充分必要条件导学案

§1.2.1 充分条件与必要条件

学习目标

1. 理解必要条件和充分条件的意义；

2. 能判断两个命题之间的关系. 学习过程 一、课前准备

复习1：请同学们画出四种命题的相互关系图.

复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.

二、新课导学

学习探究 ：充分条件和必要条件的概念 1. 命题“若22x a b >+，则2x ab >” （1）判断该命题的真假；

（2）改写成“若p ，则q ”的形式，则 P ： q ： （3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： 读着： 2. 命题“若0ab =,则0a =” （1）判断该命题的真假；

（2）改写成“若p ，则q ”的形式，则

P ： q ： （3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： 读着： 新知：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,

记作p q ⇒,并且说p 是q 的 ,q 是p 的 试试：用符号“⇒”与“”填空：

（1） 22x y = x y =； （2） 内错角相等 两直线平行； （3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数； （4） ac bc = a b =. 典型例题

例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若1x =，则2430x x -+=；

（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；

（3）若x 为无理数，则2x 为无理数.

练习：下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若5x >，则10x >

例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若x y =，则22x y =；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若a b >，则ac bc >

练习：下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若5a +是无理数，则a 是无理数； （2）若()()0x a x b --=，则x a =.

小结：判断命题的真假是解题的关键. 练一练：

练1. 判断下列命题的真假.

（1）2x =是2440x x -+=的必要条件；

（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件； （3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件； （4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.

练2. 下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：1x =，q ：11x x -=- （2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤；

（3）p ：2x =，q ：33x x --

（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.

三、总结提升 学习小结

这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？

知识拓展

设,A B 为两个集合,集合A B ⊆，那么x A ∈是x B ∈的 条件，x B ∈是x A ∈的 条件.

当堂检测

1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）. A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直

2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）. A.0x y += B.220x y +> C.0x y -= D.330x y +≠

3.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）.

A.存在一条直线,//,//a a a αβ

B.存在一条直线,,//a a a αβ⊂

C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂

D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂

4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.

5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的 条件.

6. 判断下列命题的真假 （1）“a b >”是“22a b >”的充分条件； （2）“||||a b >”是“22a b >”的必要条件.

7. 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q . (1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件? (2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?

§1.2.2 充要条件

学习目标

1. 理解充要条件的概念；

2. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.

?

复习2：p ：一个四边形是矩形q ：四边形的对角线相等.p 是q 的什么条件?

二、新课导学

学习探究：充要条件概念

问题：已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2 和3的倍数.那么p 是q 的什么条件? q 又是p 的什么条件?

新知：如果p q ⇔,那么p 与q 互为

练练：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p 是q 的什么条件？ （1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α平行； （2）若直线a 与平面α内两条直线垂直，则直线a 与平面α垂直.

反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题.

典型例题

例1 下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?

(1) p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数； (2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+

变式：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p 是q 的充要条件? (1) p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数； (2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+

小结：判断是否充要条件两种方法 （1）p q ⇒且q p ⇒；

（2）原命题、逆命题均为真命题； (3) 用逆否命题转化.

练习：在下列各题中, p 是q 的充要条件?

(1) p :234x x =+ , q

:x = (2) p : 30x -=, q :(3)(4)0x x --= (3) p : 240(0)b ac a -≥≠ , q :20(0)ax bx c a ++=≠ (4) p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根 q :0a b c ++=

例2 已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d .求证:d r =是直线l 与O 相切的充要条件.