勾股定理题型总结

勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能

一、本章知识内容归纳

1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。 （1）重视勾股定理的叙述形式：

①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.

从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。 （2）定理的作用：

①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。

③作长为n 的线段。（利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。） 2、勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下：

①首先确定最大的边（如c ）

②验证2

2

b a +与2

c 是否具有相等关系：

若2

2

2

c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。 若2

2

2

c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。

补充知识：

当222c b a >+时，则是锐角三角形；当2

22c b a <+时，则是钝角三角形。

（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2

2

2

2

的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,122

2

++++n n n n n （1>n 的整数） ③

柏拉图发现的：1,1,222

+-n n n （1>n 的整数）

3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件：

勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。 （2）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可，不必专门训练.

二、本章解题技能归纳

1、直角三角形的性质与判定小结 （1）直角三角形的性质：

角的关系：直角三角形两锐角互余。

边的关系：直角三角形斜边大于直角边。直角三角形两直角边的平方和等于斜边

的平方。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。 双垂图：双垂图中的线段关系。 （2）直角三角形的判定：

①有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形。

③两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。 2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长

设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c ，由勾股定理知道：222c b a =+。变形得：222222,,b a c a c b b c a +=-=-=

，

因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。

3、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边 （1）含有30°的直角三角形的三边的比为：1：2:3。 （2）含有45°的直角三角形的三边的比为：2:1:1。

（3）等边三角形的边长为a ，则高为

23a ，面积为

2

4

3a 。 三、阅读与思考——“希波克拉底月牙形”

（1 如左图：∠C=90°，图中有阴影的三个半圆

的面积S1,S2,S3有什么关系？ 答：

（2）如图：∠C=90°，△ABC 的面积为20，在AB 的同侧，分别以AB,BC,AC 为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为

勾股定理知识技能和题型归纳（二）——题型

一、基础练习（要求熟练掌握）

1、在ΔABC 中，a ,b ,c 为三边长.

(1)当∠A =90°时，三边关系 . (2)当∠C =90°时，三边关系 .

(3)当2

2

2

b c a =+时， =90°.

2、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC=a,AC=b,AB=c . （1） 已知a =5,b =12,则c = ; （2） 已知b =6,c =10, 则a = （3） 已知a =2,c =5,则b = ；

（4） 已知a =15,b=20, 则△ABC 的周长= ； （5） 已知a =2, c =2.5, 则△ABC 的面积= ； （6） 已知a : c =3:5, a + c =32, 则b = ;

（7） 已知c =10, a : b =3:4, 则a = , b = ，斜边上的高= 。 3、已知△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =5， 求AB 的长。

4、在△ABC 中，∠C =90°，AB =20。

（1）若∠B=45°，求BC 、AC 。（2）若∠A =60°，求BC 、AC 。

5、求下列图中未知数x 、y 、z 的值：

x= ;

y= ; z = ;

b

a

二、与其它章节知识的联系

6、在△ABC 的三边 c b a ,,，且4

42222b a c b c a -=-，判断△ABC 的形状。

7、若△ABC 的三边c b a ,,满足条件c b a c b a 2624103382

22++=+++，判断 △ABC 的形状。

8、△ABC 的三边c b a ,,，满足c a b b a ,16121002

2

+=++边的长是

5

5

352-+

=-x x x 的解，求△ABC 中最大角的度数。

9、用本章学过的知识判断直线33+=x y 与33

1

+-=x y 的位置关系，说明理由。