实验二 动态规划

实验二动态规划
姓名：陈国华
班级：软1241
学号：121842295
一、实验目的
（1）理解动态规划算法设计思想和方法；
（2）培养学生的动手能力。

二、实验工具
（1）JDK1.8
（2）Eclipse IDE for Java EE Developers
三、实验题：
1、设计一个时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列。

2、给定n种物品和一个背包。

物品i的重量是wi，体积是bi，其价值是vi，背包的容量为C，容积为D。

问如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？（在选择装入背包中的物品时，对于每一种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。

不能将物品i装入背包多次，也不能只装入物品i的一部分）。

三、实验提示：
1、对于X[0···n]中的每一个元素xi，求出以它结尾的X[0···i]的LIS，保存在数组lis中，然后找出lis中最大的元素，即X[0···n]的LIS。

假设求X[0···i]的LIS，即求lis[i],那么在X[0···i-1]寻找x0，x1，···，xi-1中所有小于xi 的元素xj（0 <= j <= i-1 ),对于每一个xj，都有一个以它结尾的序列X[0···j]的最长单调递增子序列，其长度自然为lis[j]，然后从这些lis[j]找出最大的元素，那么lis[i]就等于这个lis[j]加1，这就是X[0···i]的LIS。

而如果X[0···i-1]中没有小于xi的元素，那么lis[i]等于1。

该解法的时间复杂度为O（n2）。

算法：
public class ssss {
public static int LongestIncreasingSubsequence(int x[],int c[],int line[]){
int n=x.length;
int path[]=new int[n];
for(int i=0;i<n;++i){
path[i]=i;
}
c[0]=1;
for(int i=1;i<n;++i){
c[i]=1;
for(int j=0;j<i;j++){
if(x[i]>=x[j]&& c[j]+1>c[i]){
c[i]=c[j]+1;
path[i]=j;
}
}
}
int max =0;
int end=-1;
for(int i=0;i<n;++i){
if(c[i]>max){
max=c[i];
end=i;
}
}
int i=1;
line[0]=x[end];
while(path[end]!=end){
line[i++]=x[path[end]];
end=path[end];
}
return max;
}
public static void main(String[] args){
int x[]=new int []{1,3,5,4,6,9,7,8,11};
int c[]=new int[x.length];
int line[]=new int[x.length];
int max=ssss.LongestIncreasingSubsequence(x, c, line);
System.out.println("最长单调递增子序列的长度为："+max);
for(int i=max-1;i>=0;--i){
System.out.print(line[i]+",");
}
}
}
结果:
2、该问题是二维0-1背包问题。

问题的形式化描述是：给定，要求找出n元0-1向量使得而且达到最大。

因此，二维0-1背包问题也是一个特殊的整数规划问题。

容易证明该问题具有最有子结构特征。

设所给二维0-1背包问题的子问题
的最优值为，即是背包容量为j，容积为k，可选物品为1,2，…，i时二维0-1背包问题的最优值。

由于二维0-1背包问题的最有子结构性质，可以建立计算的递归式如下：
按此递归式计算的为最优值，算法所需的计算时间为。

一维0-1背包问题代码如下：
public class ssss {
public static int[][] Knapsack(int[] w, int[] v, int c) { int i,j,n = w.length;
i nt[][] m = new int[n+1][c+1];
f or(i=1;i<n+1;i++)
m[i][0] = 0;
for(j=0;j<c+1;j++)
m[0][j] = 0;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=c;j++){
m[i][j] = m[i-1][j];
if(w[i-1] <= j)
if(v[i-1]+m[i-1][j-w[i-1]]>m[i-1][j])
m[i][j] = v[i-1]+m[i-1][j-w[i-1]];
}
r eturn m;
}
public static int[] buildSolution(int[][] m, int[] w, int c) { int i,j = c,n = w.length;
i nt[] x = new int[n];
f or(i=n;i>=1;i--)
if(m[i][j] == m[i-1][j]){
x[i-1] = 0;
}else{
x[i-1] =1;
j -= w[i-1];
}
return x;
}
public static void main(String[] args){ int w[] = {2,3,4,5},v[] = {3,4,5,8};
int[][] m;
int[] x;
m=ssss.Knapsack(w, v, 9);
x=ssss.buildSolution(m, w, 9);
for(int i = 0;i<4;i++)
System.out.print(x[i]+" ");
System.out.println();
}
}
运行结果：。