数列应用题常见模型

数列应用题常见模型

(1) 银行储蓄单利公式

利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝a(1＋rx)．

(2) 银行储蓄复利公式

按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝a(1＋r)x (x ∈N 且x>1)．

(3) 产值模型

原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x 的总产值y ＝N(1＋p)x (x ∈N 且x>1)．

(4)分期付款模型 设某商品一次性付款的金额为a 元，以分期付款的形式等额地分成n 次付清，每期期末

所付款是x 元，每期利率为r ，则x ＝ar (1＋r )n

(1＋r )n －1

(n ∈N 且n>1)． 案例分析

1、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%. (1) 求第n 年初M 的价值a n 的表达式；

(2) 设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n

.若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 进行更新．证明：须在第9年初对M 进行更新．

(1) 解：当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．

故a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；

当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34

的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6.

因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为

a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧ 130－10n ，n ≤670×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7. (2) 证明：设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得

当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n(n －1)，

A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；

当n ≥7时，由于S 6＝570，故

S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34

×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6， A n ＝780－210×⎝⎛⎭

⎫34n －6n .

因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．

又A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫3428＝824764>80，A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫3439＝767996

<80，

所以须在第9年初对M 进行更新．

2. 从2006年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2012年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为________万元．

答案：1p

[(1＋p)7－(1＋p)] 解析：存款从后向前考虑(1＋p)＋(1＋p)2＋…＋(1＋p)6＝(1＋p )[(1＋p )6－1]9＝1p

[(1＋p)7－(1＋p)]．

3.银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.

甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；

乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．

两种方案的期限都是10年，到期一次性归还本息，若银行贷款利润均以年息10%的复利计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？(计算精确到千元，参考数据：1.110＝

2.594,1.310＝1

3.796)

解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：

1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1

＝42.62(万元)，到期时银行的本息和为10×(1＋10%)10＝10×2.595＝25.94(万元)．

所以甲方案扣除本息后的净获利为42.62－25.94≈16.7(万元)．

乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝10(1＋5.5)2

＝32.50(万元)，贷款的本利和为 1.1[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×1.110－11.1－1

＝17.53(万元)，所以乙方案扣除本息后的净获利为32.50－17.53≈15.0(万元)． 综上，甲方案的获利较多．