第一章 微积分学的理论基础__第一节 集合与函数

A B C A B C
（3）分配律： A B C A C B C A B C A C B C A \ B C A C \ B C （4）幂等律： A A A, A A A A Φ Φ, A Φ A （5）吸收律：
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当 t (,) 时, U 0.
U U (t )是一个分段函数 , 其表达式为
U
E
( , E) 2
( ,0)
o
2E t, t [ 0, ] 2 2E U (t ) ( t ), t ( , ] 2 0, t ( ,)

若 x1 , x2 A, x1 x2
则称函数 f 在 A 上单调减.
f x f x
1 2
f x1 f x2 若 x1 , x2 A, x1 x2 则称函数 f 在 A 上严格单调增.

若 x1 , x2 A, x1 x2

f x1 f x2
A x 1 x 2 x 5 x 6 3
y
3 2
A B
1
1
0
1
2
3
4
5
6
x
0
1
2
3
4
5
6
x
二、映射与函数概念
定义1.1(映射) 设集合A和B非空，若对于每个x A，按照 某种确定的对应法则 f ，有唯一确定的 y B 与它对应，则 称 f 为从A到B的一个映射。
y
y x2
1
(1,1)
y x
y x
o
1 y x
1
x
15
x 3.指数函数 y a
(a 0, a 1)
y ex
1 x y( ) a
y ax
(a 1)

(0,1)
16
4.对数函数 y loga x
(a 0, a 1) y ln x
y log a x
[a ,) { x a x }
( , b) { x x b}
无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
5
3.邻域: 设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
中间变量
A
x
B
g
u g x
g A
h f g
称函数 h f g ：
f
A C
为函数
g 与 f的复合。
y f u
f g x
必要条件： g A D f
C
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注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函 数的;
u 2 x2; 例如 y arcsinu,
则称函数 f 在 A 上严格单调增.
(严格)单调增函数与(严格)单调减函数统称为(严格) 单调函数.
41
反函数存在定理: 函数 f 是 A 上的严格单调增(减)函数, 则它必存 在反函数 f 1 , 且反函数 f 1 在 f 的值域 f A上 也是严格单调增(减)的.
42
五、双曲函数与反双曲函数
记为： f : A B 或 f : x y f x , x A
映射也称为算子，若B为数集，则称映射 f : A B 为范函。
A
原象
定义域
D f
f
f A
B
x
y
象
值域
11
映射的两要素: 定义域与对应法则. 例2.单位圆内接正n边形的面积。
S3
S4
S5
O
n
S6
圆内接正n 边形
四、逆映射与反函数
一一映射： 设映射
f :A B x A y f x B 反之，若
x
g
A
f
B
y
y B, x A, s.t. g : B A or y x g y 满足 f x y
则称映射 f 为从A 到B 的一一映射。 g 为映射 f 的逆映射。 记为： f 1 g 称映射
1 2 2 S n nr sin 2 n n 3 ,4 ,5 ,
r
12
定义1.2(函数) 设数集A和B非空，则称映射 ： : A B f 为一元函数，简称函数。 记为： 因变量
y f ( x)
自变量
A
自变量
定义域
D f
f
f A
B
x
y
值
值域
13
函数的两要素: 定义域与对应法则.
4 3 2 1 0
y
1 2 3 4 5 x -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 阶梯曲线
30
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
31
(4) 取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
a
17
5.三角函数 正弦函数 y sin x
y sin x
18
余弦函数 y cos x
y cos x
19
正切函数 y tan x
y tan x
20
余切函数 y cot x
y cot x
21
正割函数 y sec x
第一章 微积分的理论基础
第一节 集合与函数 集合及其运算 映射与函数 复合映射与复合函数 逆映射与反函数 初等函数与双曲函数 建立实际问题中的函数关系式
作业：Page19,1(1),(3), 3, 4(2), 9, 12, 15
1
一、集合及其运算
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
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反函数
y
函数 y f ( x )
y
y0
W
反函数 x ( y )
o
x0
x
y0
D
W
o
x0
x
D
39
y
反函数y ( x )
Q ( b, a ) P (a , b)
y f (x)
o
x
原函数与反函数的图形关于直线 y x 对称. 问题: 在什么条件下, 一个函数存在反函数?
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设函数: f : A R R, 单调函数: f x1 f x2 若 x1 , x2 A, x1 x2 则称函数 f 在 A 上单调增.
(
x
D
对应法则f
x0 )
f ( x0 )
自变量
(
W
y
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x 2 1 例如， y 1 x2
D : [1,1] D : ( 1,1)
14
基本初等函数 1.常值函数 y a 2.幂函数 y x (是常数)
列举法:
a M, a M, A {a1 , a2 ,, an }
2
有限集

示性法:
B { x 1 x 4} 无限集 M { x x所具有的特征}
若x A, 则必x B, 就说A是B的子集 ,
B A; A B 或 若 A B 且 B A, 则 A B. 若 A B 且 A B, 则 A B. ( A B)
1.双曲函数
e e 双曲正弦 shx 2 奇函数. D : ( , ),
差：
A
AB
B
A
AB
B
A
A\B
B
7
余(补)： 若B A, 则称差A\B为B关于A的余。
若X为全集，则X\A成为A的余集。 记做： c A 不相交：
AB
A B A\B A X A
B
AB A
c
8
法则1： 设A, B, C为任意三个集合，则：
（1）交换律：A B B A, A B B A （2）结合律： A B C A B C
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
x o
x
32
例3 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图 所示,写出电压U与时间 t ( t 0)的函数关系式.
U 解 当 t [0, ] 时, ( , E) 2 2 E E 2E U t t; ( ,0) t o 2 2 当 t ( , ] 时, 单三角脉冲信号的电压 2 E0 2E U 0 ( t ), 即 U (t ) 2
若A B,
A B A, A B B
9
（对偶律） 法则2：
10
A Bc Ac B c , A Bc Ac B c
积集： 例1：
A B x, y x A, y B
解：
y
3 2
B y 1 y 3 在直角坐标平面画出 A B
2
t
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三、复合映射与复合函数
复合映射
中间元素
A
x
B
g