第三章傅里叶变换

t2 t1
g
2 i
(t
)dt
Ki
1
ci
t2 t1
f (t)gi (t)dt
2
1[ t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr 2 ]
r 1
第三章傅里叶变换
复变函数的正交特性
复变函数集{gr (t)}(r 1,2,..., n)满足
t2
t1
gi
(t
)
g
* j
(t
)dt
0
t2
t1
gi
(t ) gi* (t )dt
在区间(t0,t0 T1)内是完备正交函数集.
其中T1
2 1
, 在区间内满足
t0 T1
t0
e
jm1t
(e jn1t )* dt
T01
(m n) (m n)
第三章傅里叶变换
3.2 周期信号的傅里叶级数 分析
三角函数的傅里叶级数 指数函数的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系 傅里叶有限级数与最小方均误差
t1
gi2
(t)dt
Ki
则此函数集称为正交函数集.
第三章傅里叶变换
任意函数由n个正交的函数的线性组合近似 :
f (t) c1g1(t) c2 g2 (t) cn gn (t)
2
1n
t2 t1
t2
ct1r
[gfr((tt))
n
cr gr (t)]2 dt
r 1
由最小t2 1方rt11 均t1t2 [误f 2差(t)准 2则f (,t要) rn1求cr cgir满(t)足 (
Ki
(i j)在区间(t1,t2 )内
则此复变函数集为正交函数集.
第三章傅里叶变换
完备正交函数集
定义一 : 如果用正交函数集g1(t), g2 (t),...gn (t)
在(t1,t2 )近似表示函数f (t) cr gr (t) r 1
方均误差为 2 1 t2 t1
t2 t1
[
(1)在一周期内,信号是绝对可积的,即
| t0 T1 f (t)百度文库| dt 等于有限值. t0
(2)在一周期内,如果有间断点存在,则间断点的 数目应是有限个.
(3)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有
限个.
第三章傅里叶变换
指数函数的傅里叶级数
f (t) F (n1)e jn1t n
F (n1)
第三章傅里叶变换
本章要点: 1. 利用傅里叶级数和傅里叶级数的性质对周期信号的离散谱 进行分析 2. 利用傅里叶变换和傅里叶变换的性质对非周期信号的连续 谱进行分析 3. 利用卷积和卷积定理，进一步理解信号的时域和频域特性 间的内在关系 4. 灵活运用傅立叶变换的有关性质对信号进行正逆变换 5. 掌握抽样信号的傅里叶变换和抽样定理
第三章傅里叶变换
三角函数的傅里叶级数
f
(t )
a0
n1
(an
cos
n1t
bn
sin
n1t ), 1
2
T1
直流分量 :
a0
1 T1
t0 T1 f (t)dt
t0
余弦分量幅度
: an
2 T1
t0 T1 t0
f (t) cos n1tdt
正弦分量幅度
: bn
2 T1
t0 T1 t0
f (t) sin n1tdt
满足条件
t2 t1
x(t ) g i
(t)dt
0
(i为任意正整数)
则此函数集成为完备正交函数集.
第三章傅里叶变换
{1, cos1t, sin 1t, cos 21t, sin 21t,...,
cos n1t, sin n1t,......}
三角函数集在区间(t0 , t0 T1)内是完备正交
函数集.其中T1
在(t1,t2 )内正交的条件 :
t2 t1
f1(t) f2 (t)dt
0
例题:page326 6-1 6-2
第三章傅里叶变换
正交函数集
n个函数g1(t), g2 (t), gn (t)构成一函数集,
如在区间(t1,t2 )内满足正交特性,即
t2
t1
gi
(t ) g
j
(t)dt
0
(i j)
t2
误差 2在区间t1 t t2内为最小.
2 1
t2 t1
t2 t1
[
f1 (t )
c12
f2
(t )]2
dt
使 2最小的c12,
应有 d 2 dc12
0 c12
t2
f (t) t1 1 t2 2 f 第三章傅里t1叶变换2
f2 (t)dt (t)dt
正交条件
若c12 0,则f1(t)内不包含f2 (t)的分量, 称为正交.
Fn
1 T1
t0 T1 t0
r
n 1
cr
g
r
(t
))
2
]dt
ci
f t2
t1 t2
t1
(t)gi (t)dt gi2 (t)dt
1 Ki
t2 t1
f
(t)gi (t)dt
在最佳近似条件下给定项数的 2 :
2
1 [
t2 t1
t2 t1
f
n
2 (t)dt c 第三章傅里叶变换 r 2 Kr ]
r 1
归一化正交函数集：
2 1
, 在区间内满足
t0 T1 t0
cos
n1t
sin
m1tdt
0
t0 T1 t0
sin
n1t
sin
m1tdt
T1 2 0
(m n 0) (m n)
0
t0 t0
T1
cos
n1t
cos
m1tdt
第三章傅里叶变换
T1 2
T
(m n) (m n 0) (m n 0)
复指数函数集{e jn1t}(n 0,1,2,......)
f
(t)
n r 1
cr
gr
(t )]2
dt
1 [
t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr 2Kr ]
r 1
若令n趋于无限大,有 lim 2 0 n
则此函数集称为完第备三章正傅里叶交变换 函数集.
定义二 :
如果在正交函数集g1(t), g2 (t),..., gn (t)之外,
不存在有限能量函数x(t),即0 t2 x2 (t)dt t1
其中第三n章傅里叶1变,换2,....
周期信号的另一种三角 函数正交集表示
f (t) c0 cn cos(n1t 0 ) n1
f (t) d0 dn sin( n1t n ) n1
第三章傅里叶变换
狄利克雷(Dirichlet)条件
周期信号能够进行傅里叶级数展开的一组充分 条件：
第三章傅里叶变换
3.1 引言
信号的正交分解 完备正交集
第三章傅里叶变换
信号的正交函数分解
二维空间:矢量在直角坐标系中分解为两 个正交矢量的组合,每一个正交矢量都是 原矢量在正交坐标系上的投影.
第三章傅里叶变换
正交函数:在区间(t1<t<t2)内用函数f2(t) 近似表示f1(t).
f1(t) c12 f2 (t) (t1 t t2 ) 选取c12使得实际函数与近似函数之间的方均