2002年考研数学二试题及答案

2002年考研数学二试题及答案

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．） （1）设函数

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,

e ,0,2arcsin

e 1)(2tan x a x x

x f x

x

在0=x 处连续，则

=

a ______．

【答案】2-

【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： 若函数)(x f 在0

x x =处连续，则有;)

()(lim )(lim

00

x f x f x f x x x x ==+-

→→

解析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin

22

x x x x e x

f x x x

+++→→→--=-==

20

lim ()lim ,(0),x

x x f x ae a f a --

→→===

()

f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +

-

⇔==即 2.a =-

（2）位于曲线x

xe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______． 【答案】1

【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积

【难易度】★★

【详解】解析：所求面积为

1

)(0

=-=+-=-==+∞

-∞

+-+∞--∞

+∞

+-⎰⎰⎰x

x x

x x

e

dx e xe

e xd dx xe S ．

其中，()0

1

lim lim lim =--=-+∞

→+∞

→-+∞

→x

x x

x x

x e e x xe 洛必达.

（3）微分方程0

2

='+"y yy 满足初始条件1

==x y

，2

1|

0=

'=x y 的

特解是______． 【答案】

y =

【考点】可降阶的高阶微分方程 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dy dp p y p y =''=',. 解析：方法1：将2

yy y '''

+=改写为()0yy ''=，从而得1

yy C '=.

以初始条件1(0)1,(0)2

y y '==代入，有1

112C ⨯=，所以得1

2yy '=.即

21yy '=，改写为2

()1y '=.解得2

,y x C =+y =再以初值代

入，

1=""+且2

1

C

=.于是特解y =方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命

,dp dp dy dp

y p y p dx dy dx dy

'''==

==.

原方程2

yy y '''

+=化为2

dp

yp p dy

+=，得0p =或0dp y p dy

+=

p =即0dy dx =，不满足初始条件1

'02

y x ==，弃之， 由0dp

y p dy

+=按分离变量法解之，得1

.C

y 由初始条件1

1,'

2y

y x x ==

==可将1

C 先定出来：1

1

11

,212

C C ==.于是得12dy dx y =,

解之，得2

2,y x C y =+=以0

1

x y

==

代入，得1=以应取“+”号且2

1

C

=.

于是特解是y =（4）++++∞

→n

n n

n π

2cos 1πcos

1[

1lim =

++]πcos 1n n Λ______．

【答案】π

【考点】定积分的概念 【难易度】★★★ 【详解】解析：记

1n u n =

11n i n == 所以

1

1lim lim n n n n i u n →∞→∞===⎰

1

1

cos

cos

2

2

x

x

dx dx

ππ===⎰

1

2

sin

2x ππ

π

==

.

（5）矩阵⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．

【答案】4

【考点】矩阵的特征值的计算 【难易度】★★ 【详解】解析：

2222222

02

2

22

22E A λ

λ

λλλλ

λλ-=--=--20

001

1

(4)

222

λλλλλ==--

故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （1）设函数)(u f 可导，)(2

x f y =当自变量x 在1-=x 处取得

增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（ ） （A ）－1． （B ）0.1． （C ）1．

（D ）0.5．

【答案】D

【考点】导数的概念、复合函数的求导法则 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ∆的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='；