近世代数前两章知识总结

近世代数论文

师范学院14级数学与应用数学2班景羡林学号：12147139213 一、上半学期学习总结

第一章基本概念

1、集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为ρ(A)或

2A。（含n个元素的集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n

个）

2、积（笛卡尔积）：A×B={（a，b）|a∈A，b∈B}叫A与B的积。（A

×B≠B×A）

3、A到B的对应法则ø为A到B的映射⇔①∀x∈A，x有象②∀x∈

A，x的象唯一③∀x∈A，x的象在B中。

4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有n n个，一一映射共有

n！个。

5、代数运算：一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算。

（o为A×B到D的代数运算⇔∀（a，b）∈A×B，a o b有意义，且

a o b唯一，属于D）。

6、满射：∀y∈A，设y=∅（x），求出x（x为y的函数），若x存在且

x∈A，则∅为满射。（A中的每一个元素都有原象）；单射：∀a，b∈A，

若a≠b，则∅（a）≠∅（b）。（元素不同象不同）；一一映射：即

单又满。（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B

有限且元素个数相同）

7、一个A到A的映射叫做A的一个变换；有限集A的一个一一变换，

叫做A的一个置换。

8、一个A 到A的映射∅，叫做一个对于代数运算o和o̅来说的，A 到A

的同态映射，假如满足：∀a,b∈A，a→a̅，b→b̅则aob→a̅o̅b̅（运

算的象=象的运算）；A与A同态⇔A 与A存在同态满射∅。

9、一个A 到A的一一映射∅，叫做一个对于代数运算o和o̅来说的，A

到A的同构映射。（同构映射的逆映射也是同构映射）。

10、若R为法则，若R满足∀a，b∈A，要么aRb，要么a R̅b，唯一确

定，则称R为A的元间的一个关系；集合A 的元间的一个关系~叫

做一个等价关系，假如满足①反射律（∀a∈A，有a~a）②对称律

③推移律

11、A 的一个分类即为A 的一些子集A1、A2、…A n满足：①A1∪A2∪

…∪A n=A.②A i∩A j=∅（i≠j）（不相交）。（集合A 的元间的一个

等价关系~决定A的一个分类）

12、模n的同余关系（a≡b（n）读作a同余b模n）：若n∣（a-b）

则a≡b（a与b同除n后余数相同）。若[a]=[b]则a≡b（n）即n|a-b。第二章群论

1、群的定义：一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作

成一个群，假如：①乘法封闭。②结合律成立。③存在单位元。

④逆元存在。

2、群的阶：群中元素的个数；元素的阶：使得a m=e成立的最小正整

数m，记为|a|，若这样的m不存在，则说a是无限阶的。（单位元

的阶为1）

3、元素的阶的性质：①设a的阶为m，若a n=e则m∣n；②任何元素

与它的逆元同阶；③设G为一个群，a∈G，若a的阶为2，则a=a−1；

④在一个有限群G中，阶大于2的元素的个数一定是偶数。

4、交换群：∀a，b∈G，ab=ba

5、若一个有乘法的有限集满足①乘法封闭；②结合律成立；③消去

律成立（若ax=a x＇，那么x=x＇；若ya=y＇a则y=y＇）。则必能

做成一个群。（无限集不适用）

6、群同态：假定G与G对于它们的乘法来说同态，若G是群，那么G

也是一个群（具有相同的特性）。但是反之却不成立。

7、设（G，·）和（G，·）是两个群，如果存在G和G的同态满射，则

称G和G同态，记为G～ G；如果存在G和G的同构映射，则称G

和G同构，记为G≌ G。

8、A的一个变换就是一个A到A自己的映射。

9、一个集合A的所有一一变换作成一个变换群G。（变换群是非交换

群）；变换群不唯一，变换做成群只有一一映射，

10、任何一个群都同一个变换群同构。

11、一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换；一个有限集合的若

干个置换做成的一个群叫做一个置换群。（置换群的表示不唯一，

置换群是非交换群）

12、一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群；n

次对称群S n的阶是n！。

13、每一个有限群都与一个置换群同构。

14、循环群的每个元素都可以写成生成元的方幂。（循环群的生成元

不唯一，不同的元可以生成同一个群）

15、假定G是一个由元a生成的循环群，那么G的构造完全可以由a

的阶来决定：①a的阶若是无限，那么G与整数加群同构；②a的

阶若是一个有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。

16、一个循环群一定是一个交换群。

17、设H为群G的非子集，如果H按G中的运算作成一个群，则称H

为G 的一个子群，记为H≤G。

18、子群的判法：⑴定义法；⑵一个群G的一个非空子集H作成G

的一个子群的充要条件是①乘法封闭；②逆元成立（a∈H⇒a−1∈H）；

⑶充要条件是：a、b∈H⇒a b−1∈H；⑷充要条件是：a、b∈H⇒a b∈H。

19、群G中由等价关系a～b⇔a b−1∈H决定G 的一个分类，其中的

每一个类，叫做子群H的右陪集，用Ha表示。

20、群G中由等价关系a～′b⇔b−1a∈H决定G 的一个分类，其中

的每一个类，叫做子群H的右陪集，用aH表示。

21、一个子群H的右陪集个数和左陪集个数相等。（一般的，∀a∈G，

Ha≠aH，a为单位元时才相等）

22、一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数叫做H在G

里的指数，记为[G:H]。（陪集个数=H中元素个数）

23、子群的阶能整除大群的阶；一个有限群G的任一个元a的阶n

都整除G的阶。

24、一个群G的一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每一个

元a来说，都有Na=aN（指Na与aN这两个集合一样）。

25、一个交换群G的每一个子群H都是不变子群。

26、不变子群的判法：⑴定义法：∀a，有Na=aN；⑵∀a∈G，aN a−1=N；

⑶a∈G，n∈N⇒ an a−1∈N

27、一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群，用

=G/N的阶。（每一个不变子群都可产生一个商群）G/N表示；G的阶

N的阶

28、一个群G同它的每一个商群G/N同态。

29、假定G与G是两个群，并且G与G同态，那么这个同态满射的核N

是G的一个不变子群，并且G/N≌G

30、一个群G和它的每一个商群同态；群的同态满射的核是一个不变

子群。

二、下半学期学习计划

l．时间安排问题

(1)在学习前确定明确的目标，比如要在多少时间里完成多少内容。

(2)按时完成作业。

（3）充分利用课余时间来提高自己。

2．注意力问题

上课专心听讲，做到注意力高度集中