第二章组合变形.

第十一章组合变形2.5 组合变形一、教学目标1、掌握组合变形的概念。

2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。

3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。

4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。

二、教学内容1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。

2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。

3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。

4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。

5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。

6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。

7、简单介绍截面核心的概念和计算。

三、重点难点重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。

难点：1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）；偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。

2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。

四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

五、学时:2学时六、讲课提纲(一)斜弯曲斜弯曲梁的变形计算仍以矩形截面的悬臂梁为例：图11-5(a) (b)1、解题思路及计算公式将p F 力分解为两个在形心主惯性平面的分力py F 和pz F 后（见图11-5，b ），分别计算梁在平面弯曲下自由端处的挠度y ω和z ω：z p z py y EI l F EI l F 3cos 333ϕω==┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoy 平面内的挠度 y p y pz z EI l F EI l F 3sin 333ϕω==┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoz 平面内的挠度2、总挠度及其方位 自由端B 点的总挠度ω是上述两个挠度的几何和，即 ⑴总挠度值计算：22z y ωωω+=⑵总挠度方位计算，即总挠度与y 轴的夹角β的计算。

将z 轴方向的挠度除以y 轴方向的挠度，即可得： ϕϕϕϕϕωωβtg I I I I EI l F EI l F tg yz y z zp y p y z ⋅====cos sin 3cos 3sin 33(a) ⑶确定总挠度方位：∵ϕcos M M z = ϕs i nM M y = 代入⑶式，即 ϕϕϕαtg I I M M I I z y tg yz y z o o ⋅=⋅==cos sin (b) 比较(a)、(b)两式，可见：中性轴与z 轴的夹角α=总挠度与y 轴的夹角β。

即：斜弯曲时，总挠度ω发生垂直于中性轴的平面内。

在前面已经分析过，在一般情况下，梁的两个形心主惯性矩并不相等，即y z I I ≠则ϕβ≠，说明斜弯曲梁的变形（挠曲平面）不发生在外力作用平面内。

如果y z I I =，则ϕβ=，即为平面弯曲，例如正方形、圆形等截面。

3、刚度条件 l l ωω≤例题11-1 跨度为l =3m 的矩形截面木桁条，受均布荷载q=800N/m 作用，木桁条的容许应力[σ]=12MPa.容许挠度l ω=2001，材料的弹性模量E =MPa 1093⨯,试选择木桁条的截面尺寸，并作刚度校核。

解：⑴先将q 分解为mN q q mN q q z y /2.355'3426sin 800sin /8.716'3426cos 800cos =⨯===⨯==ϕϕ ⑵求mN lq M mN l q M z y y z ⋅=⨯==⋅=⨯==6.3998/32.35584.8068/38.716822max 22max ⑶设截面的高宽比为5.1=b h。

则根据强度条件622max maxmax 10126/6.3996/4.806⨯≤+=+=hb bh W M W M yy z z σ 解得,101275.3723663⨯≤b 36101275.37236b ≤⨯⨯⎩⎨⎧⨯=⨯⨯=⨯=---m h mb 2221016.81044.55.11044.5取b=60mm ，h=90mm⑷校核刚度4833105.3641209.006.012m bh I z -⨯=⨯==4833101621206.009.012m bh I y -⨯=⨯==mm m y 23023.0105.36410938438.7165894==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-ωmm m z 26026.01016210938432.3555894==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-ω 梁跨中的总挠度mm z y 7.3426232222=+=+=ωωω20012004.21002.130007.34 ===l ω刚度条件不满足，必须增大截面尺寸，然后再校核刚度。

若b=80mm ，h=120mm4831011521212.008.0m I z -⨯=⨯=483105121208.012.0m I y -⨯=⨯=mm y 29.710115210938438.7165894=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-ωmm z 13.81051210938432.3555894=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-ωmm 9.1013.829.722=+=ω200120072.010036.030007.34≤===l ω满足刚度条件，截面尺寸应取b=80mm ，h=120mm(二)拉伸（压缩）与弯曲的组合变形结构受力情况如图所示：图11-8梁AB上除作用横向力外，还有轴向拉（压）力，则杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。

1、内力分析图11-92、应力分析：杆件内有轴力FN、弯矩M产生正应力图11-103、强度条件][max max σσ≤+=ZN W M A F 4、纵横弯曲的概念图11-11⑴何谓纵横弯曲？ p F 、1p F 共同作用，1p F 在p F 作用下产生的ω上引起的梁的附加弯矩=1M ω1p F ，这个附加弯矩1M 又反过来增大梁的挠度，这时的杆件变形已不是荷载的线性函数。

像这类变形通常称为纵横弯曲。

⑵分两种情况讨论：EI 较大，ω与截面尺寸比较显得很小，可不考虑附加弯矩的影响，用叠加法计算横截面上的应力。

EI 较小,ω较大，附加弯矩的影响不可能不考虑，内力与荷载不是线性函数关系。

(三)偏心压缩1、偏心压缩的概念轴向压缩 单向偏心压缩 双向偏心压缩图11-122、外力的简化与分解图11-133、内力⎪⎭⎪⎬⎫⋅==⋅===z p y y y p z z p N e F m M e F m M F F ∴偏心压缩=轴向压缩+弯曲（FQ =0）4、应力计算⑴单向偏心压缩时的应力计算图11-14 结论：距荷载Fp较近的边缘总是压应力。

⑵双向偏心压缩时的应力计算图11-15任意点（E ）处的应力计算)1(zy y z p z y p y zp p z y y yNI ye A I z e A A F yI e F z I e F A F y I M z I M A F ⋅⋅+⋅⋅+-=⋅⋅-⋅⋅--=⋅-⋅--=σ ∵A I i y y = , A I i zz =∴ 上式可写成)1(22zy y z p i ye i ze A F ⋅+⋅+-=σ──────任意点（E ）处的应力计算式5、中性轴⑴中性轴方程由 0)1(22=⋅+⋅+-=zy y z pi yei z e A F σ得中性轴方程0122=⋅+⋅+zo y y o z i y e i z e （直线方程）式中：o z ，o y 代表中性轴上任一点的坐标。

z e ，y e 代表偏心力Fp 的作用点位置（坐标）。

注意；形心0==o o z y 不能满足中性轴方程，即中性轴不通过形心。

由此可见，中性轴的特征之一：中性轴是一条不通过形心的直线。

⑵中性轴位置的确定方法是通过计算中性轴在坐标轴上的截距z a ，y a 来确定；根据中性轴方程： 当yzo y o zyo z o e i y a o z e i z a y 220-===-===时，时，图11-16由此得到中性轴截距计算式 yz y z y z e i a e i a 22-=-=注意：截距yza a 与偏心距恒相反。

可见，中性轴的特征之二：中性轴与偏心压力Fp 的作用点(ey , ez )分别居于截面2侧。