轴向拉伸、压缩与剪切

q(x) FN (x)
x
FN(x)0xkd xx1 2kx2
FN(x)max12kL2
§2.3 横截面上的应力及强度条件
问题提出：
P
P
P
P
轴力大小不能衡量拉（压）杆件的强度。
1. 变形规律试验及平面假设：
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。 2. 轴向拉压杆横截面上的应力：
P
s
FN (x)
s
FN
( x)
( )拉应力
A ( )压应力
轴力引起的正应力 —— s 在横截面上均匀分布。
3. 最大工作应力：
s
max max[
FN (x) ] A( x)
4. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、截面离载荷作用点有一定 的距离。
5. Saint-Venant原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。
6. 应力集中（Stress Concentration）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
斜截面上全应力： pa s cosa P
k
分解：
sapaco a ssco 2as
a
k
k
pa a pasinascoas sina P
ssin2a
2
a
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。
当a = 0时， (sa)maxs, a 0
s s ③强度校核： ma x 162 M 1 P7 a0M
④结论：此杆满足强度要求。
[例4] 简易起重机构如图，AC为刚性杆，吊车与吊起重物总重
为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力 为[s]，L、h为已知，P可在BC间移动。
L
分析：
x
A
VABDLBD;
h
BP
C
A BD
PC
PD
D
FN 4 = P （＋）
画轴力图
FN
FN 4 PD
5P
2P +
+
P
x
–
3P
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出
杆的轴力图。 q(x)
解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
L
取左侧x段为对象，轴力 F N (x)为：
O x
O x
q FN (x)
kL
–
kL 2 2
轴向拉伸、压缩与剪切
17
7. 强度设计准则（Strength Design）：
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
smaxmaF xAN([(xx))]s
其中：[s]—许用应力，smax—最大工作应力。
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
ss
②设计截面尺寸： ③确定许可载荷：
圣维南原理、应力集中。
轴向拉伸、压缩与剪切
23
二、拉(压)杆斜截面上的应力
k
设有一等直杆受拉力P作用。 P
P
求：斜截面k-k上的应力。
解：采用截面法
P
a
k
k
Fa
由平衡方程：Fa=P
a
则： pa
Fa Aa
k Aa：斜截面面积；Fa：斜截面上内力。
由几何关系：
Aa
c
A
osa
代入上式，得：
paF Aa aP Acoasscoas斜截面上全应力：pa s cosa
意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
义 ②确定出最大轴力的数值 FN
及其所在横截面的位置，
F
即确定危险截面位置，为
+
x
强度计算提供依据。
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
FN1
A
BC
D
PA
PB
§2.1 轴向拉压的概念及实例
一、概念 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩。
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
力学模型如图
P
P
P
P
二、
工 程 实 例
§2.2 轴力及轴力图
一、 轴力
NB
PC
③ 求VBD 的最小值： VABL D A/h sin[s]2sPi2n L ;
当 dV 0 时， V 取得极值。 d
45o时, Vmin2[sP]L
回顾上次课内容：
拉（压）杆的内力图—轴力图
拉（压）杆横截面的应力： s F N
A
拉（压）杆的强度条件：smaxmaF xA N([(xx))]s
F N max s
;
L BD h / sin 。 D
L x
XA A
YA
BP C
FN
解： BD杆轴力 FN ( )： 取AC为研究对象，如图
m A 0 ,( F N si) ( n h c) t g Px FN max
PL
hcos
BD杆横截面积A： AFNma/xs
L x
XA A
B
YA
第二章 轴向拉伸、压缩与剪切
§2. 1 轴向拉压的概念及实例 §2. 2 轴力及轴力图 §2. 3 截面上的应力及强度条件 §2.4 拉压杆的变形 胡克定律 §2.5 拉压杆的弹性应变能 §2.6 拉压超静定问题及其处理方法 §2.7 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §2. 8 连接件的剪切与挤压强度计算
PC
PD
解： 求OA段轴力N1：设置截面如图
X 0 F N 1 P A P B P C P D 0
F N 1 5 P 8 P 4 P P 0
FN1 2P （+）
同理，求得AB、 FN 2 BC、CD段轴力分
BC
D
PB
PC
PD
别为：
C
D
FN 2 = 3P（－）
FN 3
FN 3 = 5P（＋）
A FN [s ]
FNAs ;
Pf(FN)
[例3] 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力
[s]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
解：① 轴力： FN = P = 25kN
s ②应力： ma x F A Nπ 4P 2 d3 4 .1 2 4 0 .5 0 13 1 2 0 4 16 M 2Pa
F
A
F
截开：
F
A F
简图
代替：
F
FN
Aຫໍສະໝຸດ Baidu
平衡： X 0 FNF0 FN F
轴力——轴向拉压杆横截面上的内力，用 FN 表示。
3. 轴力的正负规定: FN 与截面外法线同向,为正轴力(拉力) FN
FN FN > 0
FN 与截面外法线反向,为负轴力(压力) FN
FN FN < 0
二、 轴力图—— FN (x) 的图象表示。