高等数学 第三节 三重积分

解1 0 y 1 , y x y , 0 z 1 y
z yz1
x sin2 ydv 1sin2 ydy
y
xdx
1 y
dz
0
y
0
x
1y
0
解2 由于被积函数关于 x 是奇函数，积分域关于
yOz 平面对称，所以积分等于零。
第十章 第三节
20
奇偶对称性化简三重积分
1 积分区域关于某坐标面具有对称性； 2 被积函数在积分区域上关于相对应的坐标轴 具有奇偶性。
x 0 , y 0}
z R
R
zdxdydz 0 dz zdxdy
Dz
Dz
R
y
R x
R
z(R2
z2 )dz
(1
R2z2
1
z4)
R
R4
40
42
4 0 16
第十章 第三节
17
例6 计算 由 z 1 (x2 y2 ) , z 1 , z 4 围成。
2
解
，其中
利用对称性 轮换
奇偶
1 2
(
Dz
b
a dz f ( x , y , z)dxdy Dz
第十章 第三节
15
截面法的一般步骤：
(1) 把积分区域 向某轴 (例如 z 轴) 投影，得 投影区间 [a , b]；
(2) 对 z [a , b] 用过 z 轴且平行于 xOy 面的平面
去截 ，得截面 D z ；
z b
(3) 计算二重积分 f ( x , y , z)dxdy ， z
把 x 看成常数。积分区域 就为圆盘 y2 z2 x2
(1
x4
)dxdydz
4
2
dx
(1 x4 )dydz
D
y2 z2 x2
4
(1
2
x4 ) x2dx
[ x3
3
x7 7
]42
( 43 23 47 27 ) 2340 20
3
7
21
第十章 第三节
19
例8 计算三重积分 x sin2 ydv ，其中 由平面 y x , y x , z 0 , y z 1 所围成。
对调后方程不变，则将被积函数中的 x 和 z 对
调，积分也不变。即
f ( x , y , z)dv f (z , y , x)dv
Ω
Ω
轮换对称性
第十章 第三节
12
例3 计算 zdxdydz ，其中 是由
z 1 x2 y2 , z 0 围成的上半球体。
z1
x
O Dxy
1
1y
第十章 第三节
规定： 0 r
z
M(r , θ , z)
M(x , y , z)
0 2
z
O
x
r
y
P(r , θ)
第十章 第三节
23
z
如图，三坐标面分别为
r 为常数 θ 为常数 z 为常数
圆柱面 半平面 平面
M(r , , z)
z
o rP(r , )
y
x
x r cos
柱面坐标与直角坐标的关系为
z2 S2 z z2 ( x, y)
z1 S1 z z1 ( x, y)
y
Dxy
(x, y)
y y2( x)
y y1( x)
7
先将 x , y 看作定值，将 f (x, y, z) 只看作 z 的
函数，则 F ( x , y) z2 ( x , y) f ( x , y , z)dz z1 ( x , y )
, r1( ) r r2( )
(2) 确定积分区域的上下界面：
z1(r , ) z z2(r , )
y1(r , ) y y2(r , )
x1(r , ) x x2(r , )
第十章 第三节
27
例9 计算下列各题
(1) z x2 y2 dxdydz ，其中 由 y 0 , z 0 , z a
的四面体。
z 1 x yz1
O Dxy
1y
x1
x y1
第十章 第三节
11
注：若将表示积分区域 Ω 的方程中的 x 和 y 对
调后方程不变，则将被积函数中的 x 和 y 对调，
积分也不变。即
f ( x , y , z)dv f ( y , x , z)dv
Ω
Ω
同理：若将表示积分区域 Ω 的方程中的 x 和 z
第十章 第三节
3
2 三重积分的定义
设 f (x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界函数，将
闭区域 任意分成 n 个小闭区域v1,…,vn，其
中vi 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每
个vi 上任取一点(i ,i , i )作乘积 f (i ,i , i ) vi ，
(i 1,2,, n)，并作和, 如果当各小闭区域的直径中
vi x jykzl 三重积分记为：
n
Ω
f
(x
,
y
,
z)dxdydz
lim
0 i1
f
(i
, i
,i
)vi
其中 dxdydz=dv 叫做直角坐标系中的体积元素
第十章 第三节
5
当函数 f (x , y , z) 在闭区域 Ω 上连续时，(1) 式右 端的极限必定存在，也就是函数 f (x , y , z) 在闭区 域 Ω 上的三重积分必定存在，以后我们总假设函 数 f (x , y , z) 在闭区域 Ω 上是连续的， 关于二重 积分的一些术语都可相应地用于三重积分。 三重 积分的性质和二重积分的性质类似，这里不再重复。
o
a
x
b
b
dx
y2 ( x ) dy
z2 ( x , y) f ( x , y , z)dz
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
先z再y后xBiblioteka 第十章 第三节yD (x, y) xy y y2 ( x) y y1( x)
8
(1) 这时平行于 z 轴且穿过闭区域 Ω 内部的直 线与闭区域 Ω 的边界曲面 S 相交不多于两点。 (2) 如果平行于 x 轴或 y 轴且穿过闭区域 Ω 内 部的直线与 Ω 的边界曲面 S 相交不多于两点， 也可以把闭区域 Ω 投影到 yOz 面上或 xOz 面上， 这样便把三重积分化为按其他顺序的三次积分。 (3) 如果平行于坐标轴且穿过闭区域 Ω 内部的 直线与边界曲线 S 的交点多于两个，也可像处 理二重积分那样，把 Ω 分成若干部分，使 Ω 上 的三重积分化为各部分闭区域上的三重积分和。
2 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离。即
f g( x2 y2 ) h(z) ; f g( x2 y2 , z)
3
被积函数形如
f (x2
y2 )z
,
f
y x
z
,
f
x y
z
。
第十章 第三节
26
利用柱面坐标的解题程序：
(1) 将积分区域向坐标面 xOy (xOz 或 yOz) 作投影， 并用极坐标表示投影区域：
小块，只要小块所占的闭区域 △Vi 的直径很小， 这小块就可以看作是均匀体， 在 △Vi 上任取一点
(i , i , i )则： (i , i , i ) Vi (i 1 , , n) 可看作第 i 个小块的质量之近似值，通过求和，取极限，便 得到质量
n
m lim 0
i 1
(i
, i
, i )Vi
1 问题的引入 设有一物体，在空间直角坐标系中，占有第一卦限的 一个闭区域 Ω ，点 (x , y , z) 处的密度为 ρ(x , y , z) ， ρ(x , y , z)>0 且在 Ω 上连续，现在要计算该物体的质 量。解决方法:
“分割 , 近似 , 求和 , 取极限”
第十章 第三节
2
由于 ρ(x , y , z) 在 Ω 上连续， 把 Ω 任意分为 n 个
第十章 第三节
6
二、三重积分的计算
1 利用直角坐标计算三重积分
(1) 投影法(先一后二)
z
如图：闭区域 Ω 在 xOy
面上的投影为闭区域 Dxy
S1 : z z1( x, y)
S2 : z z2( x, y)
o
a
过点 ( x, y) Dxy 作直线 b
x
从 z1 穿入，从 z2 穿出
第十章 第三节
的最大值 趋近于零时，这和式的极限存在，则称
此极限为函数 f ( x, y, z)在闭区域 上的三重积分，
记为 f ( x, y, z)dv,
n
f(x ,
y,
z)dv
lim 0
i 1
f (i
, i
, i )vi
(1)
其中 dv 叫做体积元素
第十章 第三节
4
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面 来划分 Ω ，则：
第三节 三重积分
教学内容
1 三重积分的定义与性质； 2 三重积分在直角坐标系下的计算； 3 三重积分在柱面坐标系下的计算； ＊4 三重积分在球面坐标系下的计算；
考研要求
1 理解三重积分的概念，了解其性质； 2 会计算三重积分(直角坐标 , 柱面坐标 , 球面坐标)
第十章 第三节
1
一、三重积分的概念
第十章 第三节
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例1 将三重积分 f (x , y , z)dv 化为直角坐标下
Ω
的三次积分，积分区域由曲面 z x2 2 y2 , z 2 x2
所围成。
第十章 第三节
10
例2 求 I1 xyzdxdydz , I2 ( x y z)dxdydz
Ω
Ω
其中 Ω 是平面 x y z 1 与三个坐标面所围成
y
r
sin
z z
柱面坐标法可视为投影法与二重积分极坐标方法
的结合。
第十章 第三节
24
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
z
rd
dr
r
dz
dv rdrd dz
o
y
x
d
f (r cos , r sin , z)rdrd dz
第十章 第三节
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柱面坐标的适用情形
1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单，当积 分区域为柱体 , 椎体，或由柱面 , 锥面 , 旋转抛物 面与其他曲面所围形体；
然后计算 F( x, y) 在闭区域 Dxy 上的二重积分
F( x , y)d ( z2( x , y) f ( x , y , z)dz) d
D
D
z1 ( x , y )
z
D : y1( x) y y2( x) , a x b
z z2(x, y)
z z1( x, y)
f ( x , y , z)dv
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
三种方法 (包含12种形式) 各有特点，具体计算时应
根据被积函数及积分域的特点灵活选择。
第十章 第三节
22
2 利用柱面坐标计算三重积分
设 M(x , y , z) 为空间内一点，并设点 M 在 xOy
面上的投影 P 的极坐标为 r , θ ，则这样的三个
数 r , θ , z 就叫点 M 的柱面坐标。
一般地，当积分区域 Ω 关于 xOy 平面对称，且被
积函数 f (x , y , z) 是关于 z 的奇函数，则三重积分
为零，若被积函数 f (x , y , z) 是关于 z 的偶函数，
则三重积分为 Ω 在 xOy 平面上方的半个闭区域的
三重积分的两倍。
第十章 第三节
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小结: 直角坐标系下三重积分的计算方法
方法1. “先一后二”(投影法)
dxdy z2( x , y) f ( x , y , z)d z z1 ( x , y ) Dxy
方法2. “先二后一”(截面法)
b
dz
f ( x , y , z)dxdy
a
Dz
方法3. “三次积分”
b
dx
y2 ( x ) dy
z2 ( x , y) f ( x , y , z) dz
13
例4 计算 ydxdydz ，其中 是由
y 1 x2 z2 , x2 z2 1 , y 1 围成。
y
1
O Dzx 1 x z
第十章 第三节
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(2) 截面法(先二后一）
z b
以 Dz 为底，dz 为高的柱形薄片质量为 z
a x
该物体的质量为
Dz
y
b
a [ f ( x , y , z)dxdy ]dz
x2
y2
) dxdydz
0
1
4
dz
( x2 y2 ) dxdy
21
Dz
1
4
dz
2
d
2z r 3d r 21
21 0
0
第十章 第三节
z 4
1
Dz
O
y
x
18
例7 设 由曲面 x2 y2 z2 , x 2 , x 4 所围成
计算 (1 x4 )dxdydz 。
解 考虑被积函数和 y , z 无关，先对 y , z 积分时
以及 x2 y2 2x 0 ( y 0) 所围成。
第十章 第三节
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(2) zdxdydz ，其中 是由 x2 y2 z2 4
以及 x2 y2 3z 所围部分。
第十章 第三节
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＊3 利用球面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
三个有次序的数 r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自x 轴按
Dz
Dz
其结果为 z 的函数 F(z) ；
a
x
y
(4)
最后计算定积分
b
a
F (z)dz
即得三重积分值。
第十章 第三节
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例5 计算三重积分 zdxdydz 其中 : x 0 , y 0 ,
z 0 , 及 x2 y2 z2 R2 。
解 :
0z R
( x , y) Dz {( x , y) x2 y2 R2 z2 ,