四点共圆的证明的所有方法

证明四点共圆的方法

思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。 思路二：四点到某定点（中垂线交点）的距离都相等，从而确定其共圆． 思路三：运用有关定理或结论

（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边

为圆的直径．

（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． （3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。

（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，

PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。

（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，

PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。

（6）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD ，

BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅⇔四点共圆。

图（3） 图（4） 图（5）

A

B

C

D

A B C

D

P

A

B C

D

P

第2个命题的证明

第3个命题的证明

过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，

则C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC

交圆O于C'，连结D C'，根据圆内接四

边形的性质得∠A+∠D C'B=180°，

∵∠A+∠C=180°∴∠D C'B=∠C .

故假设错误，原命题成立。