第行为，，；第行为，，）．6．这个数的积为，所以每行、每列、每条对角线上三个数字积为，得，，，、、、分别为、、、中的某个数，推得．。