高等数学(下册)第八章：三重积分

其中v i表示第i个小闭区域, 也表示它的体积. ② 在每个 v i上任取一点 ( i ,i , i ), 作乘积 并作和 f ( , , )v ( i 1,2, n),③
i i i i
i 1
n
④ f ( i ,i , i )vi . 如当各小闭区域直径中的最大值
x yzdv 0

2 2 2 2 8 y y z d v z dv

3
8
三重积分
(4) 若 关于原点对称,
则 f ( x , y , z )dv

0 2 f ( x , y , z )dv
4
f为 x , y , z的奇函数
f为 x , y , z的偶函数
即

c2 f ( x , y , z )dv dz f ( x , y , z )dxdy c1 Dz c2 F ( z )dz c1
注 当被积函数仅与变量z有关, 且截面Dz易知时, 用上公式简便.
截面法的公式还有两个. 希自己推
20
三重积分
例 计算三重积分 zdxdydz ,其中为

D: x y 1 1 x 1 故： 1 x2 y 1 x2 x2 2 y2 z 2 x 2
2 2
z
O
x
y z 2 x2
I dx
1
1
1 x 2
2
1 x
dy
2 x 2
2 2
x 2 y
f ( x , y, z )dz
f ( x , y , z )dv f ( x , y , z )dxdydz

10
三重积分
思想是 直角坐标系中将三重积分化为三次积分
投影法 (先一后二法)
如图, 闭区域 在xOy
面上的投影为闭区域D,
S1 : z z1 ( x, y),
z
z2
z z2 ( x , y )
16
三重积分
例 求I
解
0 dx 0
1
1 x
dz
1 x z
0
(1 y )e
(1 y z )2
dy
z
1
e
y 2 的原函数不是初等函数,
x yz 1
一定要交换积分次序. 应先x对积分
I (1 y )dy
0 1
1
O
1
y

0
1 y
0
e
(1 y z ) 2
F ( x, y)
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
z2 ( x , y )
1
再计算 F ( x , y )在闭区间 D 上的二重积分
F ( x , y )d [ z ( x, y) D
D
f ( x , y , z )dz ]d

f是y的奇函数 关于 坐标面对称 xOz 关于 坐标面对称 xOz坐标面对称 , 的偶函数 f是y, 的奇函数 或 关于 xOy , f是z 1
而得结果为零.
1
6
三重积分
(2) 若域 关于两个坐标面 yOz , xOz都对称,
则 f ( x , y , z )dv

0 f 同为 x, y的奇函数 x , y 的偶函数 f 同为 f ( x , y , z ) d v 4 2 其中 2是 在第一,五卦限部分的区域. 例 设域为 x 2 y 2 z 2 a 2 ,
(2)对z [c1 , c2 ]用过z轴且平行xOy的平面去截 ,
得截面Dz ; (红色部分)
(3) 计算二重积分 f ( x , y , z )dxdy
Dz
c2
z

z
c1
o
Dz
其结果为z的函数F ( z ); c2 (4) 最后计算单积分 F ( z )dz .
c1
y
19
x
三重积分
3
三重积分
2. 三重积分存在性 在Ω上是可积的.
(existence)
当f ( x , y , z ) 的三重积分存在性时, 称f ( x , y, z )
连续函数一定可积 3. 三重积分的几何意义 设被积函数 f ( x , y , z ) 1, 则区域V 的体积为
V 1 dv
2
三重积分
趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为
函数 f ( x , y, z )在闭区域Ω上的三重积分. 记为
f ( x , y , z )dv Ω
0
即
f ( x , y , z )dv lim f ( , , Ω
i 1 i i
n
i
)v i
体积元素
解题时, 要依据具体的被积函数 f ( x , y , z )
和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.
14
三重积分
例 计算三重积分 I x 3 y 4 cos zdxdydz ,
V ( x , y , z ) 0 x 1, 0 y 1, 0 z . 2
三个坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
解 截面法(先二后一法)
zdxdydz zdz dxdy 0
Dz

z
1 x yz 1
Dz
1
Dz {( x , y ) | x y 1 z }
1 dxdy (1 z )(1 z ) 2 Dz 1 1 1 2 原式= 0 z (1 z ) dz . 2 24
2 2 2 x y z 提示 M a 2 b2 c 2 dv V 2 2 2 z x y 2 dv 2 dv 2 dv c b a V V V
23
三重积分
x2 y2 z2 解 因为 M a 2 b2 c 2 dv V 2 2 2 z y x 2 d v 2 dv 2 dv c b a V V V
其中 4 是 的关于原点对称的一半区域.
9
三重积分
二、三重积分的计算
1. 在直角坐标系下计算三重积分 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的 平面的来划分 , 则 vi x j yk zl .
( vi是小长方体). 故直角坐标系下的体积元素为
dv dxdydz
在直角坐标系下三重积分可表为
b a
y2 ( x )
y1 ( x )
dy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
注
这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多两点情形.
如何写出当D为Y–型闭域时, 三重积分
化为三次积分的公式
13
三重积分
同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影. 所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积 分(累次积分).
dz
0
1 y z
dx
x
(1 y )dy
0
1
1 y
e
(1 y z )2
(1 y z )dz
1 y 1 1 (1 y z )2 2 (1 y )dy e d[(1 y z ) ] 0 0 2 1 54

17
三重积分
先对z积分? xy 例 计算 dxdydz ,其中V为锥面z 2 x 2 y 2 z V 与平面z 1所围成的区域 在第一卦限内的部分 .
z z2 y2 1 dz ydy xdx 0 0 z 7 1 z 1 1 y 2 dz [ z y 2 ]dy 0 z 2dz 8 z 02

O
y
18
x
三重积分
截面法(先二后一法)
截面法的一般步骤
(1) 把积分区域向某轴 (如z轴) 投影, 得投影区间 [c1 , c2 ];
解 由于V是长方体, 三次积分的上、下限 z 都是常数, 故
I
其中V是长方体
V
0
1
x dx y dy 2 cos zdz
3
1

4
0
0
1 1 1 1 4 5 20
O
y
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x
三重积分
例 化三重积分 I f ( x , y , z )dxdydz 为三次积分,
其中积分区域为由曲面 z x 2 2 y 2 及z 2 x 2 所围成的闭区域. z x2 2 y2 解 由 得交线投影区域 2 2 2 z 2 x z x 2 y
1
O
1
y
x
21
三重积分
计算三重积分 zdxdydz ,其中为
三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域.
投影法(先一后二法)
z
1 y z

1 x yz 1
zdxdydz d 0 D
yz
zdx
1
O
zdz
zdz
0
1
1
V
4
三重积分
(property) 4. f (三重积分的性质 x , y , z ) f ( x , y , z 与二重积分的性质类似 ) ( f ( x , y , z ) f ( x , y ,.z )) 则称f关于变量 z的奇 (偶) 函数. 对称性质 补充三重积分 (1) 若域 关于xOy坐标面对称,则 f ( x , y , z )dv
第三节
三重积分
(triple integral)
三重积分的概念 三重积分的计算
小结
思考题
第8 章 重积分
作业
1
三重积分
一、三重积分的概念
1. 三重积分的定义
(define)
① 设f ( x , y, z )是空间有界闭区域Ω上的 有界函数. 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域
v1 , v2 ,vn
2是 在一,五卦限部分的区域,则
2 x yz dv 0

2 2 y z d v 4 y z dv
2 2

2
7
三重积分
(3) 若域 关于三个坐标面都对称,
则 f ( x , y , z )dv

f同为 x , y , z的奇函数 0 f同为 x , y , z的偶函数 f ( x , y , z ) d v 8 3 其中 3是 在第一卦限部分的区域. 例 设域为 x 2 y 2 z 2 a 2 , 3是 在第一 卦限的部分, 则
D : y1 ( x ) y y2 ( x ), a x b, X－型
得
dx y ( x ) dyz ( x , y ) f ( x , y , z )dz
a
1
f ( x , y , z )dv
b
y2 ( x )
z2 ( x , y )
1
12
三重积分
f ( x , y , z )dv dx

0 2 f ( x , y , z )dv Ω
1
f为z的奇函数 f为z的偶函数
其中1为在xOy坐标面的上半部区域.
5
三重积分
例 设域为 x 2 y 2 z 2 a 2 , 1为的z 0部分 则
2 2 x y zdv 0

2 2 y z d v 2 y z dv 0
1 z
0 1
0 1 z
dy
1 y z
1
y
0
dx
x
0
(1 y z )dy

1 1 2 z (1 z ) dz . 0 2 24
zdxdydz
d 0 D
xy
1 x y
zdz
22
三重积分
x2 y2 z2 已知椭球V: 2 2 2 1 内点(x,y,z)处质量 a b c 2 2 2 x y z 的体密度为: 求椭球的质量. , a 2 b2 c 2
解 画积分区域的草图. 采用先对x积分, 再对y、z
积分的方法简单.将V向yOz平面投影 得平面区域 D yz {( y, z ) 0 y z ,0 z 1}, 对任一 ( y, z ) Dyz , x取值为 0 x z 2 y 2 .
1 z
I
1
0

1
0
1 . 36
S2
S2 : z z2 ( x, y),
过点 ( x , y ) D 作直线,
从 z1 穿入, 从 z2 穿出．
b x

z1
S1
z z1 ( x , y )
y y2 ( x )
11
a
O
( x, y)
D
y
y y1 ( x )
三重积分
先将 x , y 看作定值, 将 f ( x , y, z )只看作 z 的函数, 则