最新新人教版八年级数学下册第十六章分式知识点总结

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一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子

B

A

叫做分式。 例1.下列各式a

π

，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。

二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】

分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】

例2.下列分式，当x 取何值时有意义。（1）21

32

x x ++； （2）2323x x +-。

例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。 A ．

121x + B ．21x x + C ．231

x x

+ D ．2

221x x +

例4．当x______时，分式21

34

x x +-无意义。当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。

例5.已知

1x -1

y

=3，求5352x xy y x xy y +---的值。

三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

（0≠C ） 四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。

例6.不改变分式的值，使分式11

5101139

x y

x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。 例7.不改变分式2323523x x

x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。

例8.分式434y x

a +，2411x x --，22x xy y x y

-++，22

22a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。 例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）22

32

m m m m

-+- 例10.通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2

1

21a a a -++，261

a -

例11.已知x 2+3x+1=0，求x 2+

2

1

x 的值． 例12.已知x+1

x

=3，求2421x x x ++的值．

五、分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。

,a b a b a c ad bc ad bc

c c c b

d bd bd bd

±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。

例13.当分式211x --21x +-1

1

x -的值等于零时，则x=_________。 例14．已知a+b=3，ab=1，则a b +b a 的值等于_______。 例15.计算：222x x x +--21

44x x x --+。

例16.计算：2

1

x x --x-1

例17.先化简，再求值:

3a a --263a a a +-+3a ，其中a=32

。 六、 任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即)0(10

≠=a a ；

当n 为正整数时，n

n

a a 1

=

- （)0≠a 七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)

（1）同底数的幂的乘法：n

m n m a a a +=⋅；

（2）幂的乘方：mn

n

m a

a =)(;

（3）积的乘方：n

n

n

b a ab =)(；

bc

ad

c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;n n n b

a b a =)(C B C A B A ⋅⋅=C

B C A B A ÷÷=

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（4）同底数的幂的除法：n

m n m a

a a -=÷( a ≠0)； （5）商的乘方：n n

n b

a b a =)((b ≠0)

八、科学记数法：把一个数表示成n a 10⨯的形式（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学

记数法。

1、用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是1-n 。

2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。 例18.若2510

2=x

,则x -10等于( )。

A.51-

B.51

C.501

D.625

1

例19.若31=+-a a ,则22-+a a 等于( )。 A. 9 B. 1 C. 7 D. 11

例20.计算:(1)1

01

23)326(34--⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅-⋅- (2)()

3

2

132----xy b a

例21.人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA 是很长的链,最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸,这个数用科学记数法表示是___________。 例22.计算(

)()

___________10310

32

12

5=⨯÷⨯--。

例23．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米,用科学记数法表示这个数为_________。

例24．计算34x x y -+4x y y x +--74y x y -得（ ） A ．-264x y x y +- B ．264x y

x y

+- C ．-2 D ．2

例25.计算a-b+

22b a b +得（ ） A ．22a b b a b -++ B ．a+b C ．22

a b

a b

++ D ．a-b 九、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

3、解分式方程的步骤：

（1）、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2）、解这个整式方程。

（3）、把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

（4）、写出原方程的根。

增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 4、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 例26.解方程。 (1)623-=x x （2）1613122-=-++x x x （3）01152=+-+x x （4）x

x x 387

41836---

=-

例27. X 为何值时，代数式x

x x x 2

31392---++的值等于2？

例28.若方程122

423=+-+x x 有增根，则增根应是（ ）

十、列方程应用题

（一）、步骤(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记写。 （二）

（三） 应用题的几种类型：

1、行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。

例29.甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.

2、工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。

例30.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?

3、顺水逆水问题 v

顺水

=v 静水+v 水； v 逆水=v 静水-v 水。