四点共圆(习题)
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圆内接四边形与四点共圆
思路一：用圆的定义：到某定点的距离相等的所有点共圆。→若连在四边形的三边的中垂线相交于一点，那么这个四边形的四个顶点共圆。（这三边的中垂线的交点就是圆心）。
产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。
基本模型：
AO=BO=CO=DO ⇔A、B、C、D四点共圆（O为圆心）
思路二：从被证共圆的四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可证明这四点共圆。→要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。
思路三：运用有关性质和定理：
①对角互补，四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。
产生原因：圆内接四边形的对角互补。
基本模型：
=
∠
∠D
180
+
B）⇔A、B、C、D四点共圆A（或0
180
∠
=
∠D
+
②张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等，则这两个点和线段的两个端点共四个点共圆。
产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。
方法指导：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角（即：张角）相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。
=
∠⇔A、B、C、D四点共圆
CAB∠
CDB
③同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。
产生原因：直径所对的圆周角是直角。
∠D
=
C⇔A、B、C、D四点共圆
∠
90
=
④外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形的外角等于内对角。
基本模型：
∠⇔A、B、C、D四点共圆
=
ECD∠
B
1.如图，已知ABC ∆的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，0
60B ∠=，F 在AC 上，且AE AF =。
证明：B,D,H,E 四点共圆：
证明：CE 平分DEF ∠。
2．如图，AC ⊥BC ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD.求证：∠AFE=∠B.
3.已知在凸五边形ABCDE 中，3BAE BC CD DE α∠===，，且1802BCD CDE α∠=∠=︒-，求证：BAC CAD DAE ∠=∠=∠． E D C B A E
D C B A
4、如图，点C 为线段AB 上任意一点(不与点A 、B 重合)，分别以AC 、BC 为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD 和△BCE ，CA ＝CD ，CB ＝CE ，∠ACD 与∠BCE 都是锐角，且∠ACD ＝∠BCE ，连接AE 交CD 于点M ，连接BD 交CE 于点N ，AE 与BD 交于点P ，连接CP 。
(1)求证：△ACE ≌△DCB ；
(2)请你判断△ACM 与△DPM 的形状有何关系并说明理由；
(3)求证：∠APC ＝∠BPC 。