欧拉方程的求解

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欧拉方程的求解

1.引言

在数学研究领域,我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕.但是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢?他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(Leonhard Euler,1707--1783).

几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字,譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”L L 欧拉还是许多数学符号的发明者,例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位L L

以欧拉命名的数学名词有很多,本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.

在文献[1]中,关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程,然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解,亦即求其形如K y x =的解,进而求得欧拉方程的解.

但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上,对欧拉方程进行了简单的分类,并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.

2.几类欧拉方程的求解

定义1 形状为

()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++=L (1)

的方程称为欧拉方程. (其中1a ,2a ,L ,1n a -,n a 为常数)

2.1二阶齐次欧拉方程的求解(求形如K y x =的解)

二阶齐次欧拉方程: 2120x y a xy a y '''++=. (2) (其中1a ,2a 为已知常数)

我们注意到,方程(2)的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数(分别是2x 、

1a x 和02a x ),且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质,我们用幂

函数K y x =来尝试,看能否选取适当的常数K ,使得K y x =满足方程(2). 对K y x =求一、二阶导数,并带入方程(2),得

212()0K K K K K x a Kx a x -++=

212[(1)]0K K a K a x +-+=,

消去K x ,有 212(1)0K a K a +-+=. (3)

定义2 以K 为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程(2)的特征方程.

由此可见,只要常数K 满足特征方程(3),则幂函数K y x =就是方程(2)的解.

于是,对于方程(2)的通解,我们有如下结论: 定理1 方程(2)的通解为

(i) 1112ln K K y c x c x x =+, (12K K =是方程(3)的相等的实根) (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程(3)的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.(1,2K i αβ=±是方程(3)的一对共轭复根)

(其中1c 、2c 为任意常数)

证明 (i )若特征方程(3)有两个相等的实根: 12K K =,则

1

1K x y =是方程(2)的解,

且设2()u x y =,11()K y x u x =(()u x 为待定函数)也是方程(2)的解(由于

2

1

()y u x y =,即1y ,2y 线性无关),将其带入方程(2),得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,

约去1K x ,并以u ''、u '、u 为准合并同类项,得

22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.

由于1K 是特征方程(3)的二重根, 因此

21112(1)0K a K a +-+=

112(1)0K a +-=,

于是,得

20x u ux '''+=

0xu u '''+=,

即 ()0xu ''=, 故 12()ln u x c x c =+. 不妨取()ln u x x =,可得方程(2)的另一个特解

12ln K y x x =,

所以,方程(2)的通解为

1112ln K K y c x c x x =+.

(其中1c ,2c 为任意常数)

(ii )若特征方程(3)有两个不等的实根: 12K K ≠,则

1

1K x y =,2

2K y x =是方程(2)的解.

又2

211()21K K K K y x x y x -==不是常数,即1y ,2y 是线性无关的. 所以,方程(2)的通解为

1

2

12K K x c x y c +=.

(其中1c ,2c 为任意常数)

(iii )若特征方程(3)有一对共轭复根:1,2K i αβ=±(0β≠),则

()1i x y αβ+=,()2i y x αβ-=是方程(2)的两个解,

利用欧拉公式,有

()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+, ()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,

显然,

12

cos(ln )2

y y x x αβ+=

12

sin(ln )2y y x x i

αβ-=

是方程(2)的两个线性无关的实函数解.

所以,方程(2)的通解为

12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.

(其中1c ,2c 为任意常数)

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