初中数学知识点精讲精析 定义与命题

1.2 定义与命题
学习目标
1.了解定义的含义，了解命题的含义。

2.理解真命题、假命题、公理和定义的概念。

3.会判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题。

知识详解
1.定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。

定义一般揭示了某一类事物的本质、概括和总结了最具有一般性的本质属性。

注意：定义必须是严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。

2.命题：一般地，判断某一件事情的句子叫做命题。

3.命题的结构：命题一般由条件和结论两部分组成。

每个命题都有条件和结论两部分组成。

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。

一般地，命题都可以写出“如果+条件，那么+结论”的形式。

有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。

如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。

4.真命题：正确的命题称为真命题。

假命题：不正确的命题称为假命题。

5.基本事实：人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实。

定理：用推理的方法判断正确的命题叫做定理。

定理也可以作为判断其他命题的依据。

【典型例题】
例1：下列语句，属于定义的是( )．
A．两点之间线段最短
B．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
C．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半
D．三人行则必有我师焉
【答案】B
【解析】判断是不是定义，关键看是否对名称或术语的含义加以描述，而且作出了规定．很明显，A，C，D没有对名称或术语作出描述，故应选B。

例2：指出下列命题的条件和结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②若ab＝1，则a与b互为倒数；③同角的余角相等；④矩形的四个角都是直角。

【答案】①条件：两条直线都和第三条直线平行，结论：这两条直线互相平行．
②条件：ab＝1，结论：a与b互为倒数．
③条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等．
④条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角都是直角．
【解析】命题的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
例3：下列说法正确的是( )．
A．真命题都可以作为定理
B．公理不需要证明
C．定理不一定都要证明
D．证明只能根据定义、公理进行
【答案】B
【解析】真命题并不都是定理，故选项A不正确；定理必须经过证明，故选项C不正确；证明可以根据定义、公理、定理进行，故选项D不正确；公理是公认的真命题，不需要证明，故选B.
【误区警示】
易错点1：命题
1.下列句子中是命题的有__________（填序号）．①直角三角形中的两个锐角互余．②正数都小于0.③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互补．④太阳不是行星．⑤对顶角相等吗？⑥作一个角等于已知角．
【答案】①②③④
【解析】判断是否为命题，要根据命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判断．所以①②③是命题，它们都对事情作出了肯定回答；④是命题，它对事情作出了否定回答；⑤不是陈述语句；⑥只是描述了一个作图的过程，并未作出判断，不是命题．
易错点2：真命题
2.下列命题中，真命题是（）．
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0
D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0
【答案】D
【解析】分析是否为真命题，需要分析各题设能否推出结论，从而利用排除法得出答案．由a·b＞0可得a，b同号，可能同为正，也可能同为负，所以A是假命题；a·b＜0可得a，b异号，所以B是假命题；a·b＝0可得a，b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，所以C是假命题；若a·b＝0，则a＝0，或b＝0，或二者同时为0，所以D是真命题．故选D.
【综合提升】
针对训练
1.已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．
其中假命题有__________(填序号)．
2.如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD ＝CE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题
__________．(用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式写出)
3.对同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a ∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：__________(用序号表示)．
1.【答案】③④
【解析】
对角线互相平分的四边形是平行四边形
等腰梯形的对角线相等
对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2.【答案】①③④②
【解析】如：由AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，得到△ABD≌△ACE，则AD＝AE.所以①③④⇒
②.
3.【答案】若①②，则④
【解析】根据“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行”，可得出：若①②，则④.
【中考链接】
（2014年永州）下列命题是假命题的是（）
A．不在同一直线上的三点确定一个圆
B．矩形的对角线互相垂直且平分
C．正六边形的内角和是720°
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】B
【解析】A、不在同一直线上的三点确定一个圆，所以A选项为真命题；
B、矩形的对角线互相平分且相等，所以B选项为假命题；
C、正六边形的内角和是720°，所以C选项为真命题；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项为真命题．
课外拓展
在数学里，定理是指在既有命题的基础上证明出来的命题，这些既有命题可以是别的定理，或者广为接受的陈述，比如公理。

数学定理的证明即是在形式系统下就该定理命题而作的一个推论过程。

定理的证明通常被诠释为对其真实性的验证。

由此可见，定理的概念基本上是演绎的，有别于其他需要用实验证据来支持的科学理论。