求极限的13种方法

求极限的13种方法（简叙）

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极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限 )1...()1)(1(22lim n

a a

a n +++∞→ ，其中1

解 因为)1...(

)1)(1(22n

a a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122n a a a a a

+++-- =)1...()1)(1(11222n a a a a

++-- =)1(1112+--n a a 当

∞→n 时，,21∞→+n 而1

→=

a -11 二、利用变量代换求极限

利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。

例2、求极限11lim 1--→n m x x x ，其中m,n 为正整数。

分析 这是含根式的（00

）型未定式，应先将其利用变量代换进行化

简，再进一步计算极限。

解 令11,1→→=t x x t mn

时，则当

原式=m n t t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限

利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1(

例3、求极限o x →lim x x 2csc )(cos

解 原式=o x →lim 21sin sin 2

1lim csc )1(cos 2202---==→e e e x x

x x x

四、利用夹逼准则求极限

利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。 例4、求极限∞→n lim n n

n ! 分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。

解 因为n n n n n n n n

n o n 1121!≤⋅-⋅⋅=≤Λ， 且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限，所以∞

→n lim n n n !=0 五、利用单调有界准则求极限

利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式