七年级数学下思维探究-绝对值与方程(含答案)

七年级数学下思维探究-绝对值与方程(含答案)

商高是公元前世纪的中国数学家，当时中国正在处于奴隶制社会的西周时期，数学研究还处于非常初级的阶段．商高最大的成就是在世界上第一个提出了勾股定理，在我国最早的一部数学著作《周髀算经》中记录着商高和周公的一段对话．商高：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五．”即当直角三角形的两直角边分别为和时，直角三角形的斜边就是，勾股定理在西方被叫做毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前世纪发现的．

9．绝对值与方程

解读标

绝对值是数学中活性较高的一个概念，当这一概念与其他概念结合就生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等．绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解．其基本类型有：

1．最简绝对值方程

形如是最简单的绝对值方程，可化为两个一元一次方程与．2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程

这类方程常通过分类讨论法、绝对值几何意义转化为最简绝对值方程和一般方程而求解．

问题解决

例1 方程的解是________．

试一试原方程变形为，再把此方程化为一般方程求解．

例2 若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则，，的大小关系为（）．

A．B．．D．

试一试从方程有解的条入手．

例3 解下列方程：

（1）；

（2）；

（3）．

试一试对于（1），从内向外，运用绝对值定义、性质简化方程；对于（2）、（3）运用零点分段讨论法去掉绝对值方程；需要注意的是，方程（3）利用绝对值几何意义可获得简解．

例 4 如图，数轴上有、两点，分别对应的数为、，已知与互为相反数．点为数轴上一动点，其对应的数为．

（1）若点到点、点的距离相等，求点对应的数．（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；

（3）当点以每分钟个单位长度的速度从点向左运动时，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点到点、点的距离相等？

试一试由绝对值的几何意义建立关于的绝对值方程．

例讨论关于的方程的解的情况．

分析与解与方程中常数、有依存关系，这种关系决定了方程解的情况．

故寻求这种关系是解本例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具．

数轴上表示数的点到数轴上表示数和的点的距离和的最小值为，由此可得原方程的解的情况是：

（1）当时，原方程有两解；

（2）当时，原方程有无数解；

（3）当时，原方程无解．

数学冲浪

知识技能广场

1．若是方程的解，则_______；又若当时，则方程的解是_____．2．方程的解是_______；_______是方程的解；解方程，得_______．

3．如果，那么的值为________．

4．已知关于的方程的解满足，则的值为（）．

A．或B．或．或D．或

．若，则等于（）．

A．或B．或．或D．或

6．方程的解的个数为（）

A．个B．个．无数个D．不确定

7．解下列方程

（1）；（2）；

（3）；（4）．

8．求关于的方程的所有解的和．

9．解方程．

10．已知、、、都是整数，且，则_______．

11．若、都满足条，且，则的取值范围是_______．

12．满足方程的所有的和为________．

13．若关于的方程有三个整数解，则的值为（）

A．B．．D．

14．方程的整数解的个数有（）

A．B．．D．

1．若是方程的解，则等于（）

A．B．．D．

16．解下列方程

（1）；

（2）．

17．当满足什么条时，关于的方程有一解？有无数多个解？无解？应用探究乐园

18．如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，满足．（l）求线段的长；

（2）点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存

在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条下，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分剐以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．

19．已知，求的最大值和最小值．

微探究

从三阶幻方谈起

相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出，就是一个阶幻方，也就是在的方阵中填入，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等．现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在的方阵图中，每行、每列、每条对角线上个数的和都相等，就称它为三阶幻方．可以证明三阶幻方以下基本性质：

（1）在的方格中填入个不同的数，使得各行各列及两条对角线上个数的和都相等，且为，若最中间数为，则．

（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方．

（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方．

解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解．

例1 如图①，有个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？试一试虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条还与其他的数相关．故为充分运用已知条，需引入不同的字母表示数（如图②）．

例2 如图，在的方格表中填入九个不同的正整数：，，，，，，，和．使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定的值，并给出一种填数法．

试一试如下页图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等的正整数，即为正整数，又，从估计和的最小值入手．整体核算法

整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理．

例3 如图①，、、、、、、、、分别代表，，，，，，，，中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内个数的和都相等，那么的值是多少？分析与解设这个相等的和是，现将这个小圆中个数求和，可得：

，故．

先从所在的小圆看，至少是，最多只能是，再从所在的小圆看，最多只能是，由于，所以必须，，由此可以求得图②．对照图①