第三节 分部积分法
高等数学课件4第三节(2) 定积分的分部积分法ppt
(2) “代公式”:得 到 一 个 新 积 分abvdu;
(3)
“微出来”:abvdu
du微 出
来 bv a
udx;
(4) 计算积分: abv udx.
例1.
计算
4 0
x
cos
2 xdx.
abudv [uv ]ba abudv
解:
原式
4
0
xd(
1 2
sin
2x)
[1 2
x sin 2 x]04
π
π
I0
2 dx 0
; 2
(2) 若 n 为 奇 数,则 最 后推 到I1 ,
π
I1
2 0
sin
xdx
1.
2 sinn dx 0
n 1 n 3 3 1 π , n为偶数,
n n2
422
n 1 n 3 4 2 1, n为奇数.
n n2
53
例如:
2 0
sin7
xdx
6 7
第五章
第三节(2) 定积分的分部积分法
回顾 不定积分的分部积分法:
(uv) uv uv
uv uvdx uvdx
uvdx uv vudx 或 udv uv vdu
分部积分公式
定积分的分部积分法:
设函数u( x),v( x)在区间[a,b]上具有连续导数,则
(uv) uv uv
2(e [et ]10 )
2[e (e 1)] 2 证明定积分公式:
In
π 2
s
inn
xdx
0
π 2
cosn
xdx
0
n n
1
n n
3 2
第3节 分部积分法
1 所以 sec xdx (sec xtanx ln sec x tanx ) C . 2
3
34
高等数学
●
戴本忠
17
1 例10 求 I n 2 2 n dx , 其中 n 为正整数 . (x a ) 解 当 n 1 时, 根据分部积分法 1 ( x 2 a 2 ) n 1 dx
高等数学
●
戴本忠
例9 解
求 sec 3 xdx .
3 sec xdx sec xdtan x
(tan x)sec2x (sec x)secxtanx
sec xtanx sec xtan 2 xdx sec xtanx sec x (sec 2 x 1)dx sec xtanx sec 3 xdx sec xdx sec xtanx ln sec x tanx sec 3 xdx .
●
戴本忠
10
例2
解
求 xe x dx .
令 u x, dv e dx,
x
那么 du dx, v e x .
x x x x x x x e d x x e e d x x e e C e ( x 1) C .
例3 解
求 x 2e x d x .
1 x 2 arctan x 1 x 2 d(arctan x )
1 x arctan x
2
34
1 1 x 2 dx 1 x
2
高等数学
●
戴本忠
21
1 x arctan x
2
1 dx 2 1 x 令 x tan t
高等数学第四章第三节分部积分法课件.ppt
原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
tan x lncos x tan x x C
例7. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
则 u 1 , v 1 x2
x
2
原式 = 1 x2 ln x 1 x dx
2
2
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
例3. 求 x arctan x dx.
解: 令 u arctan x, v x
则
u
1
1 x
2
,
v 1 x2 2
∴ 原式 1 x2 arctan x 1
2
2
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
1,
1
cos sin
x x
dx
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
再令 u cos x , v ex , 则 u sin x , v ex
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
原式 =
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 ,
第三节不定积分的分部积分法
( x 2 2 x 2 ) sx i2 c n x ( o x 1 ) s C .
说明１： 口诀（反、对、幂、三、指）
例5 求不定积分 xarctxadxn. 解 xarcxtda xnarcx td a(x2 n2)
2 x 1 c 2 x o 1 s s 2 x i 1 n C .
说明４： 有时应结合换元积分，先换元后再分部；
例 1 2已 知 f(x )的 一 个 原 函 数 是 e x 2,
求 x f(x )d x . 解 xf(x)dxxdf(x)x(fx)f(x)d x,
例1 求不定积分 xexdx.
解 设 ux,dvexdxdex,
xexdx xd(ex)xex exdxxxe exC .
u d vu v vd u,
分部积分法的关键是正确选择 u 和 v .
选择 u 和 v 的原则是: 1)v不v比 复,杂 2)u比u更简. 单
2
说明３： 不定积分可通过解方程求得，但要注意 结果+C；
可连续几次利用多次分部，但每次应 选同一类函数；
例9 求不定积分 se3cxdx. 解 sec3 xdx sexcse2x cdxsexcd(tax)n
se x tca x n ta x d ( nsx ) ec sx e tc a x n ta 2 x s n x e d x c sx e tc a x ( n s 3 x e sx c e ) d x c
f1(x)dxxf1(x)Ff1(x) C.
练习题答案
一 、 1、 xcox ssix nC；
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
第三节 分部积分法
第三节分部积分法问题∫=?dx xex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数)(x u u =和)(x v v =具有连续导数,(),v u v u uv ′+′=′(),v u uv v u ′−′=′,dx v u uv dx v u ∫∫′−=′.du v uv udv ∫∫−=分部积分公式)()()((x dv x u dx x v u ⋅=′∫∫分部积分法主要过程如下：∫dxx f )(所求积分∫∫−=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u ∫∫′−=dxx v x u x v x u dx x f )()()()()((3)计算新积分(2)分部积分公式(1)拆分被积表达式中, 如果某部分求导后能得到简化，可考虑选为u ，剩下的部分就是dv 。
范围：一般处理含有多种类型的混合函数。
关键：对被积表达式的适当拆分。
（求导数或微分）∫′⋅dx x v x u )()(旧积分∫′⋅⇒dxx u x v )()(新积分,)()(dx x u x du u ′=⇒)()(x v dx x v dv ⇒′=（求积分或凑微分）u.cos ∫xdx x 求解（1）令,x u =x d xdx dv sin cos ==∫xdx x cos ∫=udv ∫−=vdu uv ∫−=xdx x x sin sin xv dx du sin ,:==则.cos sin C x x x ++=例1解（2）令,cos x u=∫xdx x cos ∫+=xdx x x x sin 2cos 222显然，u,dv 选择不当，积分更难进行.22,sin :xv xdx du =−=则∫xdx x cos ∫−=vdu uv总结若被积函数是幂函数与正(余)弦函数或指数函数的乘积, 可考虑设幂函数为u例2求积分.2∫dx e x x解,2x u =,xxde dx e dv ==∫dx e x x 2∫−=dx xe e x x x 22.)(22C e xe e x xxx+−−=再次使用分部积分法,x u =dxe dv x =),2(xe v xdx du ==),(xe v dx du ==例3求积分.arctan ∫xdx x ∫⋅=xdx x arctan 原式)(arctan 2arctan 222x d xx x ∫−=dx xx x x 222112arctan 2+⋅−=∫dx x x x )111(21arctan 222+−⋅−=∫.)arctan (21arctan 22C x x x x +−−=u dv 2v u ⋅du v ⋅v 熟练以后的写法例4求积分.ln 3∫xdx x 解,ln x u =,443dv xd dx x ==∫xdx x ln 3∫−=x d x x x ln 41ln 4144.161ln 4144C x x x +−=总结若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.u∫−=dx x x x 3441ln 41例6求积分.sin ∫xdx e x解∫xdx exsin ∫=xxdesin ∫−=)(sin sin x d e x e x x ∫−=xdx e x e xxcos sin ∫−=xxxdex e cos sin ∫−−=)cos cos (sin x d e x e x e xx x ∫−−=xdx e x x e xx sin )cos (sin ∫∴xdx e xsin .)cos (sin 2C x x ex+−=注意循环形式)0,(.)(122>∈+=∫a N n dx a x I nn 求解利用分部积分公式得：时当,1>n ∫−+dx a x n 122)(1例7∫+−++=−dxa x xn a x x n n )()1(2)(222122∫+−+−++=−−dx a x a a x n a x x n n n ])()(1[)1(2)(222122122))(1(2)(211221n n n n I a I n a x x I −−++=∴−−−∫+=dx ax I 2211Q C ax a +=arctan 1])32()([)1(2111222−−−++−=∴n n n I n a x xn a I 的递推公式。
第三节 分部积分
1 3 解: 原式 = ∫ arctan x d x 3 1 3 1 x3 = x arctan x −∫ ⋅ dx 2 3 3 1+ x
1 1 3 x2 1 2 = x arctan x − ∫ dx 2 3 1+ x 2 3 1 1 3 1 (1− ) dx2 = x arctan x − ∫ 2 1+ x 3 6
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例3. 求
∫ x ln xdx .
x2 x2 x2 1 dx = ln x−∫ 解: 原式 = ∫ ln x d 2 2 2 x
1 2 1 x2 x2 = ln x − ∫ x dx = ln x − x + C 4 2 2 2
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例4. 求
∫x
2
arctan x dx .
∫e
− x2
dx , dx, ∫ ln x
sin x ∫ cos x dx, ∫ x dx,
2
它们的积分可以借助无穷级数来计算,或运用数学软件 它们的积分可以借助无穷级数来计算 或运用数学软件 快速算出. 快速算出
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x cos x − sin x 例11. 求 ∫ d x. 2 x
x cos x − sin x cos x sin x 解: ∫ dx = ∫ d x −∫ 2 d x 2 x x x
1 sin x = ∫ dsinx −∫ 2 d x x x 1 sin x 1 = sinx −∫ sinx (− 2 )d x −∫ 2 d x x x x 1 = sinx +C. x
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本章主要内容
高等数学课件 4第三节 分部积分法ppt
令 x tan t ( t ), 则
I
et sec3
t
2 sec2 t d t
2
e t cos t d t
e t sin t e t sin t d t
e t sin t e t cos t e t cos t d t
故 I 1 (sin t cos t)e t C
1 x2
2
2.
原式
ex 1 cos
dx x
ex sin x dx
1 cos x
ex
tan
x 2
C.
(第一个积分分部积分)
3. 求 sin(ln x)dx.
解: sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
x
sin(ln
x)
x cos(ln
x)
1 x
dx
x2 a2
(x2 a2) a2 dx
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 x2 a2 dx
a2
dx
x2 a2
x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | x2 a2 dx
∴ 原式 = 1 x x2 a2 a2 ln ( x x2 a2 ) C.
1
earctanx
1 x2
x dearctanx 1 x2
1 1
x2
earctanx (1
x)
I
I 1 x earctanx C . 2 1 x2
例16.
求
(1
xe x x)2
dx.
解:
(1
xe x x)2
dx
xe
xd
1
1
x
xex 1 d( xex ) 1 x 1 x
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解
x
ln
x
dxxx22lencxoxs dx2 x 2xdxe解2xxs2inln
2
2 22
xxedxxsinx
2
x
2
2 x arcsin x 2 1d更xlxn难2xa积rcsti出 annxxde x1
2 2 x
x
x
2
x
2
第三节 分部积分法 第三节 分部积分法
第三节 分
例例77 求求 sseecc33xxddxx ..
例例1100*求求ssinin((lnln xx))ddxx..
解 sec3xdx 第 s三ec节x s分ec2部xd积x解分法se令c xtd=tanlnxx ,第则三x节= 分et
例例88 求求
ee
xxddxx..
sec
x tan
x
ta例n x1d1sse*i求cn求(xln
x)dxxxeexx ddexxt..sin
eexx 11
tdt
解
例例99 解
*求令 令 ex求2xsxdexc=xa3xx2a2x2222tddtatexxe,natat第e则x2sss2tt(eeed12d,三dcccetaxxt(xxxxxsds节ettt(e(xaaa2caCac1nnnt=x)t2分txxxtda,aa00deC部ssn))txee.l.而nxc.c积 ss22ee|2对例解解 sc2cttt分dleetndxxcd于ttt1(t法t|x,sas2.e积Ine则c*nacx求2e2t分2tax求etxxdnxdetsIxxxI(ent1na2xc1|e)n23dexxdtxdxxxdxs(2|a2第1)(etx2x1c,2n)112222三 3xdnCdtxdexx2.da[节 tx2xas(x2nl再snid2(n)i(dn)x(n分nl作tt2net.2.
第三节 分部积分法
udv uv vdu
公式的使用时 选取 u 和 dv 要考虑两点：
(1) v 要容易求得；
(2) vdu 要比 udv 容易积出.
第三节 分部积分法
udv uv vdu
选择 u 和 dv办法:
按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角 函数、指数函数的顺序(即“反、对、幂、三、 指”的顺序)，把排在前面的那类函数选作 u， 而把排在后面的那类函数选作 v .
第三节 分部积分法
二、举例 第三节 分部积分法
第三节 分部积
例1 求 xxccoossxxddxx.. udv 例 u4v 求求 vdaurcsi反n x对dx幂. 三指udv 解 x cos xdx 第 x三ds节in x分部x解s积in 分x a法rcssiinn xxddxx 第 x三ar节csin分x 部 积
第三节 分部积分法
作业：
P212 习题4-3 1. 3. 5. 7. 9. 11.
第三节 分部积分法
一、分部积分公式 二、举例
第三节 分部积分法
一、分部积分公式
设函数 u = u(x) 及 v = v(x) 具有连续导数，那么有 (uv) = uv + uv , 移项 uv = (uv) – uv, 两边 积分
u vd x u v u vd x ,
udv uv vdu . 分部积分公式
பைடு நூலகம்
例2 求 xx22eexxddxx..x sin xucdovs例x u5vC求. vdxuxaarrcc反tatan对nxxdx幂dxaxr.三.cs指inudxv
例若 解选3 求x择cxo2usexxxx=ddlnnxx三xx角ddx第xxc函x2.oe2三sdx数ex节dx，2x2uv分 2xxd=e2ve部xd幂例例x解x2x积2u函66cv分oe求求数sxx法dx，xavrd2c则eeutaxxx2nss2ii反 1nndxdxcxx对第xo2ddsa幂x三 xxrxc..a12t三r节acns指 ainxur分cdxtva部1n12积x