学案函数的应用
高一数学学案函数应用
潍坊一中高一学案 学科：数学导引式学案二十三《函数的应用Ⅱ》编者：姜瑶 审核：张尚敏 时间：2013-10-29【学习目标】1、培养数学建模能力与数学实践能力2、实际问题数学化【学习重、难点】建立数学模型【课前自主预习】1、已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B 地停留2小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离y 表示为事件x （小时）的函数表达式是2、已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ，则y 与x 的函数关系是( )A ．y ={0．9576}100xB ．y ={0．9576}100xC ．y =（1009576.0）x D ．y =1－（0．0424）100x 【课堂思维展示】（一）指数函数型应用问题1.1995121.25%例年我国人口总数是亿，如果人口的自然增长率控制在，问哪一年我国人口总数将超过14亿？潍坊一中高一学案伦琴说：“第一是数学，第二是数学，第三是数学”例2、一中放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减：（1）求t年后，这种放射性元素质量w的表达式；（2）由求出的函数表达式，求这种放辐射性元素的半衰期（精确到0.1）。
（二）幂函数型应用问题例3、某城市现有人口100万，若20年后该城市人口总数为120万，那么年增长率为多少？若不超过120万呢？例4、深圳特区1980年的生产总值为2.7亿，1999年生产总值为1436.51亿元，问19年中每年平均增长百分之几？（精确到0.01）小结：如何解决函数应用问题？潍坊一中高一学案学科：数学【课后巩固提高】1、一种产品的成本是a元，在今后的m年内，计划成本每年比上一年降低p%,写出成本随着年数变化的函数关系式2、工厂1992年底某种产品年产量为a，若该产品的年平均增长率为x，2000年底该厂这种产品的年产量为y，那么y与x的函数关系式是3、已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，计算它约经过多少年剩留一半（结果保留4个有效数字）。
江西省西山学校高一数学《函数模型的应用实例》学案
一、自学目标：1会利用已知函数模型解决实际问题；2能建立函数模型解决实际问题。
二、知识要点：（二）建模及函数模型应用的基本过程三、课前预习 题型（一）：已知函数模型的应用题思路：若题目给出的是含参数的函数关系式则利用“待定系数法”先求出相关参数的值，得到确定的函数关系式； 例题1：（课本P104例4）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效的控制人口增长提供依据，早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出列自然状态下的人口增长模型：ey rty 0（其中t 表示经过的时间，y表示t=0时的人口数，r 表示人口的年用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？题型（二）建立函数模型的应用题 思路：（1）认真审题，明确问题的实际背景；（2）恰当的设未知数，列出函数解析式，特别注意标出函数的定义域，将实际问题转化为函数问题，即实际问题函数化；（3）运用所学的数学知识解答函数问题，得到函数问题的解； （4）将所得的函数问题的解还原成实际问题的结论。
例题2：（P105例5）某桶装水经营部每天的房租，人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表3-9所示。
四、课堂练习课本P107 A 组 第2， 5题 五、课后作业2011年8月12-22日为世界大学生运动会，大运会纪念品专卖店购进一批单价为20元的纪念品，若按每件30元的价格销售，每天能卖出400件，为获得更高的利润，销售点准备提高销售价格，经试验发现，在每件销售价的基础上，售价每提高1元，销售量减少20件，问价格提高多少时，才能获得最大利润？每天最大利润是多少？函数模型的应用实例（二）·导学案一、自学目标：1会利用已知函数模型解决实际问题； 2能建立函数模型解决实际问题。
高三数学一轮复习学案：函数的应用
高三数学一轮复习学案：函数的应用一、考试要求： 1、会解与一次函数、二次函数有关的问题，掌握一次函数、二次函数在解决实际问题时的步骤与方法。
2、能构建指数函数、对数函数、幂函数、分段函数模型解决一些简单的实际问题二、知识梳理：2、解函数应用题的一般步骤 ：（1） 审题：_______________________（2） 建模：________________________（3） 求模：_________________________（4） 还原：_________________________2.基本程序实际问题－－－－－－－－－数学模型实际问题结论－－－－－－－数学模型的解三、基础检测：1.某宾馆有客房300间，每间房日租为20元，每天都客满。
宾馆欲提高档次 ，并提高租金。
如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间。
若不考虑其它因素，宾馆将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？A ．30元 B.40元 C.50元 D.60元2.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。
假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：300()2tM t M -=，其中M 0为t=0时铯137的含量。
已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）=A.5太贝克B.75In2太贝克C.150In2太贝克D.150太贝克3.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：（1）如一次购物不超过200元，不予以折扣；（2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价予以九折优惠；（3）如一次购物超过500元的，其中500给与九折优惠，超过500元的部分给与八五折优惠。
某人两次去购物，分别付款176和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）A.608元B.574.1元C.582.6元D.456.8元4.一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价恢复原价，则每次应提价（ ）A.10%B.20%C.5%D.11.1%5.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。
高中数学第三章函数的应用1函数与方程互动课堂学案1
3。
1 函数与方程互动课堂疏导引导３．１．１方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y=f（x)（x∈D）,把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f （x）（x∈D)的零点．2。
函数零点的意义方程f(x)=0有实数根函数y=f（x)的图象与x轴有交点 函数y=f （x)有零点．３．函数零点存在的条件如果函数f（x）在区间［a, b]上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f（a）·f（b)〈0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈(a，b）使得f（x)=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。
4．函数零点的求法求函数y=f(x）的零点：（1）代数法：求方程f（x)=0的解；（2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x)的图象联系起来，并利用函数性质找出零点．5。
函数零点的意义函数y=f（x)的零点就是方程f（x)=0的实数根，亦即函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标．即方程f（x）=0有实数根函数y=f(x）的图象与x轴有交点函数y=f（x）有零点．2的零点所在的大致区间是（)●案例1函数f（x）=lnx-xA. （1, 2）B. (2, 3)1, 1）和（3，4）C. (eD. （e, +∞)【探究】从已知的区间（a, b），求f（a)、f（b），判别是否有f （a）·f(b)〈0.∵f（1）=-2<0,f(2)=ln2-1<0，∴在(1,2)内f（x)无零点，所以A不对。
2>0，又f(3）=ln3—3∴f(2)·f（3）<0。
∴f(x)在(2,3)内有一个零点.【答案】B【溯源】这是最基本的题型，所用的方法是基本方法：只要判断区间[a，b］的端点值的乘积是否有f（a）f(b)〈0；若问题改成：指2的零点所在的大致区间，则需取区间［a, b］使f 出函数f(x)=lnx-x（a）f(b）<0。
高中数学必修一 (学案)三角函数的应用
三角函数的应用【学习目标】会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．【学习重难点】三角函数的实际应用问题。
【学习过程】一、自主学习知识点一：函数y＝A sin（ωx＋φ），A>0，ω>0中各参数的物理意义知识点二：三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．知识点三：三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．状元随笔解答三角函数应用题应注意四点（1）三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．（2）在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．（3）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．（4）实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器． 教材解难： 教材P 248思考不对．因为这条船停止后还需0.4h ，若在P 点停止，再经0.4h 后船驶出安全水深． 基础自测：1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F （t ）＝50＋4sin t2（t ≥0），则在下列哪个时间段内人流量是增加的（ ）A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F （t ）的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z ．当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C ．答案：C2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s 1（cm ）和s 2（cm ）分别由下列两式确定：s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －π3． 则在时间t ＝2π3时，s 1与s 2的大小关系是（ ）A ．s 1>s 2B ．s 1<s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定解析：当t ＝2π3时，s 1＝－5，s 2＝－5，所以s 1＝s 2． 答案：C3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C ． 答案：C4．简谐振动y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的频率和相位分别是________．解析：简谐振动y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的周期是T ＝2π4＝π2，相位是4x ＋π6，频率f ＝1T ＝2π．答案：2π，4x ＋π6 二、素养提升题型一：三角函数在物理中的应用例1：已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置（静止时的位置）的距离h （cm ）与时间t （s ）的函数关系式为：h ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π4．（1）求小球开始振动的位置；（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间； （3）经过多长时间小球往返振动一次？（4）每秒内小球能往返振动多少次？ 解析：（1）令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322cm 处．（2）由题意知，当h ＝3时，t 的最小值为π8，即小球第一次上升到最高点的时间为π8s ．当h ＝－3时，t 的最小值为5π8，即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s ．（3）T ＝2π2＝π，即经过约πs 小球往返振动一次．（4）f ＝1T ＝1π，即每秒内小球往返振动1π次．令t ＝0解1 →令h ＝±3解2 →问题3即求周期T→问题4即求频率f T 的倒数方法归纳：处理物理学问题的策略（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练1：已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s （cm ）随时间t （s ）的变化规律为s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞）．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题：（1）小球在开始振动（t ＝0）时的位移是多少？（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ （3）经过多长时间小球往复振动一次？ t 0 π12 π3 7π12 5π6 2t ＋π3 π3 π2 π 3π2 2π sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3 32 1 0 －1 0 s234－4描点、连线，图象如图所示．（1）将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是23cm ．（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm 和－4cm ． （3）因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs ．解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系．题型二：三角函数在实际生活中的应用[教材P 245例2]例2：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下表是（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确0.001m ）．（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）某船的吃水深度为4m ，安全间隙为1.5m ，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以0.3m/h 的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4h 才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？解析：（1）以时间x （单位：h ）为横坐标，水深y （单位：m ）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图1）．根据图象，可以考虑用函数y ＝A sin （ωx ＋φ）＋h 刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A ＝2.5，h＝5，T ＝12.4，φ＝0；由T ＝2πω＝12.4，得ω＝5π31．所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数y ＝2.5sin 5π31x ＋5近似描述．（2）货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5m，所以当y≥5.5时就可以进港．令2.5sin5π31x＋5＝5.5，sin5π31x＝0.2．由计算器可得0.2013579208≈0.2014．如图2，在区间[0，12]内，函数y＝2.5sin5π31x＋5的图象与直线y＝5.5有两个交点A，B，因此5π31x≈0.2014，或π－5π31x≈0.2014．解得x A≈0.3975，x B≈5.8025．由函数的周期性易得：x C≈12.4＋0.3975＝12.7975，x D≈12.4＋5.8025＝18.2025．因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．（3）设在x h时货船的安全水深为y m，那么y＝5.5－0.3（x－2）（x≥2）．在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6～8时之间两个函数图象有一个交点（图3）．借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为（7.016，3.995），因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．状元随笔观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中的数据画出散点图，如图1．从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y＝A sin（ωx＋φ）＋h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深．根据数据可以确定A，ω，φ，h的值．教材反思：解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2：如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：（1）求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式；（2）当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？解析：（1）由已知可设y ＝40.5－40cos ωt （t ≥0），由已知周期为12分钟，可知ω＝2π12，即ω＝π6．所以y ＝40.5－40cos π6t （t ≥0）．（2）令y ＝40.5－40cos π6t ＝60.5，得cos π6t ＝－12，所以π6t ＝23π或π6t ＝43π，解得t ＝4或t ＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20（分钟）．（1）由已知可得解析式． （2）利用y ＝60.5解t ． 题型三：根据数据拟合函数例3：某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记作y ＝f （t ），下面经长期观察，y ＝f （t ）的曲线可近似地看成是函数y ＝A sin ωt ＋b 的图象． （1）试根据以上数据，求出函数y ＝f （t ）的近似解析式．（2）一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？解析：（1）由已知数据，描出曲线如图：易知函数y ＝f （t ）的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10，∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝3sin π6t ＋10．（0≤t ≤24）（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，由y ≥11.5，得3sin π6t ＋10≥11.5，∴sin π6t ≥12．①∵0≤t ≤24，∴0≤π6t ≤4π．②由①②得π6≤π6t ≤5π6或13π6≤π6t ≤17π6．化简得1≤t ≤5或13≤t ≤17．∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时． 由表格画出曲线图，由图可求A ，b ，由周期T 可求ω，即求y ＝A sin ωt ＋b ． 方法归纳：在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤 （1）根据原始数据，绘出散点图；（2）通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； （3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．跟踪训练3：已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （时）的函数，其中0≤t ≤24，记经长期观测，y ＝f （x ）的图象可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图象． （1）根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；（2）根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解析：（1）由表中数据可知，T ＝12，所以ω＝π6．又t ＝0时，y ＝1.5，所以A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅A 为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1（0≤t ≤24）．（2）因为y >1时，才对冲浪爱好者开放，所以y ＝12cos π6t ＋1>1，cos π6t >0，2k π－π2<π6t <2k π＋π2（k ∈Z ），即12k －3<t <12k ＋3（k ∈Z ）． 又0≤t ≤24．所以0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9<t <15．根据表格，确立y ＝A cos ωt ＋b 的模型，求出A ，T ，b ，推出ω，利用t ＝0时，y 为1.5，t ＝3，y ＝1.0，求出b ，即可求出拟合模型的解析式． 三、学业达标（一）选择题1．电流I （A ）随时间t （s ）变化的关系是I ＝3sin100πt ，t ∈[0，＋∞），则电流I 变化的周期是（ ）A ．150B ．50C ．1100D ．100解析：T ＝2π100π＝150． 答案：A2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由图可知－3＋k ＝2，则k ＝5，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8．答案：C3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y （每平方米的价格，单位：元）与第x 季度之间近似满足y ＝500sin （ωx ＋φ）＋9500（ω>0），已知第1季度和第2则此楼群在第3季度的平均单价大约是（ ） A ．10000元B ．9500元C ．9000元D ．8500元解析：因为y ＝500sin （ωx ＋φ）＋9500（ω>0），所以当x ＝1时，500sin （ω＋φ）＋9500＝10000；当x ＝2时，500sin （2ω＋φ）＋9500＝9500，即⎩⎨⎧sin 2ω＋φ＝0，sinω＋φ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝m π，m ∈Z ，ω＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z .易得3ω＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ．又当x ＝3时，y ＝500sin （3ω＋φ）＋9500，所以y ＝9000． 答案：C4．如图，单摆离开平衡位置O 的位移s （单位：cm ）和时间t （单位：s ）的函数关系为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为（ ）A ．2sB ．1sC ．12sD ．14s解析：由题意，知周期T ＝2π2π＝1（s ），从最右边到最左边的时间是半个周期，为12s ． 答案：C （二）填空题5．设某人的血压满足函数式p （t ）＝115＋25sin （160πt ），其中p （t ）为血压（mmHg ），t 为时间（min ），则此人每分钟心跳的次数是________．解析：T ＝2π160π＝180（分），f ＝1T ＝80（次/分）．答案：806．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s （单位：cm ）关于时间t （单位：s ）的函数解析式是s ＝A sin （ωt ＋φ），0<φ<π2，函数图象如图所示，则φ＝________．解析：根据图象，知⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1112，0两点的距离刚好是34个周期，所以34T ＝1112－16＝34．所以T ＝1，则ω＝2πT ＝2π．因为当t ＝16时，函数取得最大值，所以2π×16＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π2，所以φ＝π6．答案：π67．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f （x ）＝________．解析：由题意得⎩⎨⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6，周期T ＝2×（7－3）＝8，所以ω＝2πT＝π4．所以f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4＋φ＋6．又当x ＝3时，y ＝8， 所以8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，结合|φ|<π2可得φ＝－π4，所以f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π4＋6．答案：f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π4＋6（三）解答题8．弹簧振子以O 为平衡位置，在B ，C 两点间做简谐运动，B ，C 相距20cm ，某时刻振子处在B 点，经0．5s 振子首次到达C 点，求：（1）振动的振幅、周期和频率；（2）弹簧振子在5s 内通过的路程及位移． 解析：（1）设振幅为A ，则2A ＝20cm ，所以A ＝10cm ．设周期为T ，则T2＝0．5s ，所以T ＝1s ，所以f ＝1Hz ．（2）振子在1s 内通过的距离为4A ，故在5s 内通过的路程s ＝5×4A ＝20A ＝20×10＝200（cm ）．5s 末物体处在B 点，所以它的位移为0cm ．9．交流电的电压E （单位：V ）与时间t （单位：s ）的关系可用E ＝2203sin （100πt ＋π6）来表示，求：（1）开始时电压；（2）电压值重复出现一次的时间间隔；（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解析：（1）当t ＝0时，E ＝1103（V ）， 即开始时的电压为1103V ．（2）T ＝2π100π＝150（s ），即时间间隔为0．02s ． （3）电压的最大值为2203V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值． 尖子生题库：10．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80mmHg 为标准值，设某人的血压满足方程式P （t ）＝115＋25sin （160πt ），其中P （t ）为血压（mmHg ），t 为时间（min ），试回答下列问题：（1）求函数P （t ）的周期； （2）求此人每分钟心跳的次数； （3）画出函数P （t ）的草图；（4）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．解析：（1）由于ω＝160π代入周期公式T＝2πω，可得T＝2π160π＝180（min），所以函数P（t）的周期为180min．（2）函数P（t）的频率f＝1T＝80（次/分），即此人每分钟心跳的次数为80．（3描点、连线并左右扩展得到函数P（t）的简图如图所示．（4）此人的收缩压为115＋25＝140（mmHg），舒张压为115－25＝90（mmHg），与标准值120/80mmHg相比较，此人血压偏高．。
人教A版高中同步学案数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 函数的应用(二)函数的零点与方程的解
所示.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数()只有一
个零点.
1
（3）() = 2 + lg( + 1) − 2.
解（方法1）∵ (0) = 1 + 0 − 2 = −1 < 0,(2) = 4 + lg 3 − 2 = 2 + lg 3 > 0,
∴ () = 0在(0,2)内必定存在实根.
C.(−1,1)和(1,2)D.(−∞, −3)和(4, +∞)
[解析]易知() = + + ( ≠ )的图象是一条连续不断的曲线,又
(−)(−) = × (−) = − < ,所以()在(−, −)内有零点,即方程
+ + = ( ≠ )在(−, −)内有根,同理,方程 + + = ( ≠ )在
( )
( )
∵
= + = − < ,( ) = + = − < ,
= + = − + = − ,() =
> ,∴ > ,即 − > ,∴ ( ) > ,
() = − − 有2个不同的实根,即函数()的图象与直线
= − − 的图象有2个交点.作出直线 = − − 与函数
1 = ()和2 = ℎ()的图象,则两个图象公共点的个数就是函数 = ()零点的个数.
沪科版数学九年级上册 21.4二次函数的应用-学案
二次函数的应用【学习目标】1．会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题。
2．经过面积、利润等最值问题的学习，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累解题经验。
3．根据给出的函数解析式，应用二次函数的知识解决实际问题。
4．经历解决实际问题，再应用于实践，能够对问题的变化趋势进行分析。
根据函数图象确立函数关系式，解决实际问题。
5．熟练应用二次函数的知识解决实际问题。
6．通过对实际问题的分析，建立二次函数的模型，解决实际问题。
【学习重难点】1．利用二次函数求实际问题的最值。
2．二次函数的最值问题和二次函数模型的建立。
3．应用二次函数的知识解决实际问题。
【学时安排】3学时【第一学时】 【学习过程】一、预习导航（一）链接。
1．在二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）中，当a >0时，有最_____值，最值为__________；当a <0时，有最_____值，最值为__________。
2．二次函数y=-(x-12)²+8中，当x=_____时，函数有最_____值为__________。
（二）导读。
在21.1问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？二、合作探究问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可买出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为40元，如何定价才能使利润最大？1．问题中定价有几种可能？涨价与降价的结果一样吗？2．设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价__________元，每件利润为__________元，每星期少卖__________件，实际卖出__________件。
所以Y=__________。
（0<X<30）何时有最大利润，最大利润为多少元？3．设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为__________元，每件利润为__________元，每星期多卖__________件，实际卖出__________件。
函数、函数应用学习小结学案
3.2.3 必修一第二、三章小结学习【学习目标】1.学会构建知识网络，理解各知识点的内在联系；运用这些知识解决实际问题；2.通过运用这些知识解决问题的过程，掌握求解问题的数学思想方法，培养分析问题、解决问题的能力；【学习重点】构建知识网络、掌握求解相关问题的思想方法； 【难点提示】灵活运用相关知识与方法解决数学问题.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、知识梳理与方法回顾1.前面我们学习了函数的概念、性质、几种基本函数等相关知识，请同学们自己构建知识网络，结合网络来回顾与巩固相关知识，对不很熟悉的各知识内容填写在空白处；2.请重视回顾“一次函数、反比例函数、二次函数、双勾函数、指数函数、对数函数、幂函数”的图象与性质，它们是高中数学的基本函数模型；3.从前面的学习中归纳一下有哪些函数的“二手结论”？（链接（一））函数函数定义基本初等函数图象与性质函数的应用表示法 单调性 奇偶性 最值 映射 二次函数 双勾函数 指数函数 对数函数 幂函数 反比例函数函数零点 函数与方程根的存在定理二分法 函数模型 及运用指数运算 对数运算反函数4.请同学们回顾、归纳到现在为止我们见过有关函数问题有哪些题型（链接（二））？5.解答有关函数问题的思想方法与套路怎样（链接（三））？6.解答有关函数问题有哪些易错点（链接（四））？二、基础练习下面是教材中典型的习题，请同学们定要翻阅教材，选择性的练练手（对不熟的题定要动动手、做一做）.（一）教材P24习题1.2A组10、B组2、3、4；选作：（二）教材P39习题1.3A组5、6、B组1、2、3；选作：（三）教材P44复习参考题A组4、6、10、B组1、2、3、4、5、6、7；选作：（四）教材P59习题2.1B组1、2、3、4；选作：（五）教材P74习题2.2A组7、8、10、B组1、2、3、4；选作：（六）教材P82复习参考题A组9、10、B组2、3、5、6；选作：（七）教材P92习题3.1A 组3、4、5、B 组3； 选作：（八）教材P107习题3.2A 组2、3、4、5、6、B 组1、2； 选作：（九）教材P112复习参考题A 组1、2、3、4、5、7、8、9、B 组2. 选作：三、典例赏析例 1.（04，江西）对一切实数x ,若二次函数2()()f x ax bx c a b =++<的值恒为非负数，则a b cM b a++=-的最小值是（ ）()3A ； ()2B ； 1()2C ； 1()3D . 解：解后反思 该题的题型怎样？求解的入手点、关键点、易错点在哪里？运用了哪些知识与思想方法？还有方法吗？变式练习 函数212()log ()f x x ax a =--在(3,1-上单调递增，且()f x 的值域为R ，则a 的取值范围是 .解：例2.设()f x 是定义在,∞+∞(-)上以2为周期的周期函数，对k Z ∈,用k I 表示区间(21,21)k k -+，已知当k x I ∈时，2()=f x x . （1）求()f x 在k I 上的解析式；（2）对自然数k ，求集合}{k m a =使方程()=f x ax 在k I 上有两个不想等的实根. 解：解后反思 该题的题型怎样？求解的入手点、关键点、易错点在哪里？运用了哪些知识与思想方法？还有方法吗？变式练习 设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上以2为周期的周期函数，对k Z ∈，用kI 表示区间(21,21]k k -+，已知当00x I ∈时，2()f x x =. (1) 求()f x 在k I 上的解析式.(2)对自然数k ，求集合{}k M a =使方程()f x ax =在k I 上恰有两个不相等的实根.解：例3.已知函数222()log(),()log ().a f x x ka g x x a =-=- （1）用,k a 表示()f x ，()g x 的公共定义域.（2）如果方程222log()log ()a x ka x a -=-有解，求k 的取值范围. 解：解后反思 该题的题型怎样？求解的入手点、关键点、易错点在哪里？运用了哪些知识与思想方法？还有方法吗？变式练习 已知函数22()log (2)a f x ax x a =++在[4,2]--上是增函数，则a 的取值范围为 解：三、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：通过本节课的学习你知识网络的构建有哪些感悟？教材中的典型题做了吗？本节课有哪些题型？运用了哪些数学思想方法求解的？求解应用问题的基本步骤怎样？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？四、学习评价1.若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+2.若221log 01aa a +<+,则a 的取值范围是（ ）. 1()(,)2A +∞ ()(1,)B +∞ 1()(,1)2C 1()(0,)2D 3.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⨯-，等于( )1()2A 1()2B - ()2C ()2D -4.设11()()1x f x f x x -==+，1()[()]n n f x f f x +=,记M 为22008()22f x x x =-+的实数解，则M 为( ).()A 空集 ； ()B R ； ()C 单元素集合 ； ()D 二元素集合.5.已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 ( )(A))+∞ ； (B))+∞ ； (C)(3,)+∞ ； (D)[3,)+∞.6.已知1x 是方程lg 27x x +=的解,2x 是方程1027xx +=的解,则12x x +=____. 7.已知函数f （x ）=3x b-（2≤x ≤4，b 为常数）的反函数图象过（1,2），则F （x ）=1212[()]()fx f x ---的值域为 ；8.定义在（-∞，+∞）上的偶函数f （x+1）=()f x -，且在[1,0]-上是增函数，下面是关于()f x 的判断：①()f x 是周期函数 ②()f x 的图象关于直线x=1对称 ③()f x 在[0,1]上是增函数 ④(2)f =(0)f 上面结论正确的是 ；9.已知函数()f x 的定义域是R 且(2)(1)()0f x f x f x +-++=11(1),(2)24f f ==， 则(2006)f = .【学习链接】 链接（一）. 函数的“二手结论”有：1.双钩函数()(0)af x x x x=+≠ 有：（1）f （x ）为奇函数；（2）当时，在上递增；当时，f （x ）在上为递减；在上为递增；2.若f （x ）为奇函数且在（a ，b ）上为增（或减）函数f （x ）在上也是增（或减）函数；3.若f （x ）为偶函数且在（a ，b ）上为增（或减）函数，则f （x ）在上是减（或增）函数；4.函数y=f （x ）的图象关于直线x=a 对称的充要条件是()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-；5.（1）两个奇（偶）函数之和、之差的函数仍为奇（偶）函数；（2）两个奇（偶）函数之积、商的函数为偶函数；（3）一个 奇函数与一个偶函数之积、商的函数为奇函数； （4）若其中一个是奇函数，另一个为偶函数，则其复合函数为偶函数；若两个奇（偶）函数复合的函数为奇（偶） 函数；6.两个单调函数的复合函数的单调性相关结论：（1）减与增复合的函数为减函数； （2） 减与减复合的函数为增函数；（3）增与增复合的函数为增函数；7.对称性与奇、偶性结合的结论：（1）y=f （x ）为偶函数⇔f （x ）的图象关于直线x=0对称；（2）y=f （x ）为奇函数⇔f （x ）的图象关于原点（0，0）对称；（3）y=f （x+a ）为偶函数()()f x a f a x ⇔+=-()y f x ⇔=的图象关于x=a 对称；（4）y=f （x+a ）为奇函数()()f x a f a x ⇔+=--()y f x ⇔=图象关于点（a ，0）对称；8.在反函数中的结论：（1）f=b ，，（a ，b 在相应的定义域之内）；（2）y=f （x ）与y=g （x ）互为反函数⇔两函数的图象关于y=x 直线对称；（3）若f （x ） =1()()fx y f x -⇔=的图象自身关于直线y=x 对称；（4）y=f （x ）与其反函数具有相同的单调性；（5）函数y=f （x ）在某区间是单调函数，则f （x ）一定存在反函数， 反之则不一定成立；（6）奇函数的反函数也是奇函数；偶函数不存在反函数；（7）复合函数的反函数为；9.关于对称变换的结论：（1）y=f （x ）与轴对称的两个图象；（2）y=f （x ）与关于y 轴对称（()()f x f x =-⇔偶函数）； （3）关于原点对称（()()f x f x =--⇔奇函数）；（4）()y f x =与1()y f x -=关于直线y=x 对称；（5）()y f x =与1()y f x -=-关于直线对称；（6）关于直线y 轴对称；（7）()y f x a =+与1()y f x a -=+关于直线y x a =+对称；（8）函数；（9）若()()()f a x f b x y f x +=-⇔=关于直线2a bx +=对称；（10）函数()y f x a =+与 ()y f b x =-关于2b ax -=；（11）y=f （x ）关于点（a ，b ）中心对称2(2)b y f a x -=-或 2(2)y b f a x -=--； （ 特例：y=f （x ）关于点（a ，0）对称()(2)0f x f a x ⇔++=或()()0f x a f a x ++-=）10.周期性与对称性相关重要结论：（1）f （x ）的周期2T r =()()f x r f x ⇔+=-； （2）f （x ）的周期2T r =()(0)()af x r a f x ⇔+=≠；（3）f （x ）的周期2T r =⇔ ()(0)()af x r a f x +=-≠；（4）()()()f x r f x r y f x +=-⇔=的周期为2T r =； （5）()1()()()1f x f x r y f x f x ++=⇔=-的周期为2T r =；（6）1()()1()f x f x r f x -+=⇔+ ()f x 的周期为2T r =；（7）（8）()1()1()f x f x r f x -+=⇔+则()f x 的周期为4T r =；（9）1()()1()f x f x r f x ++=-，则()f x 的周期4Y r =；（10）若（同偶）（11）（12）若分别为一奇、一偶时）f（x）是以下的周期函数；链接（二）. 目前我们见过有关函数问题的题型有：（1）与函数概念、基本性质、图象相关的判断题，选择的正确性；（2）求函数的定义域、值域（或某个函数值）；（3）根据有关具体函数的关系式（方程或不等式）求变量的范围；（4）比较某些函数（不一定是同一函数的函数值）值的大小；（5）判定函数零点的存在性、个数、范围、判定零点所在区间；（6）生活与函数，函数在生活与生产中的运用；（7）求函数的最值（值域、某变量的范围）；（8）给出某些条件，求函数的解析式，讨论相关方程根的范围；（9）根据解析式判断图象；根据图象求解析式，或求相关元素；（10）恒成立问题与存在性问题；（11）运用所学函数知识、数学思想方法解决创新问题；链接（三）. 解答有关函数问题套路：（1）确定函数的定义域，并用于整个解题过程之中；（2）化简解析式——等价变形；（3）探究已知函数的性质、作出函数草图；（4）联想相关知识点，如：相对应的方程（有时需要考查方程跟的情况）、联想交汇（相关）知识点的性质等；（5）判断题型，选择具体解题的的思想方法；（6）进行恰当、准确计算、推理，写出完整的言简意赅的解答步骤.解答有关函数问题的思想方法：（1）概念、定义法；（2）性质、公式、结论法；（3）直接推算法；（4）数形结合法；（5）分类讨论法；（6）分离法；（7）导数法；（8）反证法；（9）间接法（补集思想）；（10）化归转化法；（11）换元法；（12）复合函数内外函数分层、分段函数分段讨论法；（13）基本函数法；（14）特殊值法；（15）函数图象平移法；（16）逆向变换法；（17）观察法；（18）猜想验证法，等链接（四）. 解答有关函数问题的易错点：（1）忽视函数的定义域，忽视函数式的等价变形；（2）忽视函数的性质讨论与图象在解答过程中的重要地位；（3）分不清内外层函数，分层、分段解答时，忽视分层、分段的条件；（4）对函数的性质掌握不准确或模糊不清，不能灵活运用或用错；（5）混淆存在性问题与恒成立问题；（6）运用换元法时，忽视代换量的取值范围；（7）在运用题的建模中，没有耐心仔细阅读试题，不能深刻理解题意，造成设变量不准确、不能准确找到准确的等量与不等量关系；（8）确定单调区间时，该分的不分开，即没有理解单调性的局部性与整体性；（9）不重视解题策略，如：在对数、指数函数中，忽视三个区分点的作用；作图时，不会巧作，即不会运用平移的思想和性质法作图；（10）忽视函数式中隐藏的对称性在解题中的作用；（11）在分段函数中，忽视端点的取值在一段之中取，导致出错；（12）忽视决定和影响函数性质的各种因素是什么（如：决定和影响“双钩函数”ay xx=+的单调性的是a的取值；确定和影响函数的奇偶性的因素有解析式的特征和定义域）？。
8.2.2函数的实际应用(2)学案-2020-2021学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册
氾水高级中学2020-2021学年度高一数学导学活动单(90)课题函数的实际应用(2)学习目标1、能利用已知函数模型求解实际问题；2、能自建确定性函数模型解决实际问题；3、了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性。
教学过程学法指导活动一：问题诊断1、一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本为________2、将进价为8元的商品按10元一个销售时，每天可以卖出100个，若这种商品销售价每上涨1元，则销售量减少10个，为了获取最大利润，则此商品的售价应该定为________元。
3、已知A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50km/h的速度返回A地，汽车离开A地的距离S随时间t变化的关系式为____ ____4、某林场现有木材贮量3万立方米，如果每年平均增长5%，则林场木材贮量增加到4万立方米时，大约经过_____年。
(参考数据：lg 2＝0.301 0；lg 3＝0.477 1；lg 1.05＝0.021 2)活动二：活动探究类型一函数模型在生活中的应用例1、某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(单位：万元)、单位成本P(单位：万元)、销售收入R(单位：万元)以及利润L(单位：万元)关于总产量x (单位：台)的函数关系式。
类型二函数模型在物理中的应用例2、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Tα＝(T0－Tα)·12th ⎛⎫⎪⎝⎭，其中Tα表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88o C热水冲的速溶咖啡，放在24o C的房间中，如果咖啡降温到40o C需要20min，那么降温到35o C，需要多长时间(结果精确到0.1)？类型三建立拟合函数模型解决实际问题例3、在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x )，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3000x －20x2 (单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4000 (单位：元) ，利润是收入与成本之差，(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？。
学案 7.5 一次函数的简单应用(2)
学案 7.5一次函数的简单应用(2)班级 姓名【我们要掌握的】两个函数图象的交点坐标即为两个函数解析式联立的 的解. 1. 函数y ＝kx +b （k 、b 为常数）的图象如图所示，则关于x 的不等式kx +b >0的解集是………………………………………………（ ）A. x ＞0B. x ＜0C. x ＜2D. x ＞2 2. 直线y =2x －4与x 轴的交点坐标是 .3.对于一次函数y=－x +5,当y >0时, x 的取值范围是 .4. 已知直线y =2x －4和直线y =－3x +1交于一点(1,－2), 则方程组{2431x y x y -=+=的解是 .【我们要完成的】【例1】利用函数图象解二元一次方程组{2335x y x y -=-+=.经过这个题目，你有什么收获 【变式训练】1. 请在同一直角坐标系内作出一次函数y=－2x +3与正比例函数y =2x 的图象，直线y=－x +3与直线y =2x 的交点坐标是 _______，方程组 {232y x y x =-+= 的解是___ ___.【例2】甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A 地到B 地，行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图. 根据图象解决下列问题：(1) 谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？(2) 分别求出甲、乙两人的行驶速度；(3) 在什么时间段内，两人均行驶在途中(不包括起点和终y =-3x +5341-12yx2314-20y =12x +32点)？在这一时间段内，请你根据下列情形，分别列出关于行驶时间x 的方程或不等式(不化简，也不求解)：① 甲在乙的前面；② 甲与乙相遇；③ 甲在乙后面.经过这个题目，你有什么收获 【变式训练】2. 图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡. 使用这两种租书，租书金额y (元)与租书时间x (天)之间的关系如图所示.(1) 分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y (元)与租书时间x (天)之间的函数解析式；(2) 两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？ (3) 若两种租书卡的使用期限均为一年，则在这一年中如何选取这两种租书方式比较划算？随堂自测1.如图,直线y=kx+b 交坐标轴于A , B 两点，则不等式kx+b >0的解是（ ） A. x >－2 B. x >3 C. x <2 D. x <32.如图，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是…………………（ ）Oy （元）x （天）1002050租书卡会员卡1530 35 40xy （km ） 4O1l 2l 第4题图A ．11x y x y -=⎧⎨2-=⎩，B ．121x y x y -=-⎧⎨-=-⎩，C ．121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，D ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩，3.无论m 为何实数，直线y=x +2m 与y=－x +4的交点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4.某校组织七年级同学到距学校4km 的效外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，l 1，l 2分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y (km)与所用时间x (min)之间的函数图象，则以下判断错误的是………………………………（ ）A. 骑车的同学比步行的同学晚出发15minB. 骑车的同学用了35min 才到达目的地C. 步行的同学速度为6km/hD. 骑车的同学从出发到追上步行的同学用了15min 5.已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，当x <1时，y 的取值范围是…（ ） A. －2<y <0 B. －4<y <0 C. y <－2 D. y <－46. 已知函数y =－2x +8，当x 时，y >4；当x 时，y ≤－2.7. 如图，OA 、BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s 和t 分别表示运动路程和时间，根据图象判断8秒前甲在乙的 .(填”前面”或”后面”).8.如图，已知函数y =3x +b 和y =ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是_______________.9. 已知一次函数y =3x +p 和y=x+q 的图象都经过点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，求△ABC 的面积.10. 2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港．第7题图第5题2－4xy(1) 哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ (2) 在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？课堂小结：经过这堂课你有什么收获？ 创新应用17.如图9，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，由A →B →C →D 匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成的面积为y ，点P 运动的路程为x ，请解答下列问题：(1) 当x =1时，求y 的值；(2) 就下列各种情况，求y 与x 之间的函数关系式：①0≤x ≤4；②4<x ≤8；③8<x ≤12.(3) 在给出的直角坐标系(如图)中，画出(2)中函数的图像.A C DEB路程/千米时间/时1.5160.5 2.5214035200121648yx812416121648yx812416。
北师版(教师)八年级暑期学案：第 22 课时 一次函数的应用
第22 讲 一次函数的应用【学习重难点】重点：根据所给信息，利用待定系数法确定一次函数的表达式． 难点：在实际问题情景中寻找条件，确定一次函数的表达式． 【学习方法】自主探究 【学习过程】 模块一 一、学习1、若两个变量x 、y 间的对应关系可以表示成： （k,b 为常数，k 0）的形式，则y 是x 的 （x 是自变量，y 是因变量）。
特别地，当b=0时，称y 是x 的 。
2、作一个函数的图象需要三个步骤： 、 、 。
3、一次函数y=kx+b ，图象是经过 的一条 。
当k ＞0时，图象经过第 象限，y 随x 的增大而 ；当k ＜0时，图象经过第 象限，y 随x 的增大而 ； 二、精读1、已知正比例函数kx y =，当1=x ，2=y 时， 则______=k2、已知一次函数3-=kx y ，如果y 随x 的增大而减小，则它的图像经过（ ） A 、第二、三、四象限 B 、第一、二、三象限 C 、第一、三、四象限 D 、第一、二、四象限3、一次函数2-=x y 的图像与y 轴的交点坐标是________，将直线2-=x y 向_____平移_____个单位长度，得到直线x y =4、由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．干旱持续时间t (天)与蓄水量V (万米3)的关系如下图所示，回答下列问题： (1)干旱持续10天后，蓄水量为 ；连续干 旱23天后蓄水量为 。
(2)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警 报．干旱 天后将发出严重干旱警报。
(3)按照这个规律，预计持续干旱 天水库将干涸。
5.当得知周边地区的干旱情况后，育才学校的小明意识到节约用水的重要性．当天在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的积极响应．从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭数增加数量相同，最后全校师生都参加了活动，并且参加该活动的家庭数S （户）与宣传时间t （天）的函数关系如图所示．根据图象回答下列问题：（1）活动开始当天，全校有 户家庭参加了该活动。
学案3：3.3 函数的应用（一）~ 3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
3.3 函数的应用(一)~3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点考点 学习目标核心素养 一次函数模型 会建立一次函数模型解决实际问题 数学建模 二次函数模型 会建立二次函数模型解决实际问题 数学建模 分段函数模型会利用分段函数解决与之相关的实际问题数学建模f (x )＝x ＋ax (a ＞0)模型建立目标函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)的形式，然后利用均值不等式求解数学建模题型探究题型一 一次函数模型例1 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (单位：分)与通话费用y (单位：元)的关系如图所示：(1)分别求出通话费用y 1，y 2与通话时间x 之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜. 规律方法利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法.(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数. 跟踪训练 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km ，之后以120 km/h 的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式，并求火车离开北京2 h 时火车行驶的路程.题型二二次函数模型例2 有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值.规律方法二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点.解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题.跟踪训练渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 小于m，以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0).(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值.题型三分段函数模型例3 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)规律方法(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 跟踪训练 某旅游景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.旅游景区规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元.用x (单位：元，且x ∈N )表示每辆自行车的日租金，用y (单位：元)表示出租的自行车的日净收入.(注：日净收入等于每日出租的自行车的总收入减去管理费用) (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？题型四 f (x )＝x ＋ax(a ＞0)模型例4 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元).在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？规律方法应用均值不等式解实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)写出正确答案.跟踪训练 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 元.当堂检测1.一定范围内，某种产品的购买量y 与单价x 之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( ) A.820元 B.840元 C.860元D.880元2.某品牌电动车有两个连锁店，其月利润(单位：元)分别为y 1＝－5x 2＋900x －16 000，y 2＝300x －2 000，其中x 为销售量.若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为( ) A.11 000元 B.22 000元 C.33 000元D.40 000元3.某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x (x ∈N *，x ≤40)本，则总费用f (x )与x 的函数关系式为 (代金券相当于等价金额). 解析：当0＜x ＜10时，f (x )＝40x ；当10≤x ＜20时，f (x )＝35x －10；当20≤x ≤40时，f (x )＝30x －20.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40x ，0＜x ＜10，35x －10，10≤x ＜20，(x ∈N *).30x －20，20≤x ≤404.如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.参考答案题型探究例1 解 (1)由图像可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30，35)，C (30，15)分别代入y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，得k 1＝15，k 2＝12.所以y 1＝15x ＋29(x ≥0)，y 2＝12x (x ≥0).(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x ＜9623时，y 1＞y 2，使用“便民卡”便宜；当x ＞9623时，y 1＜y 2，使用“如意卡”便宜.跟踪训练 解 因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝115(h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km ，所以火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式为s ＝13＋120t ⎝⎛⎭⎫0≤t ≤115. 火车离开北京2 h 时火车匀速行驶的时间为2－16＝116(h)，此时火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233(km).例2 解 设小矩形的长为x ，宽为y ，窗户的面积为S ， 则由图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ， 所以6y ＝l －(9＋π)·x ，所以S ＝π2x 2＋4xy ＝π2x 2＋23x ·[l －(9＋π)·x ]＝－36＋π6x 2＋23lx ＝－36＋π6·⎝⎛⎭⎫x －2l 36＋π2＋2l 23(36＋π).要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S 最大. 由6y ＞0，得0＜x ＜l9＋π.因为0＜2l 36＋π＜l9＋π，所以当x ＝2l 36＋π，y ＝l －(9＋π)x 6＝l (18－π)6(36＋π)，即x y ＝1218－π时，窗户的面积S 有最大值，且S max ＝2l 23(36＋π).跟踪训练 解 (1)根据题意知，空闲率是m －x m ，故y 关于x 的函数关系式是y ＝kx ·m －xm ，0≤x ＜m .(2)由(1)知，y ＝kx ·m －x m ＝－k m x 2＋kx ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋mk 4，0≤x ＜m ，则当x ＝m2时，y 取得最大值，y max ＝mk4. 所以鱼群年增长量的最大值为mk4.例3 解 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为 v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20＜x ≤200.(2)依题意并结合(1)可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，f (x )在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1 200； 当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立.所以当x ＝100时，f (x )在区间(20，200]上取得最大值10 0003. 综上可得，当x ＝100时，f (x )在区间[0，200]上取得最大值10 0003≈3 333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时. 跟踪训练 解 (1)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，y ＝50x －115. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N .(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113， 所以当x ＝11时，y max ＝270.综上，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元. 例4 解 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得：当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3； 当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元， 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x 时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元.因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元. 跟踪训练 160【解析】设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m.又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x ＞0).因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元). 当堂检测1. C【解析】设y ＝kx ＋b ，则1 000＝800k ＋b ，且2 000＝700k ＋b ，解得k ＝－10，b ＝9 000，则y ＝－10x ＋9 000.解400＝－10x ＋9 000，得x ＝860(元). 2. C【解析】设两个店分别销售出x 与110－x 辆电动车，则两店月利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x )－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，所以当x ＝60时，两店的月利润取得最大值，为33 000元.3. f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40x ，0＜x ＜10，35x －10，10≤x ＜20，(x ∈N *)30x －20，20≤x ≤404. 解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件，知x ＞0，k ＞0， 故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ＝20⎝⎛⎭⎫k －1k2＋2≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号.所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标等价于存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根， 所以Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6， 所以当它的横坐标a 不超过6 km 时，可击中目标.。
高中物理函数应用教案全册
高中物理函数应用教案全册
第一课：引言
目标：了解物理函数应用的重要性和意义。
第二课：函数的概念
目标：学习函数的基本概念，了解函数的定义和性质。
第三课：函数的图像
目标：学习如何根据函数的相关信息绘制函数的图像，掌握函数图像的基本特点。
第四课：函数的变化
目标：学习函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性等性质。
第五课：函数的应用
目标：探讨函数在物理问题中的应用，学习如何利用函数解决实际问题。
第六课：函数的求导
目标：介绍函数的求导概念，学习如何求函数的导数。
第七课：函数的积分
目标：介绍函数的积分概念，学习如何求函数的不定积分。
第八课：函数的微分方程
目标：学习如何利用微分方程描述物理现象，探讨微分方程在物理问题中的应用。
第九课：复习与总结
目标：复习本册课程内容，总结所学知识，并进行综合应用练习。
第十课：考试与评估
目标：进行期末考试，评估学生对物理函数应用的掌握程度。
通过以上教案设计，学生可以系统地学习和掌握物理函数应用的相关知识，提高解决实际问题的能力和水平，为将来的学习和工作打下坚实的基础。
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.4函数的应用(一)含解析
3.4函数的应用(一)【素养目标】1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(数学抽象)2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学建模)【学法解读】1．学生应理解如何用函数描述客观事物的变化规律，体会函数与现实世界的联系．2．会用已学过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数处理有关实际应用问题．必备知识·探新知基础知识知识点1一次函数模型形如y＝kx＋b的函数为__一次函数模型__，其中k≠0.知识点2二次函数模型(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a(a≠0)．(3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．知识点3幂函数型模型(1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)．(2)单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．基础自测1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足m＝120－2x.若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为(B)A．30元B．45元C．54元D．越高越好[解析]设日销售利润为y元，则y＝(x－30)(120－2x)，30≤x≤60，将上式配方得y ＝－2(x －45)2＋450，所以当x ＝45时，日销售利润最大．2．A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地．(1)试把汽车与A 地的距离y (单位：千米)表示为时间x (单位：小时)的函数；(2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离A 地100千米时x 的值．[解析] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ，x ∈[0，52]，150，x ∈(52，72]，150－50(x －72)，x ∈(72，132]. (2)当y ＝100时，60x ＝100或150－50(x －72)＝100，解得x ＝53或x ＝92.即当x ＝53或x ＝92时汽车距离A 地100千米．关键能力·攻重难题型探究题型一 一次函数模型例1 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份．若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？[分析] 设每天从报社买进报纸的数量为x 份，若使每月所获得的利润最大，则250≤x ≤400，每月所赚的钱数＝卖报收入的总价－付给报社的总价，而收入的总价分为三部分：①在可卖出的400份的20天里，收入为(0.5x ×20)元；②在可卖出250份的10天里，在x 份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为(0.5×250×10)元；③没有卖掉的[(x －250)×10]份报纸可退回报社，报社付的钱数为[(x －250)×0.08×10]元．注意要写清楚函数的定义域．[解析] 设每天应从报社买进x 份报纸，由题意知250≤x ≤400，设每月所获得的利润为y 元，根据题意得：y ＝0.5x ×20＋0.5×250×10＋(x －250)×0.08×10－0.35x ×30＝0.3x ＋1 050，x ∈[250,400]．因为y ＝0.3x ＋1 050是定义域上的增函数，所以当x ＝400时，y max ＝120＋1 050＝1 170(元)．故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大为1 170元．[归纳提升] 建立一次函数模型，常设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，然后用待定系数法求出k ，b 的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．【对点练习】❶ 一辆匀速行驶的汽车90 min 行驶的路程为180 km ，则这辆汽车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数解析式是( D )A ．y ＝2tB ．y ＝120tC ．y ＝2t (t ≥0)D ．y ＝120t (t ≥0)[解析] 因为90 min ＝1.5 h ，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h ，则路程y (km)与时间t (h)之间的函数解析式是y ＝120t (t ≥0)．题型二 二次函数模型例2 A ，B 两城相距100 km ，拟在两城之间距A 城x km 处建一发电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若每月向A 城供电20亿度，每月向B 城供电10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成关于x 的函数；(3)发电站建在距A 城多远处，能使供电总费用y 最少？[分析] 根据发电站与城市的距离不得少于10 km 确定x 的取值范围，然后根据正比例关系确定y 关于x 的函数解析式，最后利用配方法求得最小值．[解析] (1)x 的取值范围为{x |10≤x ≤90}．(2)y ＝0.25×x 2×20＋0.25×(100－x )2×10＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)． (3)由于y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003，则当x ＝1003时，y 取得最小值，y min ＝50 0003. 故发电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最小． [归纳提升] 二次函数模型的应用根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． 【对点练习】❷ (2019·江苏省徐州市高一期中)某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为：R (x )＝5x －12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是年产量(单位：百台)．(1)将利润表示为关于年产量的函数；(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？[解析] (1)依题意得，利润函数G (x )＝(5x －12x 2)－(0.5＋0.25x )＝－12x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)．(2)利润函数G (x )＝－12x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)，当x ＝4.75时，G (x )有最大值．故当年产量为4.75百台时，企业所得利润最大．题型三 幂函数模型 例 3 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？[解析] (1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x 的函数关系式分别为f (x )＝k 1x (x ≥0)，g (x )＝k 2x (x ≥0)，结合已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2， 所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资稳健型产品x 万元，则投资风险型产品(20－x )万元，依题意得获得收益为y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)，令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则x ＝20－t 2， 所以y ＝20－t 28＋t 2＝－18(t －2)2＋3， 所以当t ＝2时，即x ＝16时，y 取得最大值，y max ＝3.故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．[归纳提升] 幂函数模型有两个：y ＝kx n (k ，n 是常数)，y ＝a (1＋x )n (a ，n 是常数)，其中y ＝a (1＋x )n 也常常写作y ＝N (1＋p )x (N ，p 为常数)，这是一个应用范围更广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长等方面都会用到该函数模型，我们平时用这两个函数模型时注意区分．【对点练习】❸ 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3 cm 的管道中，流量速率为400 cm 3/s.求该气体通过半径为r cm 的管道时，其流量速率R 的解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm ，计算该气体的流量速率．(结果保留整数)[解析] (1)由题意，得R ＝kr 4(k 是大于0的常数)．(2)由r ＝3 cm ，R ＝400 cm 3/s ，得k ·34＝400.所以k ＝40081，流量速率的解析式为R ＝40081r 4. (3)因为R ＝40081r 4， 所以当r ＝5 cm 时，R ＝40081×54≈3 086(cm 3/s)． 题型四 分段函数模型例4 (2019·南京一中期中)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)函数为R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，其中x 是仪器的产量(单位：台)． (1)将利润f (x )(单位：元)表示为产量x 的函数(利润＝总收益－总成本)；(2)当产量x 为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？[分析] (1)利润＝收益－成本，由已知分0≤x ≤400和x >400两段求出利润函数的解析式；(2)分段求最大值，两者中大者为所求利润最大值．[解析] (1)当0≤x ≤400时，f (x )＝400x －12x 2－100x －20 000＝－12x 2＋300x －20 000；当x >400时，f (x )＝80 000－100x －20 000＝60 000－100x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12x 2＋300x －20 000＝－12(x －300)2＋25 000， 当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.当x >400时，f (x )＝60 000－100x <f (400)＝20 000<25 000.所以当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.故当产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元．[归纳提升] 应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”)．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域)．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)．【对点练习】❹ 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4 t 时，每吨3元，当用水量超过4 t 时，超过部分每吨4元．现甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x t,3x t.(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)若甲、乙两户该月共交水费40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．[解析] (1)当甲户用水量不超过4 t ，即5x ≤4时，乙户用水量也不超过4 t ，y ＝(5x ＋3x )×3＝24x ；当甲户的用水量超过4 t 而乙户的用水量不超过4 t ，即5x >4且3x ≤4时，y ＝4×3＋3x ×3＋4×(5x －4)＝29x －4；当甲、乙两户的用水量均超过4 t ，即3x >4时，y ＝4×3×2＋(5x －4)×4＋(3x －4)×4＝32x －8.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 24x ，0≤x ≤45，29x －4，45<x ≤43，32x －8，x >43.(2)由于函数y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，所以当x ∈[0，45]时，y ≤f (45)＝19.2<40. 当x ∈(45，43]时，y ≤f (43)＝3423<40. 故x ∈(43，＋∞)．令32x －8＝40，解得x ＝1.5， 所以5x ＝7.5，甲户用水量为7.5 t ，应付水费y 1＝4×3＋(7.5－4)×4＝26(元)；3x ＝4.5，乙户用水量为4.5 t ，应付水费y 2＝4×3＋(4.5－4)×4＝14(元)．误区警示忽视实际问题中的定义域例5 东方旅社有100张普通客床，当每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出．依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多，每床每夜应提高租费多少元？[错解] 设每床每夜提高租费x (x ∈N ＋)次2元，则可租出(100－10x )张客床，可获得利润y 元，依题意有y ＝(10＋2x )·(100－10x )，即y ＝－20(x －52)2＋1 125. 所以当x ＝52时，y max ＝1 125. [错因分析] 本题忽略了变量参数的实际意义x ∈N ＋.[正解] 设每床每夜提高租费x (x ∈N ＋)次2元，则可租出(100－10x )张客床，可获得利润y 元，依题意有y ＝(10＋2x )·(100－10x )，即y ＝－20(x －52)2＋1 125. 因为x ∈N ＋，所以当x ＝2或x ＝3时，y max ＝1 120.当x ＝2时，需租出客床80张；当x ＝3时，需租出客床70张．因为x ＝3时的投资小于x ＝2时的投资，所以取x ＝3，此时2x ＝6.即当每床每夜提高租费6元时，投资少且又能获得最高租金．[方法点拨] 解函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义．学科素养数学建模——函数模型的选择例6 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出三种函数模型：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝ab x ＋c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？[分析] 本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．[解析] 由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为A (1,1)，B (2,1.2)，C (3,1.3)，D (4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时，将B ，C 两点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1.32a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的．(2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝14a ＋2b ＋c ＝1.29a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.05b ＝0.35c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x ＝3.5)，不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①，得ab ＝1－c ，代入②③，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ b (1－c )＋c ＝1.2b 2(1－c )＋c ＝1.3，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1.2－b 1－b c ＝1.3－b 21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝0.5c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8. 所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x ＋1.4模拟比较接近客观实际．[归纳提升] 本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．课堂检测·固双基1．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(D)A．2 000套B．3 000套C．4 000套D．5 000套[解析]设利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0，解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是(D)A．投资3天以内(含3天)，采用方案一B．投资4天，不采用方案三C．投资6天，采用方案一D．投资12天，采用方案二[解析]由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．3．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为(A)A．3 m B．4 mC ．6 mD ．12 m[解析] 设矩形的长为x ，则宽为14(24－2x )，则矩形的面积为 S ＝14(24－2x )x ＝－12(x 2－12x )＝－12(x －6)2＋18，所以当x ＝6时，矩形的面积最大，此时隔墙的长度应为3 m.4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)． 已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( D )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16[解析] 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入c A＝15，得A ＝16.。
二次函数的应用（3）（学案）
1.利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个解.若有解，求出它的解（精确到0.1）.(1)01212=+-x x . (2)0132=+-x x .【答案】(1)作出函数1212+-=x x y 的图像（图略），可知方程01212=+-x x 没有解. (2)作出函数132+-=x x y 的图像（图略），可知方程0132=+-x x 有两个解.可得两解为..,.624021≈≈x x2.用两种不同的图解法求方程0522=--x x 的解（精确到0.1）.【答案】解法一：作出函数522--=x x y 的图象观察图象（如下图），与曾轴交点的横坐标可得方程的解为..,.434121≈-≈x x解法二：分别作出函数2x y =与52+=x y 的图象（如下图），观察函数图象交点的横坐标，可得方程的解为..,.434121≈-≈x x3.某拱形门建筑的形状是抛物线援若取拱形门地面上两点的连线为x 轴，它可以近似地用函数194979722+--=)(x y 表示（单位：m ）援问：拱形门底部大约有多宽？有多高？ 【答案】令0=y ，则0194979722=+--)(x ，解得.,194021==x x ∴拱形门大约194m 宽，194m 高.4.某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长＞50m ），中间用一道墙隔开（如图）.已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m ，设两间饲养室合计长x （m ），总占地面积为y （m 2）.(1)求赠关于曾的函数表达式和自变量的取值范围.(2)画出函数的图象.(3)利用图象判断：若要使两间饲养室占地总面积达到200m 2，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到210m 2吗？【答案】(1),x x y 350312+-=其中.500<<x (2)图略.(3)当200=y 时，可得20=x 或.30=x∴各道墙的长度分别为20m,10m 或30m ，320m 时,y 有最大值2103625<， ∴占地总面积不可能达到210m 2.5.已知一个二次函数的图象与曾轴的交点为（－2，0），（4 ，0 ），且顶点在函数y ＝2x 的图象上.求这个二次函数的表达式.【答案】设所求函数表达式为).)((42-+=x x a y 顶点的横坐标为x =1，则顶点的纵坐标为y=2.把顶点坐标（1，2）代入上述表达式，得2=-9a ，∴92-=a .所以所求函数表达式为))((4292-+-=x x y .。
高一数学同步训练之13函数的应用学案
０.函数的应用知识梳理1．常见函数模型2．构建函数模型的基本步骤例题1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C 点到城A的距离为x km，建在C 处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.⑴将y表示成x的函数；⑵讨论⑴中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
2.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x万元。
假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。
试写出y关于x的函数关系式3.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？4.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。
已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。
函数模型的应用学案
3.2.2 函数模型的应用实例【学习目标】1.通过实例探究，会视图与读表，并从图表、文字等材料中挖掘数据及其数量关系；能利用数据及其数量关系建立模型并解决实际问题；2.通过实例探究，培养分析问题、提出问题、解决问题的能力；体会与感悟几种函数的应用价值；3. 通过实例探究，体会数学与物理学、社会学的联系，函数思想在现实社会生活中的社会价值，培养同学们的学习兴趣和探究意义.【学习重点】 建立函数模型解决实际问题【难点提示】 怎样分析实际问题、灵活选择和构建数学模型解决问题．【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材101113P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细 阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备1.前面我们学习了函数的概念、性质、几种基本函数等相关知识，请同学们自己构建知识网络，结合网络来回顾与巩固相关知识，对不很熟悉的各知识点；2.请重点回顾“一次函数、反比例函数、二次函数、双勾函数、指数函数、对数函数、幂函数”的图象与性质；3.回顾在前面的学习中遇到过那些题型，运用过哪些思想方法求解、求解的入手点、套路怎样？在求解函数问题要注意一些什么问题？易错点在哪里？4.上节课“几类不同增长的函数模型”求解问题的步骤 （链接1） 二、实践与探究●观察实践 （1）某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y （元）表示为茶杯个数x （个）的函数 ，其定义域为 ．实践：（2）建筑一个容积为36000m ，深为6m 的长方体蓄水池，池壁的造价为a 元/2m ，池底的造价为2a 元/2m ，把总造价y （元）表示为底的一边长()x m 的函数．实践：（3）计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是 元.实践：实践反思 根据上述问题中的数量关系具有怎样的函数模型，我们是如何建立函数模型的？建立函数模型的步骤怎样？图 3.2.2-1图3.2.2— 2图3.2.2—3●归纳概括 你能从上面几个“观察实践”中感悟与归纳出由实际问题建立数学模型的步骤与方法 （链接2）. 三、典例赏析例1（教材P102例3）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图3.2.2—1所示.（1）求中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义.（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 s km 与时间 t h 的函数解析式，并作出相应的图像.思路启迪：该图像在[0,1)t ∈时为一平行于x 的线段，这是什么意思？这一段对应阴影部分的面积是什么含义？结合物理知识就能明白．解：●解后反思 该题的题型，其数量关系用什么形式给出的？从这个题当中你体会到如何读图了吗？你能根据图3.2-7作出汽车行驶路程关于时间的变化图象吗?●变式练习 1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如图3.2.2—2所示，那么图象所对应的函数模型是( )A.分段函数；B.二次函数；C.指数函数；D.对数函数． 解：2.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系图象如图3.2.2—3，则t ＝2时，汽车已行驶的路程为( )kmA.100 ；B.125 ；C.150 ；D.225． 解：例2（教材P103例4）人口问题时当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus ，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：0r ty y e ⋅=，其中t 表示经过的时间，0y 表示0t =时的人口数，r 表示人口的年平（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符.（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？思路启迪: 1950~1959年我国的人口的年平均增长率r 的计算是解决此问题的关键.然后将r ，0y 的值代入自然状态下的人口增长模型：0r ty y e ⋅=而求得.解：●解后反思 已知函数模型，怎样把题中实际问题的量与函数模型中的量联系起来？ ●变式练习 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用)(x f 表示学生掌握和接受概念的能力()(x f 值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-)3016(,1073)1610(,59)100(,436.21.02x x x x x x . (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解：例3（教材P104例5）某桶装水经营部每天的房租.人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表3-9所示.请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？思路启迪:表中信息表明销售单价每提高1元，日均销售量将减少40桶，因而销量与定价间的函数关系是线性关系.然后再利用:(利润=销售额-总成本)建立函数关系，通过求最大值来解决问题.解：●解后反思该题的题型，其数量关系用什么形式给出的？从这个题当中你体会到如何读表了吗？●变式练习某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括第30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式.(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的函数关系式.(3)用y (万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少．解：例4(教材P105例6)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？思路启迪:先根据表中数据画出散点图，再根据散点图的分布情况确定拟合函数，然后用什么方法求得函数解析式呢？求得函数的解析式即为函数模型的解析式.解：●解后反思没有函数模型，我们怎么去选择一个函数模型来解决问题？●变式练习为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察.(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象.(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象.(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm ，则可以灌溉土地多少公顷？解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：你能利用数据及其数量关系建立数学（函数）模型并解决实际问题了吗？求解应用问题要注意哪些问题？求解的关键点、步骤怎样？本节课见过那些题型？用到了哪些数学思想方法？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节数学课的阳光美丽在哪里吗？五、学习评价1.某物体一天中的温度T 是时间t 的函数：3()360T t t t =-+，时间单位是小时，温度单位是C，0t =时表示12:00，其后t 取值为正，则上午8时的温度为 （ ）A.8C； B.18C； C.58C ； D.128C.2.某学生离开家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴y 表示离开家的距离，横轴x 表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生走法的是（ ）.3.某厂1992年的产值为a 万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2004年的产值（万元）为（ ）．A.13(15%)a +； B.12(15%)a +； C.11(15%)a +； D.1210(15%)9a-. 4.某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )．A.200副；B.400副；C.600副；D.800副．5.某宾馆共有客床100张，各床每晚收费10元时可全部住满，若每晚收费每提高2元，便减少10张客床租出，为了获得最大利润，每床每晚收费应提高( )A.10元；B.8元；C.6元；D.2元．6.为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a 与其前三个月的市场收购价格有关，且使a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小. 下表列出的是该产品前6个月市场收购价格. 试问7月份该产品的市场收购价格定为多少时较为合理？解：7.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲.乙两用户共交水费y 元，已知甲.乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨． (1)求y 关于x 的函数.(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.4元，分别求出甲.乙两用户该月的用水量和水费． 解：8.教材P104练习第2题、教材P107习题3.2A 组第3题. 【学习链接】链接1.具体内容见上节课学案与教材P106，现可浓缩在右图，请用心体会它；链接 2.下面是由实际问题建立数学模型的步骤与方法，请你仔细阅读，并结合实例细心体会．图表中的第一步：实际问题――→分析、联想抽象、转化建立函数模型，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型， 因此，这一步称之为数学化；第二步：建立函数模型――→数学推演数学结果，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题．因此，这一步称之为数学解决；第三步：数学结果――→反译实际结果，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论．课外阅读与练习1.我市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长.已知2000年为第一年，前4年年产量()f x (万件)如下表所示：（1）画出2000～2003年该企业年产量的散点图.建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之.（2）2006年(即7x =)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？解：2.现测得(x ，y )的两组值为(1，2)，(2，5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3，10.2)，则应选用______作为拟合模型较好．解;3.某物体在一天中8：00到16：00的温度T 是时间t 的函数：2()(0)T t at bt c a =++≠其中温度的单位是℃，时间单位是h ，0t =表示12：00，t 取正值表示12：00以后，若测得该物体在8：00的温度是8℃，在12：00的温度是60℃，在13：00的温度是58℃，则()T t = .解：4.地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷.0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y 万公顷关于年数x 的函数关系较为近似的是( )．A. y ＝0.2x ；B. y ＝110( x 2＋2x )； C. y ＝102x ； D.y ＝0.2＋log 16x ．解：5.某地西红柿从今年2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位为：元/100kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如表：（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 间的关系（ ）A.Q at b =+；B.2Q at bt c =++； C.tQ a b =⋅； D.log b Q a t =⋅. （2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. 解：6.某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边，上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t 为出发后的某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示S ＝f (t )的函数关系的为( ) 解：7.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：21400(0400)()280000(400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x 是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数(用()f x 表示).(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)解：8.某公司今年1月份推出新产品A ，其成本价为492元/件，经试销调查，销售量与销由此可知，销售量y (件)与销售价 (元/件)可近似看作一次函数y ＝k x ＋b 的关系(通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确)．试问：销售价定为多少时，1月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量． 解：。
人教A版高中同步学案数学必修第一册 第四章指数函数与对数函数 函数的应用(二)用二分法求方程的近似解
②若()() < 0(此时0 ∈ (, ))，则令______；
=
③若()() < 0(此时0 ∈ (, ))，则令______.
（4）判断是否达到精确度:若| − | < ，则得到零点近似值(或)；否则重复步骤
（2）～（4）.
过关自诊
1.是否所有的函数的零点都可以用二分法求解？
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用（二）
4.5.2 用二分法求方程的近似解
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
【课标要求】1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.2.能借助计算工具
用二分法求方程近似解.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性.
01
基础落实·必备知识全过关
1.257 812 5
−0.010 0
(1.257 812 5,1.265 625)
因为区间(1.257 812 5,1.265 625)的长度为
1.265 625 − 1.257 812 5 = 0.007 812 5 < 0.01,
3
所以 2的近似值可以取1.265 625.
规律方法1.求根式的近似值,实质上就是将根式转化为方程的无理根,再转化为函数的
规律方法 1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找
到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真
正的零点.
2.只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分
法”求函数零点.
变式训练1（1） 下列函数中,不能用二分法求零点的是( C
点值就可以作为其近似值,所以其近似值可取−2.125.
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函数的应用(2)【复习目标】：1 •用函数的观点、方法去分析、解决常见问题，包括函数、方程、不等式等问题.2 •用数形结合思想与化归转化思想处理有关函数综合问题. 【教学重点】：函数性质的应用及数形结合思想与化归转化思想 【教学难点】：函数、方程、不等式综合应用问题 【课前预习】：c 、a 1D 、a 12•若关于x 的方程 4 x 2 kx 3 2k 范围是,0］上是增函数，且f(1)=0，则满足xf(x)<0的x 的取值的范围为()A 、(-1,1)B 、[-1,1]C 、 , 1 U 0,1D 、 1,0 U 1,4.对于满足O W p W 4的实数p,使x 2+px>4x+p-3恒成立的x 的取值范围是 __________________ 【典型例题】：kx 1例1：已知函数f(x) lg, ( k >0),x 1(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 若函数f(x)在区间［10, +8 )上是增函数，求实数 k 的取值范围。
(1)当 0 k 1时，x (-,1) U( 1,), k 当 k = 1 时，x (,1)U(1,) k 1时，x ( ,-)U(1,) k1 (2) k 11•函数f(x)为奇函数的充要条件是A • 2 3B •2,112 412C . 0,1525 120有且只有两个不同的实数根，则实数(k 的取值3.已知偶函数f(x)在(10例2:若函数f (x )对定义域中任意x均满足f(x) f (2a x) 2b,则称函数y f (x)的图象关于点(a, b)对称.2 x mx m(1) 已知函数f(x) 的图象关于点(0, 1)对称，求实数m的值；x(2) 已知函数g (x)在(一3 0) (0, +s)上的图象关于点(0, 1)对称，且当x€( 0, + 8)时，g(x) x ax 1，求函数g (乂)在(一a, 0)上的解析式；(3) 在(1)、(2)的条件下，当t>0时，若对实数任意x€ (一8, 0),恒有g(x) f (t)成立，求实数a的取值范围.例3:已知二次函数 (1)若方程f (x)f (x)的二次项系数为a ，且不等式 7a 有两个相等的实数根，求f (x) 2x 的解集为f (x)的解析式；(1,3).(2)若函数g x解: (1) Q f(x) 因而 f (x) a(x 由 f(x) 7a 0 2x 1)(x 得 aJ30的解集为(1,3),3)ax 2 f (x)在区间2x 2(1 内单调递减，求a 的取值范围; •••可设 ax 22(1 a)x 4a 4(1 a)2 1a)x 0 16a 2 f (x) 2x a(x3a ① ②即3a 2 2a 1)(x 3),且 a 0 ,解得a 1或a 一由于a 3f(x)2x 4x 3.(2)g x x f (x) =. /•- g x 3ax 24 1由于a 0,对称轴x(舍去)，将a 3 代入① f (x)的解析式 2(1 a)x 23a 在3ax , v在区间内单调递减,，旦上的函数值非正,32a 0, • a 4 1 a故所求a 的取值范围是 3a90 ,故只需g /3a 3(舍去)3a 0 ,注意到例4 :已知函数f (x) x求g 2(x) , g 3(x)的表达式，并猜想 (1) (2) 若关于x 的函数y1, x 2设 g 1(x)g n (x)f(x), g n (x) (n N f (g n 1(x)) (n)的表达式(直接写出猜想结果)1,n N )值。
(1) Q g 1(x) f (x)ng i (x)(n i 1N )在区间 (,1］上的最小值为6,求n 的g 2(x)f©(x)) f(x 1) (x 1) 1 x 20,a x 2 a •••方程②有两个相等的根，• ax 3【命题展望】：1. （07福建）已知函数f x 为R 上的减函数，则满足f f 1的实数x 的取值范围是（ ）A. 1,1 B. 0,1 C. 1,00,1 D., 11,2. （07重庆）已知定义域为 R 的函数f x 在区间8, 上为减函数，且函数 y f X 8为偶函数，则（）A. f 6 f 7B. f 6 f 9C. f 7 f 9D. f 7 f 103. 设1,1, ^,3，则使函数y x 的定义域为R 且为奇函数的所有 的值为（ ）2A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,34. （07安徽）若对任意 x R,不等式x > ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（） D. a > 1 2x 2 ，③ f x cos x 2f x 2是偶函数；命题乙：f x 在区间 ,2上是减函数，在区间2, 上是增函数；命题丙：f x 2 f x 在能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）A.①③B. ①②C. ③D. ②A. a < -1B.aw 1 C.av 1 5. （ 07北京）对于函数①x lg x 21 ,②f 『xg 3(x) f(g 2(x))(2)Q g n (x) xf(x 2) (x 2) 1 x 3,nn , g i (x) g i (x) g 2(x)i 1猜想 g n (x) x nL L g n (x) nx咛y (1) (2) nx 2g i (x) i 1当n1,即2当x 1时，当n1,即2x 2 nxn(n 1) 2/ n 2 (x 2)n 2 2n 4n 2时，函数y2nn 2ymin2（x -）2n眇在区间（，1］上是减函数246，即n 2 n 100，该方程没有整数解2n 2 2n 46，解得n 4，综上所述,上是增函数n 2 时，y min判断如下三个命题的真假：命题甲:函数的应用（2）作业的图象的交点为(x o , y o )，则x o 所在的区间是()A • (0,，)B • (12)C • (2,3)D •(3,4)2. 已知函数f(x)=log a : x 2 -2a)2]对任意x €[1,+ y 都有意义，则实数 a 的取值范围是11111、，、A.(0,] B.(0,) C. [,1 )D.(,)()44 4 4 23. 函数f(x)的定义域为 R ，且x 工1,已知f(x+1)为奇函数，当x v 1时，f(x)=2x 2 -<+1，那么 当x > 1时，f(x)的递减区间是()5 A. : , + 4oo )5 B.(1,-]4C. : -，+ 0)4D.(1,-:44•方程 log 3x x 3的解所在区间是()A • ( 0, 2)B。
(1, 2) C. (2, 3) D. (3, 4) 5.关于x 的方程 lg(ax-1) -lg(x -3)=1 有解，则 a 的取值范围是6•设定义在R 上的函数f (x)的最小正周期为2，且在区间3,5内单调递减，则f ( log 1 2), f ( 4), f ()的大小关系是： _______________________________27.已知a 是实数，函数f x 2ax 2 2x 3 a ，如果函数y f x 在区间 1,1上有 零点，求a 的取值范围.&已知函数f(x) log a (x 1)(a 1),若函数y g(x)的图象上任一点 P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数 f (x)的图象。
(1)写出函数y g(x)的解析式； (2)当x [0,1)，总有f(x) g(x) m 成立，求实数 m 的取值范围。
1设函数y x 3与y 12 9.设函数f(x)x 33x 3a, (a 0).3(I)如果 a 1，点P为曲线y f (x)上一个动点，求以P 为切点的切线其斜率取最小值时 的切线方程；(n)若x a,3a 时,f(x) 0恒成立,求a 的取值范围.10.设嵌=三，定义fm(X )f 1[f n(X )]，a n 甞，其中 口 "(1)求数列｛a n ｝的通项公式；(2)若 T 2n = a 1 2a 2 3a 3 2na 2n ，求T 2n1)2na 2n =a 2+2a 3+…+(2n-1)a 2n -na 2n ,f n 1 0 1 1 f n 0 1 f n 01 f n 0 11 f n 1 02 2 ,‘ 4 2f n 02 f n 0 2 2 a n . an1 •••数列｛a n ｝是首项为 (2)T 2n = a 1 +2a 2+3a 3+ 1 f n 0 1 ，公比为 4+(2 n-1)a1的等比数列. 2 2n-1 +2na 2n - ••• a n T 2n =( 1 ( 1)n ■-()4 21 2)a 1+(1 )2a 2+23 所以，2T 2n (1)20] 111 / 1、2n 1 1 4( 2) =66( 1)2n +n ( 1)2n12 4 2 T 2n =1 / 1 2nn “ 1 . 2n 1 1 一 3n 1)-( )-( )= (1 2n )9 26 2 9 2解：(1)f 1(0) =2, a 1 =2-1 2(1 分)f n+1(0) =f 1[f n (0)]!)(2n-1)a 2n-1+(a 1+a 2+a 3+•…+a +na ,。