02--第二章函数
高中数学第二章函数2.2.3待定系数法课件新人教B版必修1
(C)y=-x-1 (D)y=-x+1
解析:可将点
P、Q
坐标代入验证,也可由
2 3k b, 2 k b,
解得
k b
1, 1.
3.(2018·北京通州期中)已知函数f(x)=x2+bx+c的图象的对称轴是x=1,并且 经过点A(3,0),则f(-1)等于( C ) (A)6 (B)2 (C)0 (D)-4
思路点拨:表示点 B,D 坐标→代入抛物线方程求解析式→求 D 点坐标→求时间
解:(1)由题意,设抛物线的解析式为 y=ax2(a<0), 点 D 的坐标为(5,y),点 B 的坐标为(10,y-3), 又 D,B 在抛物线 y=ax2 上,
所以有
y y
25a, 3 100a,
变式训练4-:如图所示,有一条双向公路隧道,其横断面由抛物线和矩形 ABCO的三边组成,隧道的最大高度为4.9 m,AB=10 m,BC=2.4 m.现把隧道的 横断面放在平面直角坐标系中,若有一辆装有集装箱的高为4 m,宽为2 m的 汽车要通过隧道.问:如果不考虑其他因素,汽车的右侧离隧道右壁多少才 不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部,AO,BC为壁)?
即(x-5)2=9.解得 x1=8,x2=2. 显然 x2=2 不合题意,舍去.所以 x=8. OC-x=10-8=2. 故汽车应离开右壁至少 2 m,才不至于碰到隧道顶部.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
解析:f(x)=x2+bx+c,对称轴为 x= b =- b =1,得 b=-2, 21 2
简单幂函数的图形和性质课件高一上学期数学北师大版
02 课 中 学 习 合 作 探 究
评价 二
课堂评价2：(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同
一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c
答案 (1)B (2)C
02 课 中 学 习 合 作 探 究
(1)y＝x；(2) ；(3)y＝x2； (4)y＝x－1；(5)y＝x3 的图像．
定义域 值域
单调性
y＝x
y＝x2
y＝x3
Hale Waihona Puke 1y x2y＝x－1
01 课 前 预 习 发 现 问 题
基础知识总结： 根据上表，可以归纳一般幂函数特征： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点(1,1)；
01 课 前 预 习 发 现 问 题
问题1： 幂函数的概念
思考 y＝x－1，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？ 答案 底数为x，指数为常数． 梳理 如果一个函数底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，
这样的函数称为幂函数．
01 课 前 预 习 发 现 问 题
问题2： 幂函数的图像与性质 思考 如图在同一坐标系内作出函数
(2)(i)若 f(x) 图像不经过坐标原点，直接写出函数 f(x) 的单调区间.
(ii)若 f(x) 图像经过坐标原点，解不等式 f (2 x) f (x).
写出今天学习内容的思维导图 完成本节对应的巩固训练（课代表收齐后上交）
写出今天学习内容的思维导图 完成本节对应的巩固训练（课代表收齐后上交）
02 课 中 学 习 合 作 探 究
第2章 第1节 函数的概念及其表示
(2)函数的性质主要考查函数奇偶性、单调性的应用以及函数的对称
性与周期性的综合问题.
第一节 函数的概念及其表示
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
高考命题规律把握
(3)函数的图象主要考察图象的识别问题. (4)指数、对数、幂函数常常考察代数值的大小比较、对数函数的性 质应用等问题. (5)函数的应用主要考察函数的零点问题、函数的建模问题等.
第一节 函数的概念及其表示
1
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
考点二 求函数的解析式 [典例 1] (1)已知 f 2x＋1＝lg x，求 f(x)的解析式． (2)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求 f(x) 的解析式． (3)已知函数 f(x)满足 f(－x)＋2f(x)＝2x，求 f(x)的解析式．
B．2201211，2908158 D．2201211，2908251
第一节 函数的概念及其表示
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
A [由抽象函数的定义域可知，
211≤2 018x≤985， 211≤2 021x≤985，
解得2201118≤x≤2908251，
所以所求函数的定义域为2201118，2908251.故选 A．]
x 满足的条件
f(x)≠0
f(x)＞0 f(x)有意义 f(x)≠π2＋kπ，k∈Z 各个函数定义域的交集 使实际问题有意义
第一节 函数的概念及其表示
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第9节函数模型及其应用课件
1
40
17.0
2
50
26.5
3
60
35.7
4
70
46.0
5
80
52.7
6
90
70.7
7
100
85.4
8
110
101.0
由图中数据得到如表的表格，根据表格中的数据，建立停车距
离与汽车速度的函数模型．可选择模型①：d＝av＋b；模型②：d＝
av2＋bv；模型③：d＝av＋
b v
；模型④：d＝av2＋
b v
当v＝120时，停车距离d的预测值为0.006 5×120＝118.02．
475×1202＋0.206
若选择模型③，则6100a0＋a＋6b10b＝ 00＝358.75，.4，
解得a＝0.999 687 5，
b＝－1456.875．
故d＝0.999 687 5v－1456v.875．
当v＝120时，停车距离d的预测值为0.999
10＝k＋b， 30＝10k＋b，
解得k＝
290，b＝790，所以y＝290x＋790．当x＝6时，y＝1990．
1．解决这类问题一般要根据题意构建函数模型，先建立函数模 型，再结合模型选图象，并结合五个幂函数的图象与性质来求解．
2．有些题目，如第3题，根据实际问题中两变量的变化特点， 结合图象的变化趋势，验证答案是否吻合，从中排除不符合实际的 情况，选择出符合实际情况的答案．
三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)＞g(x)＞h(x)
B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f(x)
D．f(x)＞h(x)＞g(x)
02 第二章 公共交通阻抗函数
第二章公共交通阻抗函数2.1 交通阻抗的概念传统交通规划由交通调查、交通预测、方案设计和方案评价组成，而交通预测又由四个阶段组成：出行发生预测、出行分布预测、交通方式划分以及交通量分配。
作为四阶段交通预测最后一步的交通量分配，是指将各分区之间的出行分布量分配到交通网络的各条边上去的过程，是网络设计的数据基础。
交通分配一直是交通规划诸问题中被国内外学者研究得最深入、取得研究成果最多的一个问题。
本文研究的重点也即在于公共交通网络的交通量分配和网络设计。
无论对于道路交通网络或公共交通网络，其交通量分配都是以交通阻抗函数为基础的。
现有的交通分配模型大致可以分为两类：均衡模型和非均衡模型。
所谓均衡模型是指基于1952年Wardrop提出的交通网络均衡原理的模型，否则为非均衡模型。
本文所讨论的交通分配和网络设计模型都是建立在该均衡原理基础上的。
Wardrop均衡原理的准确定义是：在交通网络达到均衡时，所有被利用的路径具有相等而且最小的阻抗，未被利用的路径与其具有相等或更大的阻抗。
也就是说交通网络用户总是试图选择阻抗最小的路径，从而造成路段上交通流量的变化，由于路段阻抗和流量有关，流量变化又导致阻抗改变，从而造成网络交通量的重新分布，最终达到一种平衡状态。
可见，交通阻抗函数是进行交通分配和网络设计的基础。
交通阻抗是指交通网络上路段或路径之间的运行距离、时间、费用、不舒适度等因素的综合；为简单起见，也可指其中某个因素。
本章借鉴城市道路网的相关理论，根据公共交通网络的交通特性，建立公共交通的阻抗函数。
2.2城市公共交通网络的阻抗对于城市公共交通网络，其路段上的阻抗包括：乘客乘车或换乘的步行时间、公交车的走行时间、乘客在途中的不舒适程度折算的时间价值，以及公交票价折算的时间价值；其节点阻抗包括乘客乘车前和换乘的等车时间和续乘停车时间组成。
由于阻抗是考虑了各种因素的综合作用，这里的阻抗是没有量纲的。
由于流量的分配取决于各线路之间阻抗的相对大小，因此阻抗无量纲并不会影响分配的进行[22]。
02-第2讲函数
y
3
[ 2] 1
0.5 1 0.5 [0.5] 1
2.7 3 0.3 [2.7] 3 3 3 0
[3] 3
3 3 0 [3] 3
。 2 。 1 。 3 2 1 。3 4 x O 1 2 。 1 。 2 。 3
第二节 函 数
一、函数的基本概念
二、函数的基本性质
三、基本初等函数 四、初等函数
一、函数的基本概念 定义4. 设数集 D R , 则称映射 D 上的函数 , 记为 定义域 自变量 为定义在
y f ( x) , x D
因变量 f ( D ) 称为值域 函数图形:
y y
C ( x , y ) y f (x) , x D D f (D)
定理
在关于坐标原点对称的区间 I 内有
定义的任何一个函数 f ( x )，均可表示为 区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和 的形式。
证明提示：令 f ( x) g ( x) h( x)，其中
g ( x)
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ，h( x) 。 2 2
求分段函数的反函数是： 先求出各段上函数的反函数， 然后综合起来，得出原分段函数的反函数。
例. 求
y
x2 , 1 x 0 ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域. 2 e x 1 , 1 x 2 y
2
解: 当 1 x 0 时, y x ( 0 , 1] , 则 x y , y ( 0 , 1] 当 0 x 1 时, y ln x ( , 0 ] , 则 x e , y ( , 0]
非初等函数举例: 符号函数
02第二章拉氏变换的数学方法
02第二章拉氏变换的数学方法拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析、通信工程等领域。
本文将介绍拉氏变换的数学方法，包括拉氏变换的定义、性质和常见的拉氏变换对列表。
一、拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时间域函数转换为频率域函数的数学工具。
对于一个连续时间函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中s是复变量，通常为一个复平面上的点。
拉氏变换可以将一个函数从时间域表示转换为频率域表示，提供了一种更便于分析和处理的数学工具。
二、拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，如线性性质、平移性质、尺度性质等。
下面简要介绍几个常用的性质：1.线性性质：如果f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意常数a和b，有a*f(t)+b*g(t)的拉氏变换为a*F(s)+b*G(s)。
2. 平移性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。
3. 尺度性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(at)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。
这些性质使得我们能够利用拉氏变换进行函数的变换和计算，简化了分析过程。
三、常见的拉氏变换对列表拉氏变换对列表是一些常见的函数及其在拉氏变换下的变换对。
常见的拉氏变换对列表如下：1.常数函数：L{1}=1/s2.单位阶跃函数：L{u(t)}=1/s3.单位冲激函数：L{δ(t)}=14. 指数函数：L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为实数5. 正弦函数：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)6. 余弦函数：L{cos(ωt)} = s/(s^2 + ω^2)7. 方波函数：L{rect(t/T)} = (T/s) * sin(Ts/2)8. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)，其中a为正数这些变换对可以通过拉氏变换的定义进行推导得到，可以用于解决各种信号与系统的分析和计算问题。
数学必修一第二章函数知识点
数学必修一第二章函数知识点
第二章函数知识点包括以下几点：
1. 函数的定义：函数是一种确定的关系，把一个数集的每一个元素都对应到另一个数集的唯一元素上。
函数可以用公式、图像或者表格来表示。
2. 自变量和因变量：函数中，自变量是输入的数值，通常用x表示；因变量是输出的数值，通常用y表示。
函数表示为y = f(x)。
3. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
4. 函数的图像：函数的图像是函数关系的几何反映，通常用平面直角坐标系或者极坐标系来表示。
5. 常见函数的类型：
- 线性函数：y = ax + b，其中a和b是常数，直线图像。
- 幂函数：y = x^n，其中n是正整数，曲线图像。
- 指数函数：y = a^x，其中a是大于0且不等于1的常数，曲线图像。
- 对数函数：y = log_a(x)，其中a是大于0且不等于1的常数，曲线图像。
- 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
6. 函数的性质：
- 奇偶性：如果对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
- 单调性：函数在某个区间上的函数值随着自变量的增加或减小而单调增加或减小。
- 周期性：如果函数存在一个正数T，对于任意x，有f(x+T) = f(x)，则函数具有周期T。
这些是数学必修一第二章函数的主要知识点，还有一些其他的概念和性质需要进一步学习和理解。
高中数学知识点函数(最全)
高中数学第二章-函数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．§02. 函数 知识要点一、本章知识网络结构：F:A B对数函数指数函数二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数反函数的定义 设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=（二）函数的性质 ⒈函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2,⑴若当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),则说f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性正确理解奇、偶函数的定义。
02--第二章《函数》(2)
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第二章《函数》一、选择题（共40题）1．（安徽卷）函数y =⎩⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的反函数是 A ．y =⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,2x x x x B ．y =⎩⎨⎧<-≥0,0,2x x x x C ．y =⎪⎩⎪⎨⎧<--≥0,0,2x x x xD ．y =⎩⎨⎧<--≥0,0,2x x x x解：有关分段函数的反函数的求法，选C 。
也可用特殊点排除法，原函数上有（1，2）和（-1，-1）两点，反函数上有（2，1）和（-1，-1），检验知C 。
2．（安徽卷）函数1()x y ex R +=∈的反函数是（ ）A ．1ln (0)y x x =+>B ．1ln (0)y x x =->C ．1ln (0)y x x =-->D ．1ln (0)y x x =-+> 解：由1x y e+=得：1ln ,x y +=即x=-1+lny ，所以1ln (0)y x x =-+>为所求，故选D 。
3．（北京卷）已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73（D ）1[,1)7解：依题意，有0<a <1且3a －1<0，解得0<a <13，又当x <1时，（3a －1）x ＋4a >7a －1，当x >1时，log a x <0，所以7a －1≥0解得x ≥17故选C4．（北京卷）已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是（A ）(1，+∞) （B ）(-∞,3) (C)[53，3) (D)(1,3)解：依题意，有a >1且3－a >0，解得1<a <3，又当x <1时，（3－a ）x －4a <3－5a ，当x ≥1时，log a x ≥0，所以3－5a ≤0解得a ≥35，所以1<a <3故选D 5．（北京卷）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有（A ）1()f x x=（B ）()||f x x = （C ）()2xf x =（D ）2()f x x =解：2112121212x x 111|||||x x x x x x |x x |－－＝＝－|12x x 12∈，（，）12x x ∴>1121x x ∴<1∴ 1211|x x －|<|x 1－x 2|故选A 6．（福建卷）函数y=㏒21-x x(x ﹥1)的反函数是 A.y =122-x x (x >0) B.y = 122-x x (x <0) C.y =x x 212- (x >0) D. .y =xx 212- (x <0)解：对于x>1，函数221log log (1)11x y x x ==+-->0，解得1211y x =--，1121y x =+-=221y y-，∴ 原函数的反函数是2(0)21x x y x =>-，选A. 7．（福建卷）函数(1)1xy x x =≠-+的反函数是 （A ）(1)1x y x x =≠+ （B ）(1)1x y x x =≠-（C ）1(0)x y x x -=≠ （D ）1(0)xy x x-=≠解：由函数(1)1x y x x =≠-+解得1y x y =+(y≠1)，∴ 原函数的反函数是(1)1xy x x =≠+. 8．（福建卷）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()l g .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()l g f x x =设644()()()555a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51()()22c f f ==<0，∴c a b <<，选D.9．（广东卷）函数2()lg(31)f x x =+的定义域是 A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞-解：由1311301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B.10．（广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.3 ,y x x R =-∈B. sin ,y x x R =∈C. ,y x x R =∈D. x 1() ,2y x R =∈ 解：B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A. 11．（广东卷）函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P （如图2所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A.4 B.3 C. 2 D.1 解：0)(=x f 的根是=x 2，故选C 12．（湖北卷）设2()lg 2x f x x +=-，则2()()2x f f x+的定义域为 A ．(4,0)(0,4)- B ．(4,1)(1,4)-- C ．(2,1)(1,2)-- D ．(4,2)(2,4)--解：f （x ）的定义域是（－2，2），故应有－2<2x <2且－2<2x<2解得－4<x <－1或1<x <4 故选B13．（湖北卷）关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解：关于x 的方程()011222=+---k x x 可化为()22211011x x k x x --+=≥≤（－）（或－）…（1） 或()222110x x k -+=＋（－）（－1<x <1）…………（2） ① 当k ＝－2时，方程（1）的解为2）无解，原方程恰有2个不同的实根② 当k ＝14时，方程（1）有两个不同的实根±22）有两个不同的实根±2，即原方程恰有4个不同的实根③ 当k ＝0时，方程（1）的解为－1，＋1，，方程（2）的解为x ＝0，原方程恰有5个不同的实根 ④ 当k ＝29时，方程（1）的解为，，方程（2）的解为方程恰有8个不同的实根)t选A14．（湖南卷）函数y =( )A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞) 解：函数2log 2-=x y 的定义域是2log 2x -≥0，解得x ≥4，选D.15．（湖南卷）函数x y 2log =的定义域是A ．(0,1］B . (0,+∞) C. (1,+∞) D . ［1,+∞) 解：函数x y 2log =的定义域是2log x ≥0，解得x ≥1，选D.16．（江西卷）若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12〕成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0 B. –2 C.-52 D.-3 解：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a2－若a 2－≥12，即a ≤－1时，则f （x ）在〔0，12〕上是减函数，应有f （12）≥0⇒－52≤x ≤－1 若a 2－≤0，即a ≥0时，则f （x ）在〔0，12〕上是增函数，应有f （0）＝1>0恒成立，故a ≥0若0≤a 2－≤12，即－1≤a ≤0，则应有f （a2－）＝222a a a 110424≥－＋＝－恒成立，故－1≤a ≤0综上，有－52≤a 故选C 17．（江西卷）某地一年的气温Q （t ）（单位：ºc ）与时间t （月份）之间的关系如图（1）示，已知该年的平均气温为10ºc ，令G （t ）表示时间段〔0,t 〕的平均气温，G （t ）与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）A10º BC解：结合平均数的定义用排除法求解A18．（江西卷）某地一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之间的关系如图（1）所示，令()C t 表示时间段[0]t ，内的温差（即时间段[0]t ，内最高温度与最低温度的差）．()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（ ）解：结合图象及函数的意义可得D 。
2第二章函数与极限(函数的定义)1
f
(x0 )
x0 x0
3 2
2）f (2a), f (b2 1) 解: f (2a) 2a 3
2a 2
f
(b2
1)
(b2 (b2
1) 1)
3 2
b2 b2
2 3
3） f [ f (1)], f [ f (x)]
解：f [ f (1)] f [ 1 3] f (4) 4 3 7
解得xx11
取其公共部分 x 1, x 1
所以定义域为[-1,1) ∪(1,+∞)
[B]. (3)y ln(x 3) (4) y lg 1 x 1 x
解 (3)要使函数有意义，必须有 x 3 0
解得 x 3
所以定义域为(-3,+∞)
(4)要使函数有意义,必须有 1 x 0 1 x
1 2
4 2 2
f[f
(x)]
f[ x3] x2
x3 3 x2 x3 2
2x 9. f (x) t 与g(x)
t2
相同,定义域和对应关系 都相同
▲函数的定义域
在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。 用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的 使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：
(1)在分式中，分母不能为零；
(2)在根式中，负数不能开偶次方根；
(3)在对数式中，真数必须大于零；
1
．
(x 1)(x 4)
(2) y x 1 1 x 1
解:(1)要使函数有意义，必须有分母 (x 1)(x 4) 0
x 1 0
即 x 4 0
x 1
x
4
所以定义域为(-∞,-4) ∪(-4,1)∪(1,+ ∞)
02第二章 函数、导数及其应用
第一节函数及其表示1.函数的概念及其表示(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2.分段函数及其应用了解简单的分段函数，并能简单应用．◆教材通关◆函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：列表法、图象法和解析式法．(5)分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[小题诊断]1.(2018·深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A.(－2,1) B ．[－2,1] C.(0,1)D ．(0,1]2.若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3.f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A.f (x )＝x 2－1与g (x )＝x －1·x ＋1 B.f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋x x 2＋1C.y ＝x 与y ＝(x )2D.f (x )＝x 2与g (x )＝3x 34.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x ＞0，则f [f (3)]＝( )A.43 B.23 C.－43D ．－35.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x ＜2，2x －2－1，x ≥2.若f (2－a )＝1，则f (a )＝( )A.－2 B ．－1 C.1D ．2◆ 易错通关 ◆1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.2.(2018·江南十校联考)已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.授课提示：对应学生用书第10页考点一 函数的定义域 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1.函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A.(－1,3)B.(－1,3]C.(－1,0)∪(0,3)D.(－1,0)∪(0,3]2.下列函数中，与函数y ＝13x的定义域相同的函数为( )A.y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC.y ＝x e xD ．y ＝sin xx3.(2018·铁岭模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－1，1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是________．函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式 (组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域.考点二 函数解析式的求法 互动探究 重点保分考点——师生共研[典例] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )； (3)已知f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )．[即时应用]1．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )的部分图象如图所示，则它的一个可能的解析式为( )A ．y ＝2xB ．y ＝4－4x ＋1C ．y ＝3x －5D ．y ＝3x2．(2018·定州模拟)下列函数中，满足f (x 2)＝[f (x )]2的是( ) A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝|x ＋1| C ．f (x )＝x 3 D ．f (x )＝e x3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.考点三 分段函数 多维探究 题点多变考点——多角探明[锁定考向] 高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小． 常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题．角度一 分段函数的函数求值问题1．(2018·湖南五市十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x ＞2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x ＜－2，则f (－2 017)＝( )A ．1B ．e C.1eD ．e 2分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.角度二 分段函数的自变量求值问题2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.分段函数的自变量求值问题要注意判断自变量与定义域的关系、常用分类讨论思想.角度三 分段函数与不等式问题3．(2018·泉州质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x ＜0.若a [f (a )－f (－a )]＞0，则实数a的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.[即时应用]1．(2018·安徽百校论坛联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin 5πx2，x ≤0，16－log 3x ，x ＞0，则f [f (33)]＝________.2．(2018·安阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1，x ≤0，x ，x ＞0，若f [f (x 0)]＝1，则x 0＝________.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是__________．考点四 函数的新定义问题 创新探究 交汇创新考点——突破疑难常见形式(1)讨论新函数的性质；(2)利用新函数进行运算；(3)判断新函数的图象；(4)利用新概念判断命题真假等．[典例] (2018·滨州月考)具有性质f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0＜x ＜1)，0 (x ＝1)，－1x (x ＞1)中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．只有①求解函数新定义问题的思路(1)理解定义：深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．(2)合理转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已知函数的复合函数等形式解决问题．(3)特值思想：如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题.[即时应用]1．已知定义域为D的函数y＝f(x)和常数c，若对∀ε＞0，∃x∈D使得0＜|f(x)－c|＜ε，则称函数y＝f(x)为“c敛函数”．给出下列函数：①f(x)＝x(x∈Z)；②f(x)＝2－x＋1(x∈Z)；③f(x)＝log2x；④f(x)＝1－x－1.则其中是“1敛函数”的序号是()A．①②B．③④C．①②③D．②③④2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”．设f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x－3在[a，b]上是“密切函数”，则它们的“密切区间”可以是() A．[1,4]B．[2,4]C．[2,3]D．[3,4]第二节 函数的单调性与最值1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．◆ 教材通关 ◆1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．[必记结论]对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解； (2)可导函数则可以利用导数解之． (3)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．[必记结论]求函数单调区间的2个注意点(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示． 2．函数的最值1．(2018·阜阳模拟)给定函数：①，②y ＝ (x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)3．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)4．(2018·厦门质检)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 5．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.6．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________．◆易错通关◆1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数．3．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，1f(x)等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏]1．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．考点一函数单调性的判断与单调区间的求法自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)2．设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x＋k∈D，且f(x＋k)＞f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝|x－a|－2a，若f(x)为R上的“2 014型增函数”，则实数a的取值范围是________．3．已知函数f(x)＝ln x＋mx2(m∈R)，求函数f(x)的单调区间．函数单调性的判断方法考点二 函数单调性的应用 多维探究 题点多变考点——多角探明[锁定考向] 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题某一问中．常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．角度一 求函数的值域或最值1．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0角度二 比较函数值或自变量大小2．已知a ＞b ＞0，则下列命题成立的是( ) A ．sin a ＞sin bB ．log 2a ＜log 2bD.⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b角度三 求解函数不等式3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，函数g (x )＝|f (x )|－1.若g (2－a 2)＞g (a )，则实数a的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)角度四 利用单调性求参数的取值范围4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＜0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14 B ．(1,2] C ．(1,3)D.⎝⎛⎭⎫12，1函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(4)求函数最值(四种常用方法)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.[即时应用]1．(2018·福州模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c2．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．第三节函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．◆教材通关◆1．函数的奇偶性[必记结论]1．函数奇偶性的几个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2．有关对称性的结论(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．2．函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[必记结论]定义式f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的x 是恒成立的．若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则函数f (x )的周期为T ＝|a －b |.若在定义域内满足f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a )＝1f (x )，f (x ＋a )＝－1f (x )(a >0)，则f (x )为周期函数，且T ＝2a 为它的一个周期．对称性与周期的关系：(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(2)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(3)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，4|a －b |是它的一个周期．[小题诊断]1．(2018·肇庆质检)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln(x 2＋1－x ) C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋12．(2018·石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |3．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C.54D ．34．函数f (x )＝x ＋1x ＋1，f (a )＝3，则f (－a )的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．25．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 6．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.◆ 易错通关 ◆1．判断函数的奇偶性时，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13 C.12D ．－122．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)考点一 函数奇偶性的判断 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝2x －12xB ．f (x )＝x 3sin xC ．f (x )＝2cos x ＋1D ．f (x )＝x 2＋2x2．判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，x 2－x ，x ＞0的奇偶性．判断函数奇偶性的方法考点二函数的周期性自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．函数f(x)＝lg|sin x|是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 015)＝________. 3．函数y ＝f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________．求函数周期的方法考点三 函数性质的综合应用 多维探究 题点多变考点——多角探明[锁定考向] 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．角度一 奇偶性的应用1．(2018·三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x ，则当x ＞0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x2．(2018·汕头模拟)若函数f (x )＝63e x a －b32ex (x ∈R )为奇函数，则ab ＝________.角度二 单调性与奇偶性结合3．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]角度三 周期性与奇偶性结合5．设函数f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，f (x －32)＝f (x ＋12)，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝( )A ．|x ＋4|B ．|2－x |C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|角度四 单调性、奇偶性与周期性结合6．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8] ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)， 则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a函数性质综合应用的注意点函数的周期性体现的是一种平移关系，奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．同时，函数的周期性和对称性有密切的关系．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[即时应用]已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2 016)＝()A．－2 B．－1C．0 D．2第四节 二次函数与幂函数1．掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间． 2．了解幂函数的概念．3．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y＝1x，的图象，了解它们的变化情况．◆ 教材通关 ◆1．五种常见幂函数的图象与性质R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．3．二次函数的图象和性质 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)a ＞0a ＜0图象定义域 R值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上递减， 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞ 上递增在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上递增， 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞ 上递减奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x ＝－b2a ；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a1．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则f (19)＝( )A.12 B.14 C ．2D ．42．(2018·宜昌模拟)函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C ．[－20，92]D ．(－20，92)3.幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．24．函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎡⎭⎫52，＋∞上是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－5] B ．(－∞，5] C ．[－5，＋∞)D ．[5，＋∞)5．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 6．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________.◆ 易错通关 ◆由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到．[小题纠偏]若(a ＋1)－2＞(3－2a )－2，则a 的取值范围是________．考点一 幂函数的图象与性质 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )2．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．33．(2018·西安模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫14，2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1＜x 2)是函数图象上任意不同的两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)＞x 2f (x 2)；②x 1f (x 1)＜x 2f (x 2)；③x 22f (x 1)＞x 21f (x 2)；④x 22f (x 1)＜x 21f (x 2)． 其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等． (2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解.考点二 二次函数图象与性质 互动探究 重点保分考点——师生共研[典例] 如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812二次函数性质应用的求解策略(1)先定性：当二次项系数含参数时，要分类讨论：二次项参数大于0，等于0，小于0. (2)再定量：根据分类，画出符合条件的草图，结合图象列式计算.[即时应用]1．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )＞f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，－2)B．(－2，0)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)考点三二次函数的最值问题变式探究母题变式考点——多练题型[典例]设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．[变式探究1]若将条件变为“y＝x2－ax，x∈[－2,2]”，问题不变．[变式探究2]1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．2．二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.[即时应用](2017·高考浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关第五节 指数与指数函数1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的定义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．◆ 教材通关 ◆1．根式的概念2.两个重要公式(1)na n ＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0)，n 为偶数；(2)(n a )n ＝a (注意a 必须使na 有意义)． [必记结论]在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．3．指数函数的图象与性质定义域：R[必记结论]1．画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2．底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．3．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点，向上(或向下)平移a 个单位后，图象都在直线y ＝a (或y ＝－a )的上方．[小题诊断]1．化简的结果是( )A ．－9B ．7C ．－10D ．92．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称3．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．c >a >b C ．a >b >c D ．b >a >c4．(2018·邯郸质检)已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )5．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m,3)，则f (0)＋f (－m )＝________.6．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．◆ 易错通关 ◆1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[小题纠偏]1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)． (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)分数指数幂a m n 可以理解为mn 个a 相乘．( )(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )2．若函数y ＝(a －1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．考点一 指数幂的运算 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1．求值：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×－(0.01)0.5.2．化简：3．化简：指数幂运算的4个原则(1)有括号的先算括号里面的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.考点二 指数函数的图象及应用 互动探究 重点保分考点——师生共研[典例] (1)函数y ＝a x －1a(a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．与指数函数有关的图象问题的求解方法1．已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．2．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到，特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 3．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.[即时应用]1．(2018·唐山模拟)当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x (a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎭⎫12，1∪(]1，2 C.⎣⎡⎦⎤14，2D.⎣⎡⎦⎤14，22．若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．考点三 指数函数的性质及应用 多维探究 题点多变考点——多角探明[锁定考向] 高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)与指数函数有关的函数值域问题；(3)探究指数型函数的性质．角度一 比较指数式的大小1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5＞1.73 B ．0.6－1＞0.62 C ．0.8－0.1＞1.250.2D ．1.70.3＜0.93.1比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．角度二 与指数函数有关的函数值域问题2．已知0≤x ≤2，则的最大值为________．形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三 探究指数函数性质的问题3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]4．已知函数f (x)＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．[即时应用]1．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝⎛⎭⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a2．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为13．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f (x )＝a x －a －x (x ∈R ，a >0，a ≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________(只需写出所有真命题的编号)．①函数f (x )的图象关于原点对称； ②函数f (x )在R 上不具有单调性； ③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称；。
02-第二章 序列的Z变换与傅里叶变换
根据级数理论，式(2.1)收敛 的充分必要条件是满足绝对 可和条件，即
n
| x(n)z
n
|＜
根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域
收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞
收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域
10
2.2.2 几种序列的Z变换及其收敛域
显然，级数X(z) 收敛。
讨论：级数X(z)中没有负幂项， |z|= 0时级数收敛，因此收敛域 包括0点，即为 0 ≤ |z| ＜ Rx+
18
左边序列（非因果）的收敛域
当n2＞0时，序列为非因果序列
X ( z)
n n | x ( n ) z | n2 n n n | x ( n ) z | | x ( n ) z | n 0 1 n2
例：长除法--X(z) 升幂排列
例2.7 求
3z 1 X ( z) (1 3z 1 )2
，|z|＜ 3的逆Z变换。
解：收敛域是圆内部，对应左边序列。当z=0时，X(z)趋 近于有限值0，说明收敛域包括0点，因此是逆因果序列。 把X(z)的分子分母按z的升幂排列
3z 1 X ( z ) 2 9 z 6 z 1 1
| ＜
14
右边序列（因果）的收敛域
假设：z是圆外任意一点，即|z|＞|z1|
当n1≥0时，序列为因果序列
n X ( z ) | x(n)z n | ＜ | x(n)z1 | ＜ n n1 n n1
显然，级数X(z) 收敛。
02第二章 解析函数积分
将 L 分割为 n 个弧段。 取 ζk ∈ zk−1zk ，作求和
n
∑ Sn = f (ζk ) ⋅ ∆zk , ∆zk = zk − zk−1 k =1
δ = max{| ∆ z1 |,| ∆ z2 |,...,| ∆ zn |}
∫ 定义
L
f
( z )d z
=
lim
n→∞
Sn
δ→0
ζ n−1
B zn
|z−a| = r
(连续性)
21
例1：计算
Q
=
∫C
dz z2 −1
，其中
C
为：
(1) 圆周 |z+2|=2； (2) 圆周 |z|=2
解：(1) 柯西积分公式的前提条件：
被积函数在围线内部只有一个奇点
∫ ∫ C
dz z2 −1
=
(z − 1)−1dz C z − (−1)
| z + 2 |= 2
= 2π i (z − 1)−1 |z=−1 = −π i
∫ ∫ F(z) ≡
∆
f (ζ ) dζ =
z
f (ζ ) dζ
(积分只依赖起点、终点)
Cz
z0
则 F(z) 在 D 内解析，且 F′(z) = f (z)
推论 (Newton-Leibniz 公式)：在单连通区域 D 内 解析函数 f(z) 存在原函数Ф(z) 。对A, B ∈ D，
∫B
f (z) dz = Φ(B) − Φ(A) 积分值可能与 D 有关！
(2) a 在 L 的内部区域 D ：
⋅a
γ
存在 a 的邻域 N2R (a) ⊆ D
取 γ为圆周 | z −a |= R
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第1节函数及其表示课件
常见函数类型的定义域 (1)分式中，分母不为 0． (2)偶次方根中，被开方数非负． (3)对于 y＝x0，要求 x≠0，负指数的底数不为 0． (4)抽象函数定义域要注意对应法则下的取值范围． (5)对数式中，真数大于 0．
考向 1 分段函数求值 x2－4，x>2，
(1)(2021·浙江卷)已知 a∈R，函数 f(x)＝|x－3|＋a，x≤2. 若 f(f( 6))＝3，则 a＝__________．
x2＋2x＋2，x≤0， (2)设函数 f(x)＝－x2，x>0. 若 f(f(a))＝2，则 a＝________．
AC 解析：对于 A，f(x)＝x2－2x－1 的定义域为 R，g(s)＝s2－ 2s－1 的定义域为 R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于 B，f(x)＝ －x3＝－x －x的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝x －x的 定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一函数；对于 C，f(x)＝xx＝ 1 的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝x10＝1 的定义域为{x|x≠0}，定义域相同， 对应关系也相同，是同一函数；对于 D，f(x)＝x 的定义域为 R，g(x) ＝ x2＝|x|的定义域为 R，对应关系不同，不是同一函数．故选 AC．
(√)
(5)函数 y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．
(×)
2．(2021·安阳模拟)设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．下 面的 4 个图形中，能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )
02_解析函数
导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么
df ( z ) u v v u i i dz x x y y
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v v 1 du , d
举例
dez z e dz
u u v v Ey , Ex Ex , Ey x y x y u v u v , C-R条件 x y y x 静电场的复势 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) v v E Ex iE y gradv i i F ( z ) x y
d 1 12 12 2 dz 2 2
d dz 1 d dz
dF ( ) dF d dz d dz
说明
反之则 不成立
如果函数 f(z)在区域 D内的每一点可导，则称f(z)在区域 D内可导
可导
连续
C-R条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定
根式函数
wn z
i arg z 2 k n
由于z的n次方根为wn n z n | z |e
(k 0,1,2,, n 1)
n
且辐角具有多值性，因此根值函数wn
z为n值函数
第四节 解析函数的应用——平 面场的复势
用复变函数刻画平面向量场
我们说某一个向量场是一个平面场，并不是指这个场中所有的向量都定 义在某一平面内，而是指所有的向量都平行于某一固定的平面，而且在 垂直于的任一条直线上所有的点处，向量的大小和方向都相同。这样， 向量场就可以用平面上的向量场来表示 。 如果我们用复数表示平面上的向量，那么场就惟一地确定了一个复变函 数
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第二章函数 1．（2006年福建卷）函数2log (1)1x y x x =>-的反函数是 （A ） （A ）2(0)21x x y x =>- （B ）2(0)21xx y x =<- （C ）21(0)2x x y x -=> （D ）21(0)2x x y x -=< 2．（2006年安徽卷）函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的反函数是（ ） A ．,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩ B ．2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩ C ．,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩ D ．2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩ 2．解：有关分段函数的反函数的求法，选C 。
3．（2006年安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。
3．解：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。
4．（2006年广东卷）函数)13lg(13)(2++-=x x x x f 的定义域是A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞ 4．解：由13101301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B. 5．（2006年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x x y ∈=,)21( 5、B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.7．（2006年广东卷）函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=的图象与y 轴交于点)2,0(P (如图2所示)，则方程0)(=x f 的根是=x A. 4 B. 3 C. 2 D.17．0)(=x f 的根是=x 2，故选C7．（2006年陕西卷）设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（ C ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）68．（2006年陕西卷）已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则 （A ）（A ）12()()f x f x > （B ）12()()f x f x <（C ）12()()f x f x = （D ）1()f x 与2()f x 的大小不能确定9．（2006年陕西卷）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（C ）（A ）7,6,1,4 （B ）6,4,1,7 （C ）4,6,1,7 （D ）1,6,4,710．( 2006年重庆卷)如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y =f (x )的图象是 ( D )题 （９）图11. （2006年上海春卷）方程1)12(log 3=-x 的解=x 2 .12. （2006年上海卷）函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f []8,5),5(31∈-x x . 13. （2006年上海春卷）已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f 4x x -- .14．（2006年全国卷II ）函数y ＝ln x －1(x ＞0)的反函数为 (B )（A ）y ＝e x ＋1(x ∈R ) （B ）y ＝e x －1(x ∈R )（C ）y ＝e x ＋1(x ＞1) (D )y ＝e x －1(x ＞1)15．（2006年全国卷II ）函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图像关于原点 对称，则f (x )的表达式为 (D )(A )f (x )＝1log 2x(x ＞0) (B )f (x )＝log 2(－x )(x ＜0) (C )f (x )＝－log 2x (x ＞0) (D )f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0)16．（2006年天津卷）已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ D ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[D ．]21,0(17. （2006年湖北卷）设()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 （B ） A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --17．解选B 。
由202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<。
故22,222 2.x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--。
故⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4 --。
18. （2006年湖北卷）关于x 的方程()011222=+---k x x ，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是 （B ）A. 0B. 1C. 2D. 318．解选B 。
本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令21x t -=(0)t ≥①，则方程化为20t t k -+=②，作出函数21y x =-的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0<t<1时方程①有4个根；（3）当t=1时，方程①有3个根。
故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即104k <<此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程21x t -=的解有8个，即原方程的解有8个；当14k =时，方程②有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个；故选B 。
19．（2006年全国卷I ）已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则A ．()22()xf x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()xf x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> 2．x e 的反函数是ln x ，所以()()2ln 2ln 2ln f x x x ==+。
选D 。
（1）（2006年江苏卷）已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1解：法一：由函数()sin ||f x x a =-是定义域为R 的奇函数，则()0sin0||||0f a a =-=-=， 即0a =，则a ＝0，选A法二：()()0f x f x -+=得：0a =，则a ＝0，选A点评：主要考查奇函数的定义和性质20．（2006年江西卷）某地一年的气温Q （t ）（单位：ºc ）与时间t （月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc ，令G （t ）表示时间段〔0,t 〕的平均气温，GA ）log 3（x ＋6）＋6〕〔f －1）＝f －1（m ）＋627 log 3（3＋6是R (A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -(C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数 【解析】A 中()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=，即函数()()()F x f x f x =-为偶函数，B 中()()()F x f x f x =-，()()()F x f x f x -=-此时()F x 与()F x -的关系不能确定，即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定，C 中()()()F x f x f x =--，()()()()F x f x f x F x -=--=-，即函数()()()F x f x f x =--为奇函数，D 中()()()F x f x f x =+-，()()()()F x f x f x F x -=-+=，即函数()()()F x f x f x =+-为偶函数，故选择答案D 。
【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。
23． （2006年辽宁卷）设○+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集【解析】A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 2=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。
【点评】本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。
24．（2006年辽宁卷）设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________ 【解析】1ln 2111(())(ln )222g g g e ===. 【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.25．（2006年北京卷）已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的10º C取值范围是 (C) （A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73（D ）1[,1)726．（2006年上海卷）若函数)(x f ＝x a （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a ＝ 1/2 ．27．（ 2006年浙江卷）已知0＜a ＜1，log 1m ＜log 1n ＜0，则 (A )(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n(C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜128.( 2006年湖南卷）函数2log 2y x =-的定义域是( D )A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞)29. ( 2006年湖南卷）“a=1”是“函数()||f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( A )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件30．(2006年山东卷）函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 (A)（A ） （B ） （C ） （D ）31． (2006年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 (B)(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 32．(2006年山东卷）设p ：x 2－x －20>0,q ：212--x x <0,则p 是q 的 (A) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件33．（2006年江苏卷）设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。