几个重要不等式及其应用

几个重要不等式及其应用

一、几个重要不等式

以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。 1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式

设12,,

,n a a a 是非负实数，则

12

n

n a a a n

++

+≥

2、柯西（Cauchy ）不等式

设,(1,2,

)i i a b R i n ∈=，则2

22111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫

≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使

,1,2,

,.i i b a i n λ==

变形（Ⅰ）：设+

∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫

⎝⎛≥n

i i

n i i n

i i

i b a b a 1

2

112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,

,.i i b a i n λ==

变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i i

i n i i n

i i

i b a a b a 1

2

11。等号成立当且仅当n

b b b === 21

3．排序不等式

设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则

n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当

n a a a === 21或n b b b === 21。（用调整法证明）.

4．琴生（Jensen ）不等式

若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *

()n N ∈有

()()()12121

(

).n

n x x x f f x f x f x n

n ++

+≤

+++⎡⎤⎣

⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。

（用归纳法证明）

二、进一步的结论

运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到

的效果。

1. 幂均值不等式

设0>>βα，),,2,1(n i R a i =∈+

，则

ββ

β

β

β

αα

α

ααM n a a a n a a a M n

n

=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+++≥⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+++=1

211

21 。

证：作变量代换，令i i x a =β

，则β1

i i x a =，则

βα

β

αβαβαβα⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+++⇔≥n x x x x x x n M M n n 21211① 0>>βα ，1>∴βα，又函数)1()(>=p x x f p 是()+∞,0上的凸函数，由Jensen 不等式知①式成立。

2.（切比雪夫不等式）

设两个实数组n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,，则

()()n n n

i i

n i i n n n b a b a b a n

n

b

n

a b a b a b a n

+++≤

⋅

≤+++∑∑==- 22111

1

11211

1

等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。 证：由排序不等式有：

n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++- 221122111121， n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++- 2211132211121，

……………………………………………………………………………

n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++-- 221111211121

以上n 个等式相加即得。 3. 一个基础关系式

y x y x )1(1αααα-+≤-，其中]1,0[,0,∈>αy x

证：若x,y 中有一个为0，则显然成立。

设x,y 均不为零，则原不等式ααα

-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔1y x y x ，令t y x =，则上式)1(ααα

-+≤⇔t t ，记αααt t t f --+=)1()(，则1)(--='αααt t f ，因此，当1>t 时，0)(>'t f ，当10≤

且0)1(='f ，所以)(t f 得极小值为0)1(=f ,故0)1(≥--+α

ααt t ，即y x y

x )1(1ααα

α

-+≤-.

4. Holder 不等式

设1,),,2,1(0,≥=≥q p n k b a k k 且

11

1=+q

p ，则 q

n

k q k p

n k p k n k k k b a b a 11111⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===

等号成立当且仅当存在R t ∈使得),,2,1(n k tb a q

k p k ==。