电路原理-一阶电路和二阶电路

例 9-3-2 在图（a）所示电路中，已知 uC 0 0，
is 的波形如图（b）所示，求 uC 、iC 。
i C
i /A S
+
i S
R
C
u
-C
5
O
2
t/s
(a)
(b)
t
r rf [r(0 ) rf (0 )]e
9-4 一阶电路的全响应
由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的 响应，叫全响应。
S(t 0)
电路方程
RC duC dt
uC
0
+
i+
初始条件 uC (0 ) uC (0 ) U0
C uc
-
Ru
-R
解得
t
uC U0e RC
t 0
i C duC

U0
t
e RC
dt R
t 0
uC
t
i
U
uC U0e RC
U 0
0
R
u ( ) 0.368U
中的响应即为零状态响应。
S(t 0) 8
a
6
i L
+
Ri
+
4V
-
8
2H
u
-L
b
(a)
解得
2 diL dt
10iL
2
iL (0.2 0.2e5t )A
+
2ε(t)V
t 0
-
uL 2e5tε(t) V t 0
i /A L
u /V L
0.2
2
10
i L
+
2H
(2) 作t=0+ 电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路 确 定 各 变 量 的 初 始 值 。 若 uC(0+)=uC(0-)=U0， iL(0+)=iL(0-)=I0，在此电路中C用电压源U0代替，
L用电流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0 或 iL(0+)=iL(0-)=0，则C用短路线代替，L视为开路。 见下图。作t=0+ 电路后，即可按一般电阻性电路来 求解各变量的u (0+)、i (0+)。
1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式
中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰
减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。2
式中第二项US = uC(∞)受输入的制约，它是非齐次方 程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，
称稳态响应或强制分量。这样有
全响应=暂态响应+稳态响应
2、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。 将2式改写后可得：
数 RC ，RL电路的时间常数 L R 。因此，零输入响应
亦为
t
r(t) r(0 )e
（ r(0 )为响应的初始值）
2. RC电路和RL电路中的零输入响应电压和零输入响应电
流都以同一时间常数按指数规律变化。经过 4 ~ 5 以后，
可认为响应已接近于零，过渡过程即告结束。
特解 全解
rf （取决于激励函数的形式）
1t
r rf rt rf Ae
由初始条件 r 0 解得 A r(0 ) rf (0 )
故方程的解为
t
r rf [r(0 ) rf (0 )]e
rf——强迫响应； r(0+)——响应初值；
rf(0+)——强迫响应的初值； τ——电路的时间常数。
u L
O
t
RI
0
RL电路的时间常数：
则有
t
iL I0e
L
R
t 0
uL
L diL dt
t
RI 0e
t
t 0
三、一阶电路的零输入响应的结论
1. 求解RC电路和RL电路零输入响应的输入——输出方程
是一阶齐次方程，方程的解的函数形式为 r(t) r(0 )e pt，令 特征根 p 1 ，则 是电路的时间常数，RC电路的时间常
u
-L
(b)
O
t/s
O
t/s
二、一阶电路零状态响应
电路方程及解的一般形式
dr ar f (t)
2 diL dt
10iL
2
dt
式中r为待求响应，f(t)为由激励决定的右端项，其函数形
式取决于激励的函数形式。 指数由特征方程的特征根决定
通解
1t
幅度由初始条件和特解共同决定
rt Ae （当 t 时，衰减为零）
动态 电路 响应
零输入响应
电路在没有输入激励的情况下，仅由非零原 始储能（即由uC(0－)和iL(0－)决定的电路中的储 能）所引起的响应
零状态响应
电路在零状态下[即uC(0－)＝0 、 iL(0－)＝0]， 仅由输入激励引起的响应
全响应
一个非零状态的电路，由输入激励和非零原 始储能共同产生的响应
t0
2
3
4
5
uC U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.0184U0 0.0068U0
（4）一阶电路微分方程的特征根为时间常数的倒数，它具 有频率的量纲，称为“固有频率”。
例9-2-1 图示电路，t＝0 时开关S断开，已知开关断
开前电路已工作了很长时间，求换路后的响应uC、iC、
RC
t
e RC
是一个衰减因子，RC具有时间的量纲。对于给定的
RC电路，R和C的乘积是一个常量，称为RC电路的时间常数，
用 表示，即
RC
关于时间常数 的说明：
（1）时间常数是体现一阶电路惯性特性的参数，它只与电 路的结构与参数有关，而与激励无关。
（2）对于含电容的一阶电路， RC
的响应是零输入响应。
电路方程
L
diL dt

RiL

0
R S(t 0) S
i L
+
+
初始条件
iL (0 ) iL (0 ) I0
U
-S
R
L
u
-L
解得
Rt
iL I0e L
t 0
uL
L diL dt
Rt
RI 0e L
t 0
i L
I 0
0.368I 0 O
t
uC (t) U s (U s U0 )e
强迫响应 自然响应 稳态响应 暂态响应
直流激励下的全响应三要素求解法 一、 确定初始值 f (0+)
初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时 的数值。
(1) 先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或 iL(0-), 这个状态即为t＜0阶段的稳定状态，因此， 此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代 替。
形式，即
t
uC Ke U S
代入初始条件 uC (0+)=U0 得
K= U0 - US
从而得到
t
uC (U0 U S )e U S
2式
通过对1式分析可知，当US=0时，即为RC零输 入电路的微分方程。而当U0=0时，即为RC零状态 电路的微分方程。这一结果表明，零输入响应和零 状态响应都是全响应的一种特殊情况。 上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。
iR。
S(t 0) 10
i C
12
+
+
6V
-
20
20
i R
10μF
u
-C
10
i C
i C
10μF +
20
20
u
-C
i R
10μF +
R 12
u
-C
二、RL电路的零输入响应
图示电路，S断开电路中的电流和电压已稳定，S断开
前一瞬间的电感电流 iL (0 ) us Rs I0 。S断开后电路中
对于线性动态电路而言，全响应等于零输入 响应与零状态响应的叠加。
9-2 一阶电路的零输入响应
只含有一个电容元件或一个电感元件，其余元件均为 电阻元件、受控源的电路是零输入的一阶电路。
一、RC电路的零输入响应（ZIR）
图示电路，S闭合前一瞬间的电容电压uC(0－)＝U0，S
闭合后电路中的响应是零输入响应。
换路: 电源的接入或断开、电路结构或元件参数的突然 改变等引起电路的变化统称为“换路”。
对电路的分析往往以换路为计时起点，即令t＝0时发 生换路。换路前的一瞬时起为t＝0－，换路后的一瞬时记 为t＝0＋，并认为换路在0－至0＋瞬间完成。
原始状态：动态电路在t＝0－时的集合[uC(0－)、iL(0－)] 初始状态：动态电路在t＝0＋时的集合[uC(0＋)、iL(0＋)]
例9-3-1 在（a）所示电路中，us Um sin(t ) ， 开关S在他t＝0时闭合，求闭合后电路中的电流i。
S(t 0) R
+
i
+
u S -
L
U
-sm
R I
m
jL
(a)
(b)
r(0+)、 rf、τ被称为一阶电路的解的 t 三要素。 r rf [r(0 ) rf (0 )]e
t 时， uC ( ) U0e1 0.368U0
因此， 就是 uC (t0 ) 衰减到 36.8%uC (t0 ) 所需的时间。
uC
U0
3 2 1
0.368U0
O 1
2
3
t
理论上要经过无限长时间uC才衰减至零，工程上一般
认为换路后，经过 3 ~ 5 时间过渡过程结束。
上式为一阶电路的解得一般形式，是普遍适用的。
r(0+)、 rf、τ被称为一阶电路的解的三要素。
一阶电路零状态响应解的求法
t
r rf [r(0 ) rf (0 )]e
1. 根据换路前电路的状态，确定待求量的初值r(0 )
2. 将电路中除动态元件以外的电路用戴维南等效 电路代替，确定电路时间常数
C
0
u (2 ) 0.135U
C
0
uC (3 ) 0.05U 0u (5 ) 0.0068U
O

C
2 3 4 5
t
0
O
Байду номын сангаас
i

U0
t
e RC
R
t
从图中可以看出，uC和 i 都是从各自的初始值按相同的指
数规律衰减，衰减的快慢取决于指数函数中 1 的大小。仅取
决于电路的结构和元件的参数。
R：由动态元件看进去的戴维宁等效电阻
[
]

伏特 安培

库 伏仑 特＝ 安安培培 秒 ＝秒
（3） 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，是反 映过渡特性的一个重要物理量， 越大，电惯性越大，相同
初始值情况下，放电时间越长。
t 0 时， uC (0) U0e0 U0
以后，由输入激励和非零原始储能共同产生的响应 称为全响应。
对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响 应之和。
对于直流激励的一阶动态电路，通常采用三要素
法求解。
t
uC (U0 U S )e U S
三要素法：
1、三要素法的计算公式
t
y(t) y() [ y(0) y()]e
第九章 一阶电路和二阶电路
本章内容提要
1. 零输入响应、零状态响应、全响应的概念
2.一阶动态电路的零输入响应 及其标准求解方法
3.一阶动态电路的时间常数及其物理含义 4.一阶动态电路的零状态响应及其求解方法 5.一阶动态电路的全响应求解方法：三要素法 6.电容电压和电感电流不连续电路的响应求解
9-1 动态电路的响应的分类
如下图所示，设 uC =uC(0-)=U0，S在t=0时闭 合，显然电路中的响应属于全响应。
RC电路的全响应
对t≥0的电路，以uC为求解变量可列出描述电路的微分 方程为
RC duC dt
uC
US
1式
uC (0 ) U 0
1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅
只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的
例9-2-2 求图示电路换路后的响应 uC 、iC 、iR 。
S(t 0) 10
i
C
12
+
+
6V
-
20
20
i R
10μF
u
-C
9-3 一阶电路的零状态响应
零状态响应（ZSR）：电路在零初始状态下（动态元件初始 储能为零），由外施激励引起的响应。
一、电路方程 图（a）所示电路，已知 iL 0 ，0 开关S闭合以后电路
y(t) ----为任意瞬时电路中的待求电压或电流；
y(0) ----为相应所求量的初始值； y() ----为相应的稳态值；
---为时间常数 。
一阶动态电路响应的分类：
1）零输入响应与零状态响应
t
t
uC (t) U 0e U s (1 e )
零输入响应 零状态响应
2）自然响应与强迫响应、暂态响应和稳态响应
t
t
uC U0e US (1 e )
3式
3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零 状态响应。
因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号， 一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加 性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠 加，即
全响应=零输入响应+零状态响应
非零状态的电路（ uC 0 0 、iL 0 0），在换路
3. 求解电路的强迫响应
强迫响应的求解
强迫响应就是在激励作用下，电路趋于 稳态后的响应。
当激励为常量时，响应也为常量，此时
问题转换为求解 t 时，电感元件等
效为短路，电容元件等效为开路后，电 路中的响应
当激励为正弦量时，响应为与激励同形 式的正弦量，此时问题转换求解电路的 正弦稳态响应，可采用向量法