2014年全国数学建模a题解析

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘要

嫦娥三号卫星着陆器实现了我国首次地外天体软着陆任务。要保证准确的在月球预定区域内实现软着陆轨道与控制策略的设计。

问题一运用活力公式[1]来建立速度模型，利用matlab软件代入数值计算出

。

所求速度33

⨯⨯

(=1.692210m/s,=1.613910m/s)

v v

远

近

采用轨道六根数[2]来建立近月点，远月点位置的模型。轨道根数是六个确定椭圆轨道的物理量，也是联系赤道直角坐标与轨道极坐标重要夹角的关系。通过着陆点的位置求出轨道根数各个值的数据，从而确定近月点，远月点的位置，坐标分别为(19.51W 27.88N 15KM),(160.49 27.885S 100KM)

E。

问题二“嫦娥三号”软着陆过程中需要经历6个不同的阶段,对于主减速阶段，在极坐标系下建立其运动方程。结合Pontryagin极大值原理[3]和哈密顿函数[4]，化简出燃料最省的软着陆轨道方程，得出最优控制变量的变化规律。对于其它各阶段，将其简化为加速度不同的线性运动模型，利用动能定理得出相应轨道方程和控制策略。

问题三对第二问中求出的“嫦娥三号”推力和速度切线方向夹角ϕ,给ϕ增加或减小一个角度ϕ,分别求出各个对应的近月点坐标'y。之后求各个坐标与其原始值之间的变化量'y并求其平均值'y，得到其敏感性因数，敏感性系数越大，说明该属性对模型的影响越大。

关键字：活力公式轨道六根数 Pontryagin极大值原理燃料最省

一、问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

对于误差因数分析,通过计算着陆轨道与策略的理论值与实际值之间的变化量,并求其平均值,得出平均值与实际值的比值,其中比值越大说明其误差越大,越不可行。

二、模型假设

1.月球可看做一质量均匀、形状标准的球体；

2.反向推力大小为常定值；

3.飞行器为一质点，不考虑飞行器的姿态对轨道的影响，也不考虑飞行器姿态；

4.忽略重力而只考虑空气阻力的作用；忽略地球曲率的影响，在在入轨道是直

线轨道；

5.不考虑地球等其他天体的影响；

三、符号说明

G------万有引力常量；

M------月球的质量；

F ------发动机的推力；

ϕ------推力的方向角，即推力和切向速度的夹角；

r ------嫦娥三号卫星的极半径；

θ------极角；

r

v ------径向速度； v θ------切向速度；

m ------ 任意时刻嫦娥三号卫星的质量； m ------发动机单位时间消耗的燃料质量；

0m ------嫦娥三号在着陆轨道上的质量。

四、模型的分析、建立与求解

4.1问题一的建立与求解

4.1.1近月点，远月点的速度

近月点，远月点均在椭圆轨道上，建立以月心为原点，椭圆轨道长半轴为x 轴，短半轴为y 轴的平面直角坐标系。运用活力公式建立速度模型并求解数值。

活力公式，又叫轨道能量.这个公式是二体问题的一个积分。是反映了天体的位置、速度和轨道半长径之间的相互关系。

平面运动的面积定律: 二体问题中作用于“嫦娥三号”卫星上的力总是指向地心，结果是轨道是是始终保持在固定平面上。因为力总是与位置矢量相反，没有垂直于轨道平面上的加速度，所以卫星不可能脱离轨道平面。卫星加速度∙∙r 可由牛顿万有引力得出：

3GM r ∙∙=-r r (1)

作为这一事实的数学描述，式（1）两边叉乘位置矢量r ，则

3+r GM ∙∙⨯=-r r r r （）=0 （2）

上面方程右边为0，因为一个矢量本身叉乘为0，方程左边可展开为 t d =+=d ∙∙∙∙∙∙

∙⨯⨯⨯⨯r r r r r r r r （） （3）