线性代数：矩阵的秩

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3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
13/44
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
定义 矩阵A中不为0的子式的最高阶数，称为A的
秩，记作r( A). 注 ：规定零矩阵的秩等于0. 只有零矩阵的秩等于0.
等价定义（定理 1）
r( A) r A中有 一个r阶子式 0，而 所有的 r 1阶子式(如果有）均为零。
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3.秩的性质
新
(1) 设A是m n矩阵，则r( A) min{ m, n},
第九次
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2.2 矩阵的秩 回顾
2.2.1 秩的概念与性质
1.矩 阵 的k阶 子 式
定义 设A是m n矩阵，在A中任取k行和k列
(k m, k n), 位于这些行列交叉处的k 2个元素
(保持在A中的相对位置不变）组成的k阶行列式， 称为A的k阶子式.
注：k阶子式是一个数。
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2.秩的概念
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例4
3 2 0
设
A
3
2
3
5 0 6 1, 求矩阵 A的
2 0 1 5 3
1
6
4 1
4
秩．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
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3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
r1 r4
3
2
3
6 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
因此 R( A) R(B). 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) R(B).
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设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为BT , R( AT ) R(BT ), 且 R( A) R( AT ), R(B) R(BT ),
当A ri krj B时，分三种情况讨论： （1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
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对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri krj ri k rj Dr kDˆ r ,
A是n阶方阵，则r( A) n
定义：若 n 阶方阵 A 的秩 r(A)=n,则称 A 为满秩矩阵， 否则称为 降秩矩阵.
A为满秩矩阵的充要条件是 A 0，故满秩矩阵 就是可逆矩阵.
(2) r( AT ) r( A). (3) 阶梯阵的秩等于它的非零行数.
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2.2.2 矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形. 问题：经过变换矩阵的秩变吗？
若Dˆ r 0, 因 Dˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第i 行的 r 阶 非零子式, R(B) r.
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若Dˆ r 0, 则 Dr Dr 0,也有 R(B) r. 若A经一次初等行变换变为B，则 R( A) R(B).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) R( A).
B
2 2
4 4
8 2
0 3
2 3
3 6 0 6 4
r2 2r1 1 2 2 1 1
r3 2r1 0 0 4 2 0
r4 3r1
0 0
0 0
2 1 5 6 3 1
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r2 2 1 2 2 1 1 r3 r2 0 0 2 1 0
0 0 0 0 5 r4 3r2 0 0 0 0 1
例5
设A
2 2
4 4
8 2
0 3
, b
2 3
3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为B~ ( A~,b~),
则 A~ 就是 A的行阶梯形矩阵， 故从 B~ ( A~,b~) 中可同时看出R( A) 及 R(B).
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1 2 2 1 1
定理1 若 A ~ B,则 RA RB.
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R(B).
设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
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当A ri rj B或 A rik B时， 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,.
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr kDr , 因此 Dr 0，从而 R(B) r.
R( A) R(B). 综上,若 A 经有限次初等变换变为B( 即
A ~ B),则 R( A) R(B). 证毕
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表明初等变换不改变矩阵的秩.
用 初 等 变 换 求 矩 阵 的 秩： 1) A 初等行(列）变换 阶梯阵U , 2)r( A) r(U ) U的非零行数。 即： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
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例
设A
1 2 2 3
解
~wenku.baidu.comA
rr32
22rr11
r4 3r1
1 0
0 0
2 4 1 3
1 2 0 3
0 6 2 3
2 6 3 4
，求r
(
A).
2 0
1 0
0 6
22
3 9
2 6
2 3
21
1 2 1 0 2
~ r2 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
14/44
r3 3r2
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
0
r3 r4
0 0
3 9 0
2
2
1
6 0
3 6
22
16/44
~
1 0
2 3
1 2
0 2
2 1
0 0
9 0
6 0
3 6
22
1 2 1 0 2
~r3 3r2
r4 2r3
0
0 0
3
0 0
2
0 0
2
3 0
101
U
故 r(A) r(U) 3.
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1 2 2 1 1