§3.1 黏性现象的宏观规律要点

液体,其微观机理都不相同。
§3.1.2泊肃叶定律
从动力学观点看来，要使管内流体作匀速运
动，必须有外力来抵消黏性力，这个外力就是
来自管子两端的压强差△p. 现以长为 L,半径为 r 的水平直圆管为例来 讨论不可压缩黏性流体（其黏度为η）的流动。
• 把单位时间内流过管道截面上的流体体积 dV / dt 称为体积流率。
动的速度梯度的大小成正比的。
•这说明黏性力的大小与 du / dz 及切向面积 A 成正比 .
•比例系数以η表示，称为流体的黏度或黏性系 数、黏滞系数,则
du f A dz
•称为牛顿黏性定律.
η的单位为泊,以P表示
1P 1N s m 0.1kg m s
2
• 这种 ‘假随机性’与方程中有反映外界干扰
的随机项或随机系数而引起的随机性不同,是
决定性系统内部所固有的,可以称为‘内禀随
机性’.
• . 以上这些都是混沌的主要特征.本世纪7080年代学术界掀起了混沌理论的热潮,波及整
个自然科学.在媒体报导下,又将‘混沌’一
词传播到社会上.
混沌和分子混沌性的区别
泊肃叶定律指出，对于水平直圆管有如下关 系；
dV r 4 p dt 8L
该公式的证明可利用动力学方法，也可借助量 纲分析法.
（二）管道流阻
若在 中令
dV r 4 p dt 8L
dV Q dt
称为体积流量.
引入流阻的概念,流阻可表示为
RF
dV r 4 p dt 8L
•
但是当水滴半径增大到 R2 103 m 时，收尾 速度 0.2m s 1
• 气流托不住这种水滴而下落。
• 实验也测出，云、雾中的水滴约为 10-6 m 数
量级左右。
• 我们在前面曾经提到过分子混沌性.这个 ‘混沌性’与现在所讲的‘混沌’其含义 完全不同.
• 分子混沌性来源于19世纪70年代玻耳兹曼 所提出的分子混沌性拟设.
分子混沌性指：在没有外场时，处于平衡态
的气体分子应均匀分布于容器中。在平衡态 下任何系统的任何分子都没有运动速度的择 优方向。除了相互碰撞外，分子间的速度和 位置都相互独立。 • 而这里的混沌是指在决定性的动力学系统中 出现的貌似随机性的宏观现象.它是一种对初
RF总 RF1 RF 2 RFn
人体血管中的血压降 [ 例 3.2] 成年人主动脉的半径约为 r =1.3×10-2 m ， 试求在一段0.2 m长的主动脉中的血压降△p。设 血流量
Q 1.00104 m3 s 1

血液黏度 4.0 103 Pa s
4 R 3 g 6Rvmax 3 2 gR2 vmax 9
若水滴大小为 R1 106 m.20C0 黏度，密度及 g 的数值代入， • 可得收尾速度 vmax 104 m s1 •
时的空气
其收尾速度非常小，这种小水滴将在气流作用 下在空中漂游，大量的水滴就构成云。
直圆管中流体流速分布
•直圆管中流体流速分布如图, 流速箭头的包络面为抛物面, 其平均流速箭头的包络面为平面.
雷诺数
一般用雷诺数来判别流体能否处于层流状态。 雷诺数Re是一种无量纲因子，它可表示为 Re =v / r 其中 、v、r分别为流体的密度、流速及管道 半径，η为流体黏度. 有关雷诺数及它的导出， 可见选读材料3-1量纲分析法简介。 层流是发生在流速较小，更确切些说是发生 在雷诺数较小时的流体流动， • 对于直圆管中流动，当雷诺数超过2300左右时 流体流动成为湍流。
动力Байду номын сангаас系统通常由微分方程等所描述 ,‘ 决定性’
指方程中的系数都是确定的 , 没有概率性的因
素.
从数学上说,对于确定的初始值,决定性的方 程应该给出确定的解,从而描述系统的确定性
行为.
但是,在某些非线性系统中,这种过程会因为
初始值极微小的扰动而产生很大的变化 .也就
是说,系统对初始值有极敏感的依赖性.即失之 毫厘,差之千里.有人称为‘蝴蝶效应’. • 由于这种对初始值依赖的敏感性,从物理上 看,过程好象是随机的.
x1
h2
h1
h1
x3
h2
西
x2
x4
东
• 梯度概念不仅用于表示地形,也可用于
表示其它物理量随空间位置变化的剧烈 程度.
• 用 dW /dx 表示某物理量 W 的梯度.其
中dx也要满足一定条件.
实验测出前面所介绍的在沟漕中稳态流动 的例中,在沟漕的横切向面积处处相等时流体 中的速度梯度处处相等. 而且流体层所受到的黏性力的大小是与流体流
始条件依赖十分明显的非线性现象。
• 它与分形,孤立波一样都是现今十分热门的
非线性课题。
（四）稳恒层流中的黏性 牛顿黏性定律
•本例在沟漕中稳态流动的流速不大，流体分成 许多不同速度的水平薄层作层流.。 •可知 , 流体作层流时，
通过任一平行于流速的
截面两侧的相邻两层流 体上作用有一对阻止它 们相对“滑动”的切向 作用力与反作用力。
§3.1.3斯托克斯定律， 云、雾中的水滴
•
当物体在黏性流体中运动时，物体表面黏附 着一层流体，这一流体层与相邻的流体层之间 存在黏性力，故物体在运动过程中必须克服这 一阻力 f. 若物体是球形的，流体作层流流动，球体所
•
受阻力满足斯托克斯定律
•
f=6vr
• 其中r 是球半径，v 是球相对于静止流体的速 度， 是流体的黏度。
R 2R 3 L G 2RL R
故气体的黏度为
G 2R 3 L
(五)非牛顿流体
人们日常接触的流体中还有一些不遵从牛 顿黏性定律的流体， 人们称它为非牛顿流体。如泥浆、橡胶、
血液、油漆、沥青等。
(六）最后需说明，以上讨论的仅是常压下
的气体。对于压强非常低的气体以以及所有的
为在单位时间内相邻流体层之间所转移的， 沿流体层切向的定向动量。 则黏性力f 就是切向动量流
f = dp /dt
例3.1:旋转黏度计
其结构如图所示。 扭丝悬吊了一只外径为 R、长 为L的内圆筒，筒外同心套上一
•旋转黏度计是为测定气体的黏度而设计的仪器，
只长亦为 L 的、内径为 R +
的外圆筒( << R ),内、外筒
§ 3.1黏性现象的宏观规律
(一） 层流 流体在河道、沟槽及管道内的流动情况相当 复杂，它与流速有关，与管道、沟槽的形状及 表面情况有关， 也与流体本身性质及温度、压强等因素有关 , 实验发现，流体在流速较小时将作分层平 行流动，
流体质点轨迹是有规则的光滑曲线，
不同质点轨迹线不相互混杂。
这样的流体流动称为层流。
它使流动较快一层流体减速，较慢的一层流体加 速.这种力为黏性力，内摩擦力.
对于面积dA的相邻两流体层来说，达到稳定流动 时，每层流体的合力为零，作用在上一层流体 上的减速力 df’ 必等于作用在下一层流体上的 加速力 df . 这时各层流 体所受到的 方向相反的 黏性力均相
等.
数学中的梯度概念
• 地理中有等高线.图中画了某物体的3条等高线. 显然,在正东方向要比正西方向平坦. 其陡峭的 程度用梯度来表示.即dh/dx. 其中dx是俩邻近 等高线之间最短水平距离。
20 1.0
血液
机油
甘 油
20 1410
汽 CO2 20
t/ ℃ 0
/ mPa s
0.0087
0.0127 0.0089 0.0167
40 0.51 37 4.0
60 81 H2 20 0 0.0171 N2 0
空 气
30 200
20 0.0182
O2
0 0
0.0199 0.0103
蓖麻油 20 9860 40 0.0193 CH4 (1） 易于流动的流体其黏度较小；
8L r 4
p Q RF

Q

p RF
它的物理意义是，在流阻一定时，单位时 间内的体积流量与管子两端压强差△p 成正 比。这与电流的欧姆定律类似， 但是流阻和欧姆定律中的电阻不同 , 流阻与 管径的四次方成反比。半径的微小变化会对 流阻产生更大的影响. L 8L R 2 RF r r 4 与电阻的串并联相类似，如果流体连续通过几 个水平管，则总的流阻等于各管流阻之和，即
[解]
RF
8 l 4 3 7 . 14 10 Pa s m r 4

p RF Q 7.14Pa
这一结果说明在通常情况下人体的主动脉中血 液的压强降落是微不足道的。
但是，当病人患有动脉粥样硬化后，动脉通
径显著减小，由于压降 △p 与 r4 成反比， 因而流经动脉的压降将明显增加。 在动脉流阻增加后，为了保证血液的正常流动 就必须加强心脏对血液的压缩，在临床上反映 就是血压的升高。
间的隔层内装有被测气体。使
外筒以恒定角速度 旋转.
• 内筒所受到的气体黏性力产生的力矩被扭丝 的扭转力矩所平衡。
• G 可由装在扭丝上的反光镜 M 的偏转角度测 定。 • 试导出被测气体的黏度表达式。
[解] 因内筒静止，外筒以 u = R
的线速度
在运动，夹层流体有 R / 的速度梯度（因 << R ，可认为层内的速度梯度处处相等），气 体对内圆筒表面施予黏性力，黏性力对扭丝作 用的合力矩为
流动较慢的一层流体获得到了定向动量，黏
性力由此而产生的.
• 现在举一个形象化的例子：
• 在平行的两铁轨上有两平板车厢.两车厢 前进速度差异比较大.
• 车厢上站了数量相等的人. • 车厢地板上有许多质量相等砂袋.
• 在两车厢交换砂袋过程中会发生什么现象?
（五）切向动量流 dp /dt
定义切向动量流 dp /dt
(二) 湍流
• 湍流是流体的不规则运动，是一种宏观 的随机现象.
湍流中流体流速随时间和空间坐标作随 机的紊乱变化.
•
水中的层流
水中的湍流
香烟烟雾(从层流变到湍流)
(三)混沌
•
以前认为宏观规律是确定性的，不会像微观 过程那样具有随机性，因而湍流是宏观随机性 的一个特征。 但是20世纪70年代，发现自然界中 普遍存在 一类在决定性的动力学系统中出现的貌似随机 性的宏观现象，人们称它为混沌。
• 斯托克斯定律适用条件为其雷诺数 Re 应比 1 小得多. Re = v /r << 1
当雷诺数比1大得多时，发现其阻力
f,’ 与黏度无关，
• 可表示为
f,’ = 0.2R 2v
2
• 斯托克斯定律在解释云雾形成过程时起重要 作用。
•
水滴在重力驱动下从静止开始加速下降。随 着 v 的增加阻力 f 也增加，当 mg = f 时 水滴将以收尾速度 vmax 作匀速运动，
(2) 液体的黏度随温度升高而降低；气体的黏度随温度升 高而增加。说明气体与液体黏性力的微观机理不同
（四) 气体黏性微观机理
实验证实，常压下气体的黏性就是由流速
不同的流体层之间的定向动量的迁移产生的。
由于气体分子无规的（平动）热运动，
在相邻流体层间交换分子对的同时，交换相
邻流体层的定向运动动量。
结果使流动较快的一层流体失去了定向动量，
1
1
du f A dz
考虑到相邻两层流体中相对速度较大的流体 总是受到阻力，
即速度较大一层流体受到的黏性力的方向总与 速度梯度方向相反,故在式中加上负号.
一些常见流体的黏度数据可以由下面的表查出。
.
流体的黏度表
•流.
体 水
流 t/ 流 t/ ℃ / mPa s 体 ℃ / mPa s 体 0 1.7 0 10000 水
第三章输运现象与分子动理论的 非平衡态理论
•
• • •
在第二章中已利用分子动理学理论讨论了处 于平衡态的理想气体的微观过程
本章将讨论非平衡态气体的微观过程，特别 是那些在接近平衡时的非平衡态过程。 其典型例子是气体的黏性、热传导与扩散现 象，统称为输运现象。 当然，首先应对这些输运现象宏观规律作较 系统介绍