简单的线性规划问题(附答案)

简单的线性规划问题

［学习目标］1•了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基

本概念2了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.

rjaiiRjsa 自圭学习

知识点一线性规划中的基本概念

知识点二线性规划问题

i•目标函数的最值

线性目标函数z= ax+ by （b丰0）对应的斜截式直线方程是y= —a x + f，在y轴上的截距是f,

b b b 当z变化时，方程表示一组互相平行的直线.

当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值:

当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值.

2．解决简单线性规划问题的一般步骤

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，

(1) 画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．

(2) 移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点

(或边界)便是最优解．

(3) 求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．

(4) 答：写出答案．

知识点三简单线性规划问题的实际应用

1．线性规划的实际问题的类型

(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；

(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．

常见问题有：

①物资调动问题

例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？

②产品安排问题

例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？

③下料问题

例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？

2．解答线性规划实际应用题的步骤

(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法.

⑵模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解.

⑶模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案.

歹题型探究車息突破.

题型一求线性目标函数的最值

y w 2,

例1已知变量x, y满足约束条件x+ y> 1, 则z= 3x+ y的最大值为()

x—y<1,

A. 12 B . 11

C. 3

D. —1

答案B

解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点

的坐标，代入即可•如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y=-3x + z经

y = 2，x= 3，

过点A时，z取得最大值.由？此时z= 3x+ y = 11.

x —y=1 y= 2，

x + y—2 w 0，

跟踪训练1 (1)x,y满足约束条件x—2y—2w 0，若z= y—ax取得最大值的最优解不唯一

2x—y+ 2> 0，

则实数a的值为()

1 1

A・2或一1 B • 2或2

C • 2 或1

D • 2 或—1

x—y+1w0,

(2)若变量x, y满足约束条件x + 2y—8w 0, 则z= 3x+ y的最小值为

x> 0,

答案(1)D (2)1

解析(1)如图，由y= ax+ z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，

故当a>0时，要使z= y—ax取得最大值的最优解不唯一，则a= 2;

当a<0时，要使z= y—ax取得最大值的最优解不唯一，则 a =—1.

—3x+ z过点(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z= 3x+ y,即

(0,1)时z取最小值1.

题型二非线性目标函数的最值问题

x—y —2< 0,

例2设实数x, y满足约束条件x+ 2y—4> 0, 求

2y—3< 0,

(1)x2+ y2的最小值；

解 如图，画出不等式组表示的平面区域 ABC ,

(1)令u = x 2 + y 2,其几何意义是可行域

ABC 内任一点(x , y)与原点的距离的平方.

过原点向直线x + 2y -4 = 0作垂线y = 2x ,则垂足为X +

— 4 — °，

y = 2x

x + 2y — 4= 0, 又由

2y — 3 = 0,

所以垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为

,13 _2-

所以，x 2 + y2的最小值为乎.

⑵令v = y ,其几何意义是可行域 ABC 内任一点(x , y)与原点相连的直线I 的斜率为v ，即v x y — 0 = .由图形可知，当直线I 经过可行域内点 C 时，v 最大， x — 0 由(1)知 C 1, 3 ,

所以V max = £所以丫的最大值为|.

2 x

2

x > 0,

跟踪训练2 已知x , y 满足约束条件 y 》0,

x + y > 1,

4 8 的解，即5，8 ,

则(x + 3)2+ y 2的最小值为

|0C| =