流体力学第七章讲解
流体力学讲义 第七章 孔口及管嘴不可压缩流体恒定流
第七章孔口及管嘴不可压缩流体恒定流本章主要介绍流体力学基本方法和水头损失计算方法在孔口与管嘴出流中的应用，得出了孔口、管嘴出流的基本公式。
概念一、孔口出流（orifice discharge）：在容器壁上开孔，水经孔口流出的水力现象就称为孔口出流，如图7-1。
应用：排水工程中各类取水，泄水闸孔，以及某些量测流量设备均属孔口。
图7-11.根据d/H的比值大小可分为：大孔口、小孔口大孔口（big orifice）：当孔口直径d（或高度e）与孔口形心以上的水头高H的比值大于0.1，即d/H>0.1时，需考虑在孔口射流断面上各点的水头、压强、速度沿孔口高度的变化，这时的孔口称为大孔口。
小孔口（small orifice ）：当孔口直径d（或高度e）与孔口形心以上的水头高度H的比值小于0.1，即d/H<0.1时，可认为孔口射流断面上的各点流速相等，且各点水头亦相等，这时的孔口称为小孔口。
2.根据出流条件的不同，可分为自由出流和淹没出流自由出流（free discharge）：若经孔口流出的水流直接进入空气中，此时收缩断面的压强可认为是大气压强，即p c=p a，则该孔口出流称为孔口自由出流。
淹没出流（submerged discharge）：若经孔口流出的水流不是进入空气，而是流入下游水体中，致使孔口淹没在下游水面之下，这种情况称为淹没出流。
3.根据孔口水头变化情况，出流可分为：恒定出流、非恒定出流恒定出流（steady discharge）：当孔口出流时，水箱中水量如能得到源源不断的补充，从而使孔口的水头不变，此时的出流称为恒定出流。
非恒定出流（unsteady discharge）：当孔口出流时，水箱中水量得不到补充，则孔口的水头不断变化，此时的出流称为非恒定出流。
二、管嘴出流：在孔口周边连接一长为3~4倍孔径的短管，水经过短管并在出口断面满管流出的水力现象，称为管嘴出流。
圆柱形外管嘴：先收缩后扩大到整满管。
流体力学第七章课件
,
y
u y
(2)在固壁上流体不能渗入亦不能脱离，故有
u n 0 即 0
n
这种边界条件下求解拉普拉斯方程的边值问题称为诺埃
曼(Neumen)问题，又叫第二类边值问题。
对于非定常流动，还需利用初始条件。
6
第七章 不可压缩理想流体的无旋运动
二、速度势与速度环量的关系
对于无旋势流，有
充要条件，我们把函数(x, y, z,t)称为速度势。这
里t为参变数。必有
d uxdx u ydy uz dz
1
第七章 不可压缩理想流体的无旋运动
由此说明了无旋必有势，反之可证有势必无旋。
又
d dx dy dz
x
y
z
故
ux
x
,
uy
2 21 22 2n 0
同理，对于不可压缩平面流动，若有
1 2 n
因为平面无旋势流满足 21 2 2 0
所以 2 21 2 2 2 n 0
18
第七章 不可压缩理想流体的无旋运动
x
y
0
故是无旋流。
(2)
ux x 2ay
积分 于是
2axy f y
uy
y
y
2axy
f
y
2ax
f y
y
15
第七章 不可压缩理想流体的无旋运动
故
2ax f y 2ax
y
f y df y 0
(1)流动是无旋还是有旋？
流体力学第七章(旋转流体动力学)
特征长度尺度：
L
特征速度尺度：
U
特征时间尺度：
T
重力加速度特征量：
g
密度特征量：
0
旋转参考系的自转角速度特征量：
.
17
特征压力差可以取两种不同的尺度：
0U2、02L2
考虑到讨论 U/L 1的极限情形，通常选取最大 有效尺度 02L2 作为压力差的尺度。
.
18
二、旋转流体运动的无量纲方程
d d V trg r 1 p 2V r2 k rV r
d a V radV r r r r rV r r r r
d t
d t
da V radV r2 r V r r( rr r) dt dt
.
10
da V radV r2 r V r r( rr r)
dt dt
r ( r r r ) r ( r R r ) 2 R r
R
R e特 特征 征粘 惯 U U 性 性 2/L /2L 力 力 U L
Ek R 0 Re
.
23
3.旋转流体的弗雷德数
F r旋重 转力 惯 ( L 性 g )2/L力 g 2L
反映了旋转流体中旋转作用和重力作用的相对重要性
第七章 旋转流体动力学
前面讨论的流体运动，是在惯性坐标系下进行的，并没有 考虑地球的旋转效应。
地球自身以一定速度自转，而地球的旋转效应，将会对地 球大气、海洋等流体的运动产生很显著的影响。
假设考虑流体运动的参考系，本身是以一定的角速度绕轴 转动的；那么，这种参考系称为旋转参考系，而相对于旋转参 考系的流体运动则称之为旋转流体运动。大多数的地球物理流 体力学所关心的大量问题均属于旋转流体动力学问题。
第七章不可压缩流体动力学基础
在个方向上都是 相同的可得
yz
zy
vz y
v y z
2
•
x
zx
xz
vx
z
vz x
•
2 y
流体力学
二、法应力和线变形速度的关系
在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也 发生线变形（对不可压缩流体推导的结果如下）。
pxx
p
2
vx x
p yy
p 2
v y y状态
流体力学
二、以应力表示的运动微分方程
第一个下标表示 应力所在平面的 法线方向。
第二个下标 表示应力本 身的方向。
pxx
dy
dz
xz xy
fz
zx
yx
yx
y
fy fx
zx dz
z
dy xz
xypxxxzdxxxypdxxxx
x
dx
yx
dx
流体力学
流体力学
第七节 理想流体的运动微分方程及其积分
一、运动微分方程 当流体为理想流体时，运动黏度
，N-S方程简化为：
fx
1
p x
dvx dt
fy
1
p y
dv y dt
fz
1
p z
dvz dt
流体力学
将加速度的表达式代入
fx
1
p x
v x t
vx
vx x
vy
v x y
vz
vx z
fy
vds
v d s (vxdx vydy vzdz)
速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分 的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概 念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算.
《流体力学》 第七章 不可压缩粘性流体的流动
应力与应变的关系--------本构关系
du
dy
对照牛顿实验
pyx
斯托克斯假设
(1). 应力与变形速率之间为线性关系(小变 形(各向同性假设) (3). 趋于零时, 应力状态退化为理想流体 的应力状态(当流体处于静止状态时,符合 静止流体的应力特征)
pyz pzy
pzx pxz
pyx
p y x y
dy 2
pyy
p y y y
dy 2
pxx
pxx x
dx 2
pxy
pxy x
dx 2
y x
pxx
pxx x
dx 2
pxy
pxy x
dx 2
pyx
p y x y
dy 2
pyy
p y y y
dy 2
p y x y
pzx z
)
将pxx pyx pzx 的表达式代入, 设不可压, 则有
同理有
ax
fx
1
p x
(
2u x 2
2u y 2
2u z 2
)
ay
fy
1
p y
(
2v x 2
2v y 2
2v z 2 )
az
fz
1
p z
pzz
p
2
w z
相 加
1 3
(
pxx
pyy
流体力学第七章不可压缩流体动力学基础
第七章不可压缩流体动力学基础在询面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的 观点，求得平均量。
但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等 流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。
本章的容介绍流体运动的基本 规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。
第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。
位移 和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则 是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。
在直角坐标系中取微小立方体进行研究。
(b)谥.A n(d)一. 平移：如果图（a ）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成(c)A B(a)A了液体基体的单纯位移，其移动速度为心、®、“,。
基体在运动中可能沿直线也 可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不 变）。
二、 线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比 A 点和D 点大了竺如 而比就代表〃y = l 时液体基体运动时，在单位时间沿勿dyy 轴方向的伸长率。
du x °"、. du : dxdydz三、 角变形（角变形速度）—BIA ■ dp -------------------------------- Jda-0 = dp + 00 =J"些+些k dz. dx四、旋转（旋转角速度）1O = —0 =—21勿du vdx—dx角变形:血 A那么，代入欧拉加速度表达式，得：du r du Tdu r八 八5=说=古叫 云+"卑+"0+-叭巴加、6仇 du Ya v = ----- = — + u v ---------- + U.0, +ii t a ）. -iLCoydt dt dy “'2 …加.du diL q 。
工程流体力学第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动讲解
x
vx
y
v y
z
vz
t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x
0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径； 为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分： 分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点 引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形） 在A点引起的速度（变形运动）。
第三节 有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 类：有旋流动和无旋流动。
vx y
2 x
2 y
2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE
vx
vx x
dx
vx y
dy
vx z
dz
v yE
vy
vy x
dx
vy y
dy
vy z
dz
vzE
《工程流体力学》第七章 粘性流体动力学
2.附面层位移厚度d*: 设物面P点附面层厚度d ，在垂直于纸面方向取单位宽度，
则该处通过附面层的质量流量：
通过同一面积理想流体流量：
ro, Vo —— 附面层外边界处理想
流体的密度和速度
以d*高度作一条线平行于物面，
使两块阴影处面积相同：
即在流量相等条件下将理想流体流动区从物面向外移动了
流体绕物体流动，整个流场分为三个区域：
1)附面层： 流速：由壁面上零值急剧增加到自由来流速度同数量级值 沿物面法线方向：速度梯度很大
即使流体粘性系数小：粘性应力仍可达到一定数值
由于速度梯度很大： 使得通过附面层物体 涡旋强度很大，流体 是有旋的
2)尾迹流： 附面层内流体：离开物体流入下游，在物体后形成尾迹流
各物理量都是统计平均值， \ 瞬时物理量＝平均物理量＋脉动物理量， 对整个方程进行时间平均的运算。
一、常用时均运算关系式：
时均运算规律：
推论：脉动量对空间坐标各阶导数的时均值=0。
二、连续方程：对二维流动，瞬态运动连续方程 进行时均运算：
\ 可压缩紊流运动连续方程：
进行时均运算： 上两式相减：
\ 附加法向应力
法向应力： l： 比例系数，与体积变化率有关
三个法向应力平均值的负值：为粘性流体在该点压强
最后得表面应力与变形率之间的关系：
第二节 粘性流体运动的基本方程
一、连续方程：
粘性流体运动：服从质量守恒定律 连续方程：不涉及力的作用 仍能得出与理想流体相同形式的方程
二、运动微分方程： 粘性流体中：微元六面体 微元六面体中心：c
三、雷诺方程： 二维不可压缩粘性流，不考虑质量力，N-S为：
对上式进行时均运算：
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由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等是现象相似的充分条件。
这是显而易见的，两现象相似，它们的相似准则数必相等，反之，同样可以 证明，相似准则数相等的两个现象必定相似。
第一节 相似概念 第二节 相似定理 第三节 相似准则导出 第四节 模型试验方法 第五节 量纲分析
第七章 相似原理和量纲分析
对于大多数实际流体力学问题，由于流动现象和结构的复杂性（比如 粘性流体的湍流或紊流结构）理论计算尚有一定困难，因此，流体力学实 验起着相当重要的作用，它是近百年来才发展起来的试验力学的一个新的 分支。
kA ?
A' A
l '2 ? l2
?
k
2 l
kV
?
V' V
?
l '3 l3源自?k3 l
第一节 相似概念（3）
二、运动相似 若两个物体的流场所有对应点、对应时刻的流速方向而流速大小成比
例，则对应的速度场相似。流场的几何相似是运动相似的前提。
速度比例
v' v ? kv
时间比例
kt
?
t' t
?
l' l
v' v
?
kl kv
ka
?
a' a
?
v' v
t' t
?
kv kt
?
k
2 v
kl
加速度比例
k?
?
?' ?
?
l '2 l2
t' t
?
k
2 l
kt
流体力学 7章讲稿
第七章 粘性流体动力学基础粘性是流体的属性,真实流动都是具有粘性的流动。
本章包括： (1) 粘性流体动力学问题的建立； (2) 粘性流动的基本特性； (3) 若干具体问题的解析求解和近似求解。
§7.1 流动的粘性效应一、圆柱绕流 (参讲义) 二、管内流动§7.2 层流与湍流§7.3 广义牛顿粘性应力公式流体作直线层流运动时，试验得到切应力与变形速率之间的关系式为：dy du μτ=)(212xv y u ∂∂+∂∂=μ 牛顿粘性应力公式yx p yx με2=流体作非直线层流动运动时,无法由试验给出应力p ij 与变形速率εij的关系一、应力张量由第四章，粘性流体的应力是二阶对称张量 pxx p xy p xz P={p ij }= p ij e i e j = p yx p yy p yzp zx p zy p zzp yx =p xy p zx =p xz p zy =p yz p n ＝n ﹒P ＝-e j n i p ij另外，在静止或理想流体中，过一点的任意平面的法向应力p n 的方向，都与该平面的单位法线向量n 的方向相反，且法向应力的数值p 与n 无关，即P n ＝-p n式中p 只是位置及时间的函数p ＝p(x,y,z,t)。
这个压力就是经典热力学平衡态意义上的压力。
在粘性流体动力学中，流体质点的物理量都处在变化过程中，过一点的不同平面上的法向应力的数值并不一定相同。
因此，严格说来，并不存在平衡态意义上的压力。
但定义一平均压力p m ,它是球形流体微团(也可取任意形状的流体微团)表面所受法向应力p nn 的平均值的负值，即⎰⎰→-=Ann a m dA p a p 0241limπ式中 a 为球形微团的半径。
球面上的法向应力p nn 和球面微元面积可写成 p nn =n ﹒p n =n i n j p ijn 1＝sin θcos ε n 2＝sin θsin ε n 3＝cos θ dA ＝a 2sin θd θd ε于是⎰⎰-=ππεθθπ020sin 4d d n n p p j i ijm此式右侧包括9项，分别积分之，最后得3)(31332211ij m p p p p p -=++-=即：流场中任意一点的平均压力p m ，等于过此点的三个坐标面上的法向应力p 11、p 22、p 33的算术平均值的负值。
流体力学第七章详解
π为无量纲数。分别求出各个π再回代即得。 例如， f (X1, X 2 , X 3, X n) 0，若选基本量为 X1、X2、X3、
F(1, 2 , 3, n3) 0
X1 、X2 、X3独立。
确定各指数，得各π值，再回代F得物理方程式。
1
X4
X X X 1
1
1
1
2
3
2
X5
X X X 2
2
4 a4 d b4 c4
F(1, 2 , 3, 4) 0
⑷ 确定各π项指数
1 [p] []a1[d ]b1[ ]c1
[M L1T 2] [LT ]1 a1[L]b1[M L ]3 c1
M : 1 c1
L : -1 a1 b1 3c1
T : - 2 a1
a1 2 b1 0
解： f (Q, H,b, g) 0
Q K ba g H
L3 T [L] [LT 2] [L]
根据量纲和谐原理，有：
解得：
[L]： 3 [T ]： 2 1
1， 2.5
2
根据实验知α=1，从而得
3 2
，令
k
2m，所以：
Q mb
2g
3
H2
例2 求水轮机输出功率的表达式。
7 量纲分析和流动相似原理
7.1 量纲分析的意义和量纲和谐原理 7.1.1 量纲和单位 量纲——是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和 类别。 如长度量纲为[L]。 ——“质”的表征。(物理的属性， 物理量的实质，不含人为的影响) 单位——量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。 如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。(人为规定的量 度 标准) 基本量纲和导出量纲——具有独立性的，不能由其他 量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度、质量、 时间，即[LMT]。
流体力学第七章
扰动因素
对比 抗衡
v
粘性稳定
d
惯性力 vd Re 粘性力
利于稳定
圆管中恒定流动的流态转化仅取决于雷诺数，这是客观规律 用无量纲量表达的又一例证，也是粘性相似准则的实际应用。
圆管中恒定流动的流态发生转化时对应的雷诺数称为临界雷 诺数，又分为上临界雷诺数和下临界雷诺数。上临界雷诺数表示 超过此雷诺数的流动必为紊流，它很不确定，跨越一个较大的取 值范围。有实际意义的是下临界雷诺数，表示低于此雷诺数的流 ReC 2320 动必为层流，有确定的取值，圆管定常流动取为
流动中流体所承受的阻力来自于流体质点间及流体和管壁间摩擦阻力，称为 沿程阻力。
l v2 h d 2g
称为沿程水头损失
2. 非均匀流动和局部损失hζ
在非均匀流动中，各流段所形成的阻力是各种各样的，但都集中在很 短的流段内，这种阻力称为局部阻力。
v2 h 2g
称为局部水头损失
§7-1 流动状态实验——雷诺实验
第七章 流体在管路中的流动
流动阻力和水头损失
层 流 与 紊 流 圆 管 中 的 层 流 运动 圆管中的紊流运动 局 部 水 头 损 失
实际流体具有粘性，单位重量的流体在运动过程中因克 服粘性阻力而耗损的机械能称为水头损失。为了使流体能维 持自身的运动，就必须从外界给流体输入一定的能量以补偿 水头损失。例如，为保证管路正常通水，就得通过水泵给水 管输入能量。因此，水头损失的研究具有重要的意义。
五. 紊流运动中的水头损失
影响的因素
f (Re, / r )
对Hale Waihona Puke 流64 Re对紊流
f (Re, / r )
§7-7
管中流动沿程阻力系数的确定
流体力学课件第七章管网计算
01
02
03
04
假设管网中的流体为不可压缩 的牛顿流体；
假设流体在管网中流动时，遵 循牛顿第二定律，即流体受到
的力与加速度成正比；
假设流体在管网中流动时，管 道的长度、直径、粗糙度等因 素对流体流动的影响忽略不计
；
假设流体在管网中流动时，管 道的转弯、分支等对流体流动
的影响忽略不计。
02
管网水力计算
流速
流体在管道内的流动速度， 与管径、流体性质、水力 坡度等因素有关。
关系
水力坡度与流速之间存在 一定的关系，可以通过伯 诺里方程等公式进行计算。
管径选择与流量分配
管径选择
计算方法
根据流量、流速、流体性质等因素选 择合适的管径，以满足流体输送的要 求。
通过试算、经验公式等方法确定管径 和流量分配方案。
常用优化算法
线性规划法
通过线性方程组求解， 适用于管网布局和流量
分配的简单问题。
非线性规划法
遗传算法Biblioteka 模拟退火算法考虑管网中水头损失、 管道弹性等因素，适用
于复杂管网问题。
模拟生物进化过程的优 化算法，适用于多目标、 多约束的管网优化问题。
借鉴物理中退火过程， 适用于解决局部最优解
的问题。
案例分析：某城市管网优化设计
维护效果
经过一段时间的管理与维护，该城市管网的故障率明显降低，提高 了供水保障能力。
THANKS
感谢观看
物理场的模拟。
ANSYS Fluent
02
一款流体动力学仿真软件，适用于各种流体流动和传热问题的
模拟。
OpenFOAM
03
一款开源的流体动力学仿真软件，具有强大的计算能力和灵活
流体力学基础(朱爱民)第七章ppt
（7-1）
由于压缩波很薄，作用在该波上的摩擦力可以忽略不计。
于是对于控制面，根据动量定理，沿气体流动的方向，质
量为cA 的气体的动量变化率等于作用在该气体上的压力
之和，即 或
cAdt [(c dV ) (c)] [(p dp) p]A
dt
dV 1 dp
c
（7-2）
由式（7-1）和式（7-2）得 由于是微弱扰动，d 远小于
前几章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体，
即使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况 下，可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压 缩的程度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在 该气体中声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。 例如空气的速度等于50m/s，这数值比常温20℃下空气中的 声速343m/s要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。 所以为简化问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近 似地看作是常数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。 当气体流动的速度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过 声速时，如果气体受到扰动，必然会引起很大的压强变化， 以致密度和温度也会发生显著的变化，气体的流动状态和流 动图形都会有根本性的变化，这时就必须考虑压缩性的影响。 气体动力学就是研究可压缩流体运动规律以及在工程实际中 应用的一门科学。本章中仅主要讨论气体动力学中一些最基 本的知识。
本节将只讨论气体的一维定常等熵流动，即假定气体 是完全气体，在流动过程中与外界无热交换，摩擦影响很 小可以忽略不计。在一般情况下还认为各参数仅在一个方 向上有显著的变化，而且变化是连续的、不随时间而变化， 这就是一维定常等熵流动。在许多实际流动问题中，例如 气体在喷管、扩压管和短叶栅中的流动都可以近似地认为 是一维定常等熵流动。
《流体力学》第七章不可压缩流体动力学基础
例7-6
第六节
纳维—斯托克斯方程
不可压缩粘性流体的运动微分方 程 2u x 2u x 2u x du x 1 p X ( 2 ) 2 2 x x y z dt
uy uy uy du y 1 p Y ( ) 2 2 2 y x y z dt
u d s ux dx u y dy uz dz
s s
规定积分沿s逆时针方向绕行为 s 的正方向
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过 以该曲线为边界的曲面A的涡通量。
s J A
汤姆逊定理 在理想流体的涡量场中，如果质量力具有 单值的势函数，那么，沿由流体质点所组 成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。
圆柱坐标系的纳维—斯托克斯方程:
Fr .F . Fz.r. .z.ur .u .u z
例7-7:利用N-S方程求圆管层流运动流速分布.
解：由于流动轴对称,采用柱坐标系如图，已知：
u z u(r , , z ), u ur 0
1 p u z 1 u z 1 u z u z Fz ( 2 2 2 ) 2 z r r r r z u z u z u u z u z ur uz t r r z
A
A
n
有旋运动的一个重要运动学性 质是：在同一瞬间，通过同一 涡管的各截面的涡通量相等。
A2
A3 A1
A1
n dA n dA
A2
1 A1 2 A2 对于微元涡管，可以近似认为各截 面上各点的涡量为常数，因此： 1 A1 2 A2
由于流体的旋转角速度不可能为无穷大,所 以涡管截面 不可能收缩为零,即涡管不可能在 流体内部开始或终止,而只能在流体中自行封 闭成涡环,或者终止于和开始于边界面。
《高等流体力学》第7章 粘性流体力学基础
1 v2 ∂v + ∇ + Ω × v= f + ∇ ⋅ P ∂t ρ 2
2 P = − pδ + τ = − p + µ∇ ⋅ v δ + 2 µε 3
v2 1 1 ∂v 1 2 + ∇ + Ω × v= f − ∇p − ∇( µ∇ ⋅ v ) + ∇ ⋅ (2 µε ) ∂t ρ ρ 3 ρ 2
对初始条件的极度敏感性目前只解决了低维系统中的几种转捩方式而湍流场是时间与空间的函数对于每一空间点可看成一维混沌所以湍流是无穷维混沌现有的低维系统理论只能对湍流作定性描述说明湍流是ns方程内在特性的表现从理论上证明了ns方程对湍流的适用性
第七章 粘性流体力学基础
主 讲：刘全忠 单 位：能源科学与工程学院 流体机械及工程研究所 Email：liuquanzhong@
Lamb型方程变为
对上式两边取旋度，得到
整理后得到
这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流 体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守 恒的根源。在这三者中，最常见的是粘性作用。
1 2 1 ∂Ω 1 + ∇ × (Ω × v ) = ∇ × f − ∇ × ( ∇p ) − ∇ × ∇( µ∇ ⋅ v ) + ∇ × ∇ ⋅ (2 µε ) ρ ∂t ρ 3 ρ
λδ ijδ kl + µ (δ ik δ jl + δ ilδ jk ) ε kl τ ij = Cijkl ε kl = = λδ ij ε kk + µ ( ε ij + ε ji = ) λδ ijε kk + 2µε ij
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以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有
u x ( x x, y y, z z, t ) u x ( x, y, z, t ) u x u u x x y x z x y z
1 u y y , 将上式分别加、减下列两项 2 x
1 u z z 2 x
i 2 u rotu x ux j k y z u y uz
表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2倍。并由涡量是否为 零，定义无旋流动与有旋运动。
4、变形率矩阵（或变形率张量，或应变率张量）
在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引起的， 其中 称为变形率矩阵，或变形率张量。该项与流体微团 的粘性应力存在直接关系。
写成矢量形式： u (M1 ) u (M0 ) r r 其中，第一项表示微团的平动速度， 第二项表示微团转动引起的， 第三项表示微团变形（线变形和角变形）引起的。
定义如下：
流体微团平动速度：ux ( x, y, z, t ),u y ( x, y, z, t ),uz ( x, y, z, t )
u y u x u z xx , yy , zz 流体微团线变形速度： x y z
流体微团角变形速度（剪切变形速度）：
1 u y u x 1 u z u x 1 u z u y xy , xz , yz 2 x y 2 x z 2 y z
流体微团旋转角速度：
y y x x z z , , x y z 2 x y 2 z x 2 x y
1 u
u
1 u
u
1 u
u
3、有旋运动与无旋运动
流体质点的涡量定义为
对于y,z方向的速度分量，也可得到
u y ( x x, y y, z z , t ) u y ( x, y, z , t ) u y x y z u y ( x, y, z, t ) ( z x x z ) xy x yy y zy z x u y y u y z
定义，流体微团的变形率矩阵为
xx xy xz yx yy yz zx zy zz
u x 如果令： xx x
1 u y u x 1 u z u x xy , xz 2 x y 2 x z
1 u y u x 1 u x u z z , y 2 z x 2 x y
平动
转动
线变形
角变形
2、速度分解定理
德国物理学家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的 流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设 在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。
u x ( x, y, z, t ) 在 M 0 ( x, y, z) 速度为 u y ( x, y, z, t ) u z ( x, y, z, t )
第7章 不可压缩粘性流体的流动
流体微团的运动形式与速度分解定理 粘性流体的应力状态 广义牛顿内摩擦定理（本构关系）
Navier-Stokes方程
主要讨论层流问题
边界层理论
基本形式
流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动） 与变形运动（线变形和角变形运动）。
得到： u x ( x x, y y, z z, t )
u x 1 u y u x 1 u z u x u x ( x, y , z , t ) x y z x 2 x y 2 x z 1 u y u x 1 u x u z - y z 2 x y 2 z x
综合起来，有：
u x ( x x, y y, z z, t ) u x 1 u y u x 1 u z u x u x ( x, y , z , t ) x y z x 2 x y 2 x z 1 u y u x 1 u x u z - y z 2 x y 2 z x u x ( x, y, z, t ) ( y z z y ) xx x xy y xz z
u z u z u z u z ( x x, y y, z z, t ) u z ( x, y, z , t ) x y z x y z u z ( x, y, z, t ) ( x y y x) xz x yz y zz z
在 M1 ( x x, y y, z z, t ) 点处，速度为
u x ( x x, y y, z z , t ) u y ( x x, y y, z z , t ) u z ( x x, y y, z z , t )