高等数学中三重积分曲面积分的计算问题

讨论高等数学

三重积分、第一类曲面积分的问题

一、 前言

在学习第一类曲线积分与三重积分之后，会发现它们的计算有些不同但又相似，实际上最根本的原因还是对概念的不理解，只要理解概念加以思考，这些问题就应然而解。

二、 问题

（1） 三重积分与第一类曲面积分的概念；

（2） 第一类曲面积分的曲面的微元 dxdy Z Z dS xy

D y

x ⎰⎰++=2

21 （3） 三重积分与第一类曲面积分的物理意义，三重积分在计算的过程中不能把积分趋

于带入到被积函数中，而三重积分的积分曲面可以带入到被积函数中去；

三、 解决方法

（1） 概念 三重积分

设()z y x f ,,是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分割成为n 个小闭区域，

n v v v v ∆∆∆∆，，，321，其中v ∆，表示第i 个小闭区域，也带表第i 个小闭区域的体积，在

每一个v ∆中任取一点()i i i ζηξ,,，做乘积()i i i i v f ∆ζηξ,,，*

⊂Z i ，并做和()i n

i i i i v f ∆∑=1

,,ζηξ，

如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时，这时和的极限总是存在的，则此极限为函数()z y x f ,,在闭区域Ω中的三重积分，记作

()⎰⎰⎰Ω

dv

z y x f ,,，即

()⎰⎰⎰Ω

dv z y x f ，，=()∑=→∆n

i i

i

i

i

v f 1

,,lim ζηξλ

，其中dv 为体积的微元。 曲面积分

设曲面∑是光滑的，函数()z y x f ,,在曲面∑上的有界函数，把曲面∑认为分成n 个小块S ∆,其中S ∆，表示第i 个小闭区域，也带表第i 个小闭区域的面积，设()i i i ζηξ,,是S

∆上的任意一点，做乘积

()i

i i i S f ∆ζηξ,,,如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时,

这时和的极限总是存在的, 则此极限为函数()z y x f ,,在闭区域中∑的曲面积分，成为第

一类曲面积分，记作为

⎰⎰∑

dS

z y x f ),,(，即

⎰⎰∑

dS

z y x f ),,(=

()∑=→∆n

i i

i i i S f 1

,,lim ζηξλ。

（2） 第一类曲面积分的曲面的微元

如图所示，设曲面方程为()y x f z ,=，在曲面上任选一点()i i i ζηξ,,，那么在这一点必定存在一个切平面∑，切平面∑与xoy 平面的夹角为γ，在曲面上任选一个0→λ的趋于dS ,它在xoy 平面上的投影为σd 。由于σd 很小，那么它对应的在曲面()y x f z ,=中的部分曲面可以近似的认为是一个平面，则求得γ

σ

cos d dS =

○1；()()1

,,1

cos 22++=

y x F y x F z

x

γ，证明：()()z y x f z y x F -=,,,，现在求得曲面中任意一点

的法向量()()()1,,,,,,y x f y x f z F y F x F n y x =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂∂∂∂∂=→

，取xoy 平面中的法向量()1,0,0=→a ，∴

()()()()1

,,1

1

,,11

cos 2222++=

++-=

y x F y x F y x F y x F z

x

z

x

γ()y x f z ,= ∴()y x F x ,()

y x F y ,相当于z 对y x ,分别求偏倒，所有得公式()()1

,,1

cos 22++=

y x F y x F z

x

γ带入○1中得：

()()σd y x f y x f dS z x 1,,22++=

，∴()()⎰⎰

++=xy

D z x d y x f y x f S σ1,,22

（3） 物理意义

三重积分的物理意义

在于计算一个空间实体中不同点有不同密度的质量，函数

()z y x f ,,是有界空间曲面∑与垂

直于坐标平面或几个曲面∑所围成的封闭区域不同点的密度，在此区域中的任意一点有不同的密度，因为质量公式V m ρ=在这里已经不能够使用，所以取为

()i i i i v f ∆ζηξ,,为小体积的质量，

经过()∑=→∆n

i i i i i v f 1

,,lim ζηξλ取极限求和得到整个实体的质量。

第一类曲面积分的物理意义

第一类曲面积分所求的的也是在于计算一个空间实体中的质量，与三重积分不同的是，函数()z y x f ,,是曲面上的不同点的面密度。因为质量公式S m ρ=在这里已经不能够使用，所以()i i i f ζηξ,,曲面中某点的面密度，在这里积分曲面中的某点的坐标与被积函数中的面密度所对应的坐标值相

同，所以这里的()z y x ,,为积分曲面与被积函数的坐标值，因此⎰⎰∑

dS z y x f ),,(为微元小柱

体的质量，经过()∑=→∆n

i i i i i S f 1

,,lim ζηξλ取极限求和得到整个曲面所对应实体的质量，所以

它所求得的体积是一个微元的柱面质量的和。

四、 结论

三重积分中积分区域不能带入到被积函数中去；曲面积分的积分区域可以带入到被积函数中去。