第3节 差商及Newton插值多项式
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j0 k 1( x j )
其中 k1( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk )
以k=2进行证明。由
得到
f [ x0 , x1]
f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1
f [ x1, x2 ]
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
令： N n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1 , , xn ]
§3 差商及Newton插值多项式
Lagrange 插值多项式的优点是格式整齐规范，但其 缺点是：当需要增加节点时，其基函数都要发生变化， 需要重新计算，这在实际计算中会影响效率。下面介绍 的Newton插值法会弥补这一不足。
一、差商及其性质
1.差商的定义
设y=f(x)在n+1个互异点 x0 , x1 , … , xn 处的函数值为：
3 ( x0 ) 3 ( x1 ) 3 ( x2 )
2
f (xj)
j0 3 ( x j )
再由数学归纳法可证得：
f [ x0 , x1,
, xk1, xk ]
k f (xj)
j0 k 1( x j )
性质2:差商具有对称性,即k阶差商 f[x0 , x1 , … , xk-1 , xk ] 中，任意调换 xi , xj 的次序，其值不变。
由 3( x) ( x x0 )( x x1 )( x x2 )
得到 3 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 )
3 ( x0 ) ( x0 x1)( x0 x2 ) 3(x1) (x1 x0 )(x1 x2 )
f [x, x0,
, xn1 ] f [ x0 , x1 , x xn
, xn]
可以求得：
f [x, x0]
f ( x) f ( x0 ) x x0
f (x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [x, x0]
f [ x, x0 , x1]
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] x x1
Rn( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [x, x0 , x1, , xn ]
则可以将函数 f(x) 表示成： f ( x) Nn( x) Rn( x)
由如上构造，容易验证 Nn( xi ) f ( xi ), i 0,1, , n
pn( x) pn( x0 ) ( x x0 )qn1( x)
故
f [x, x0]
f ( x) f ( x0 ) x x0
pn (
x) x
pn x0
(
x0
)
qn1 (
x)
类似的可以得到： f [x, x0 , x1] qn2( x)
也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] x0 x2
f ( x0 )
f ( x1 )
f (x2)
( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
f [ x, x0 , x1]
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] x x1
f [ x, x0 , x1, x2 ]
f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x x2
f [ x, x0 , x1,
, xn]
f [x, x0 ] f [x0 , x1] ( x x1 ) f [x, x0 , x1]
f (x) f (x0 ) (x x0 ) f [x0, x1] (x x0)(x x1) f [x, x0, x1]
f [ x, x0 , x1, x2 ]
f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x x2
因为Newton插值多项式与Lagrange插值多项式满足相 同的插值条件，由插值多项式的存在唯一性知
Nn(x)=Ln(x) 因此，Newton插值多项式与Lagrange插值多项式的误差 相同。这样，由
Rn( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [x, x0 , x1, , xn ]
得到
f (n1) ( )
Rn( x) (n 1)! ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
f [ x, x0 , x1,
, xn]
f (n1) ( )
(n 1)!
这个表达式给出了 n+1 阶差商与 n+1 阶导数之间的关 系式。 例3 已知 f ( x) x5 x 1 ，试求其如下差商
f [x, x0 , x1] f [x0 , x1, x2 ] ( x x2 ) f [x, x0 , x1, x2 ]
f (x) f (x0 ) (x x0 ) f [x0, x1] (x x0 )(x x1) f [x0, x1, x2 ] (x x0 )(x x1)(x x2 ) f [x, x0 , x1, x2 ]
因此 Nn(x) 满足插值条件，是一个 n 次插值多项式。
并称 N n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1 , , xn ]
为f(x)关于点 xi,xj ,xk 的二阶差商。
一般地，称k-1 阶差商的一阶差商
f [x0, x1,
, xk1, xk ]
f [x0, x1,
, xk1] f [x1, x2 , x0 xk
, xk ]
为f(x)关于点 x0 , x1, , xk 的 k 阶差商。
例如，已知f(x)在 x0 0.1, x1 0.3, x2 0.5 的函数值为：
10
22
2
4 12
5
1
5 20
8
1
0
6 70
50
21
5
1
二、Newton 插值多项式
对于区间[a,b]内的离散点 x, x0 , x1, , xn及相应的 函数值 f ( x), f ( x0 ), f ( x1), , f ( xn ) ，计算如下差商：
f [x, x0]
f ( x) f ( x0 ) x x0
由性质1立刻可得。
性质3：若f(x)为n 次多项式，则f [x,x0]为关于x 的n1次多项式。
证明：已知
f [x, x0]
f ( x) f ( x0 ) x x0
pn ( x) pn ( x0 ) x x0
由于 x0是 pn (x) pn (x0 ) 0 的根，所以
02
3! 3!
2. Newton插值多项式具有递推式
N n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ]
由
( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ]
( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1 , , xn ]
为n次Newton插值多项式。
如果 f(x) ≈ Nn(x),则误差为：
Rn( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [x, x0 , x1, , xn ]
☆
关于Newton插值多项式，有以下几个特点：
1 Newton插值多项式与同次Lagrange插值多项式相同， 因而误差相同
f [20 , 21, 22 , 23 , 24 , 25 ] f [20 , 21, 22 , 23 , 24 , 25 , 26 ]
解：由差商与导数的关系式
f (n1) ( )
f [x, x0 , x1, , xn ] (n 1)!
得到 f [20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 ] f (5) ( ) 5! 1
x0 x2
0.1 0.5 0.4
5
2.差商的性质
性质1：k 阶差商 f [x0 , x1, , xk1, xk ] 是由函数值
f ( x0 ), f ( x1), , f ( xk ) 的线性组合而成，即
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f [ x0 , x1,
, xk1, xk ]
k f (xj)
3 ( x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
从而
f
[
x0
,
x1
,
x2
]
(
x0
f (x0) x1)( x0
x2
)
(
x1
f (x1) x0 )( x1
x2
)
(
x2
f (x2) x0 )( x2
x1
)
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 )
依次类推得到：
f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1 , , xn ] ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [ x, x0 , x1, , xn ]
3.差商的计算
为构造 Newton 插值多项式方便起见，计算差商时， 采用列表的方式进行。
xi yi f [ xi , xi1] f [ xi , xi1, xi2 ] f [ xi , xi1, xi2 , xi3 ]
x0 y0
x1 y1 f [ x0 , x1] x2 y2 f [x1, x2 ] x3 y3 f [x2, x3]
可知 N1( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [x0 , x1]
N2 ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1, x2 ]
f [x0, x1, x2 ] f [ x1, x2 , x3 ]
f [x0 , x1, x2 , x3 ]
例 2.2 已知函数 y=f(x) 的如下离散数据(1,0)、(2,2)、 (4,12)、 (5,20)、(6,70)，试求其各阶差商.
解：列差商表计算
x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商
f ( x0 ) 2, f ( x1 ) 3.2, f ( x2 ) 4
可以求得
f
[ x0 ,
x1 ]
2 3.2 0.1 0.3
1.2 0.2
6
3.2 4 0.8 f [ x1, x2 ] 0.3 0.5 0.2 4
f [x0 , x1, x2 ]
f [x0, x1] f [x1, x2] 6 4 2
5! 5!
f [20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 ] f (6) ( ) 0
6!
练习：
p(x)
x3
qx2
rx
s,
若 p[0,1,t] 1,
那么
p[1, 2,t] ?
提示： p[0,1,t, 2] p[0,1,t] p[1,t, 2] p( ) 3! 1
f ( x0 ), f ( x1 ), , f ( xn )
则称f [ xi , x j ]
f ( xi ) f ( x j ) 为f(x)关于点
xi x j
xi , xj
的一阶差商。
称
f [xi , x j , xk ]
f [xi , x j ] f [x j , xk ] xi xk
其中 k1( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk )
以k=2进行证明。由
得到
f [ x0 , x1]
f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1
f [ x1, x2 ]
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
令： N n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1 , , xn ]
§3 差商及Newton插值多项式
Lagrange 插值多项式的优点是格式整齐规范，但其 缺点是：当需要增加节点时，其基函数都要发生变化， 需要重新计算，这在实际计算中会影响效率。下面介绍 的Newton插值法会弥补这一不足。
一、差商及其性质
1.差商的定义
设y=f(x)在n+1个互异点 x0 , x1 , … , xn 处的函数值为：
3 ( x0 ) 3 ( x1 ) 3 ( x2 )
2
f (xj)
j0 3 ( x j )
再由数学归纳法可证得：
f [ x0 , x1,
, xk1, xk ]
k f (xj)
j0 k 1( x j )
性质2:差商具有对称性,即k阶差商 f[x0 , x1 , … , xk-1 , xk ] 中，任意调换 xi , xj 的次序，其值不变。
由 3( x) ( x x0 )( x x1 )( x x2 )
得到 3 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 )
3 ( x0 ) ( x0 x1)( x0 x2 ) 3(x1) (x1 x0 )(x1 x2 )
f [x, x0,
, xn1 ] f [ x0 , x1 , x xn
, xn]
可以求得：
f [x, x0]
f ( x) f ( x0 ) x x0
f (x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [x, x0]
f [ x, x0 , x1]
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] x x1
Rn( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [x, x0 , x1, , xn ]
则可以将函数 f(x) 表示成： f ( x) Nn( x) Rn( x)
由如上构造，容易验证 Nn( xi ) f ( xi ), i 0,1, , n
pn( x) pn( x0 ) ( x x0 )qn1( x)
故
f [x, x0]
f ( x) f ( x0 ) x x0
pn (
x) x
pn x0
(
x0
)
qn1 (
x)
类似的可以得到： f [x, x0 , x1] qn2( x)
也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] x0 x2
f ( x0 )
f ( x1 )
f (x2)
( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
f [ x, x0 , x1]
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] x x1
f [ x, x0 , x1, x2 ]
f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x x2
f [ x, x0 , x1,
, xn]
f [x, x0 ] f [x0 , x1] ( x x1 ) f [x, x0 , x1]
f (x) f (x0 ) (x x0 ) f [x0, x1] (x x0)(x x1) f [x, x0, x1]
f [ x, x0 , x1, x2 ]
f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x x2
因为Newton插值多项式与Lagrange插值多项式满足相 同的插值条件，由插值多项式的存在唯一性知
Nn(x)=Ln(x) 因此，Newton插值多项式与Lagrange插值多项式的误差 相同。这样，由
Rn( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [x, x0 , x1, , xn ]
得到
f (n1) ( )
Rn( x) (n 1)! ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
f [ x, x0 , x1,
, xn]
f (n1) ( )
(n 1)!
这个表达式给出了 n+1 阶差商与 n+1 阶导数之间的关 系式。 例3 已知 f ( x) x5 x 1 ，试求其如下差商
f [x, x0 , x1] f [x0 , x1, x2 ] ( x x2 ) f [x, x0 , x1, x2 ]
f (x) f (x0 ) (x x0 ) f [x0, x1] (x x0 )(x x1) f [x0, x1, x2 ] (x x0 )(x x1)(x x2 ) f [x, x0 , x1, x2 ]
因此 Nn(x) 满足插值条件，是一个 n 次插值多项式。
并称 N n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1 , , xn ]
为f(x)关于点 xi,xj ,xk 的二阶差商。
一般地，称k-1 阶差商的一阶差商
f [x0, x1,
, xk1, xk ]
f [x0, x1,
, xk1] f [x1, x2 , x0 xk
, xk ]
为f(x)关于点 x0 , x1, , xk 的 k 阶差商。
例如，已知f(x)在 x0 0.1, x1 0.3, x2 0.5 的函数值为：
10
22
2
4 12
5
1
5 20
8
1
0
6 70
50
21
5
1
二、Newton 插值多项式
对于区间[a,b]内的离散点 x, x0 , x1, , xn及相应的 函数值 f ( x), f ( x0 ), f ( x1), , f ( xn ) ，计算如下差商：
f [x, x0]
f ( x) f ( x0 ) x x0
由性质1立刻可得。
性质3：若f(x)为n 次多项式，则f [x,x0]为关于x 的n1次多项式。
证明：已知
f [x, x0]
f ( x) f ( x0 ) x x0
pn ( x) pn ( x0 ) x x0
由于 x0是 pn (x) pn (x0 ) 0 的根，所以
02
3! 3!
2. Newton插值多项式具有递推式
N n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ]
由
( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ]
( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1 , , xn ]
为n次Newton插值多项式。
如果 f(x) ≈ Nn(x),则误差为：
Rn( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [x, x0 , x1, , xn ]
☆
关于Newton插值多项式，有以下几个特点：
1 Newton插值多项式与同次Lagrange插值多项式相同， 因而误差相同
f [20 , 21, 22 , 23 , 24 , 25 ] f [20 , 21, 22 , 23 , 24 , 25 , 26 ]
解：由差商与导数的关系式
f (n1) ( )
f [x, x0 , x1, , xn ] (n 1)!
得到 f [20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 ] f (5) ( ) 5! 1
x0 x2
0.1 0.5 0.4
5
2.差商的性质
性质1：k 阶差商 f [x0 , x1, , xk1, xk ] 是由函数值
f ( x0 ), f ( x1), , f ( xk ) 的线性组合而成，即
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f [ x0 , x1,
, xk1, xk ]
k f (xj)
3 ( x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
从而
f
[
x0
,
x1
,
x2
]
(
x0
f (x0) x1)( x0
x2
)
(
x1
f (x1) x0 )( x1
x2
)
(
x2
f (x2) x0 )( x2
x1
)
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 )
依次类推得到：
f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1 , , xn ] ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [ x, x0 , x1, , xn ]
3.差商的计算
为构造 Newton 插值多项式方便起见，计算差商时， 采用列表的方式进行。
xi yi f [ xi , xi1] f [ xi , xi1, xi2 ] f [ xi , xi1, xi2 , xi3 ]
x0 y0
x1 y1 f [ x0 , x1] x2 y2 f [x1, x2 ] x3 y3 f [x2, x3]
可知 N1( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [x0 , x1]
N2 ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1, x2 ]
f [x0, x1, x2 ] f [ x1, x2 , x3 ]
f [x0 , x1, x2 , x3 ]
例 2.2 已知函数 y=f(x) 的如下离散数据(1,0)、(2,2)、 (4,12)、 (5,20)、(6,70)，试求其各阶差商.
解：列差商表计算
x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商
f ( x0 ) 2, f ( x1 ) 3.2, f ( x2 ) 4
可以求得
f
[ x0 ,
x1 ]
2 3.2 0.1 0.3
1.2 0.2
6
3.2 4 0.8 f [ x1, x2 ] 0.3 0.5 0.2 4
f [x0 , x1, x2 ]
f [x0, x1] f [x1, x2] 6 4 2
5! 5!
f [20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 ] f (6) ( ) 0
6!
练习：
p(x)
x3
qx2
rx
s,
若 p[0,1,t] 1,
那么
p[1, 2,t] ?
提示： p[0,1,t, 2] p[0,1,t] p[1,t, 2] p( ) 3! 1
f ( x0 ), f ( x1 ), , f ( xn )
则称f [ xi , x j ]
f ( xi ) f ( x j ) 为f(x)关于点
xi x j
xi , xj
的一阶差商。
称
f [xi , x j , xk ]
f [xi , x j ] f [x j , xk ] xi xk