有理函数化为部分分式之和
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
有理分式的快速分解方法及其应用
有理分式的快速分解方法及其应用鲁志波;勒孚龙;张启慧【摘要】根据有理分式的不同结构特点,给出了相应的分解为部分分式的快速算法及其应用,有效解决了这类函数的积分问题.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2011(031)005【总页数】4页(P7-10)【关键词】有理分式;部分分式;快速分解【作者】鲁志波;勒孚龙;张启慧【作者单位】信息工程大学理学院,河南郑州450001;信息工程大学理学院,河南郑州450001;信息工程大学理学院,河南郑州450001【正文语种】中文【中图分类】O13有理分式（又称有理函数）是由2个多项式的商所表示的函数[1]，即形如的函数，其中：m和n都是非负整数；a0,a1, …,an 及b0,b1, …,bm 都是实数，且a0≠0，b0≠0．这是不定积分和定积分计算中经常遇到的一类函数，处理这类问题关键的是分解有理函数为部分分式之和，通常使用“待定系数法”来解决[2-3]．这种方法理论可完全解决有理函数的分解问题，但当多项式次数较高时，用这种常规方法计算往往很繁琐且容易出错，本文根据有理函数中分母Q(x)的不同结构特点，给出直接计算分解系数的方法．不失一般性，不妨设有理函数（1）中P(x)和Q(x)之间没有公因式，且有理函数为真分式，即n＜m．定理1 若Q(x)=(x -a)Q1(x)，且Q1(a)≠0，则有分解式其中：是一实系数多项式．证明在式（2）中利用待定系数法，并取x=a即得式（2）．证毕．推论若这里ai为互不相同的实数，则其中：由推论可以看出，当有理分式中分母为m个单重一次因式的乘积时，计算系数Ai 只需把有理函数中分母里对应的因式(x-ai )去掉后再代入x=ai 即可．系数计算式（3）形式简洁，应用方便，在分解有理函数时不需要像使用“待定系数法”时求解方程组，可以直接计算得到分解后的系数，极大地减少了计算量．例1 分解有理函数解有理函数中分母为3个一次因式的乘积，根据式（3），即有定理2[4]185 若且则有分解式其中：P1(x)是一实系数多项式；系数显然，r=1时，式（4）和式（2）相同．例2 分解有理函数为部分分式．解分母中含有1个三重一次因式，设，由式（2）易得；由式（4）可得故从例2可以看出，在计算系数Ak时可以利用计算Ak-1过程中的求导结果简化运算．但是当Q1(x)是2个以上因式的乘积时，求导运算仍然很繁琐．在某些特殊情形下可使用极限法来计算分解系数．定理3 若Q互不相同）时，则其中：系数A0和Bi(i=1,2,…, m)的计算同式（2）；当k=r-1,r-2, …, 1时，证明显然，用式（2）可计算系数A0和Bi(i =1,2, …, m)．当k=r-1,r -2, …, 1时，在式（5）两端同乘xr-k ，整理得令x→∞，则有证毕．例3 分解有理函数解设易知A0=-1，A4=1．为避免用复杂的求导运算计算A3，在式（6）两端同乘x，并令x→∞，两端同取极限，则有．在式（6）两端同乘x2，并令x→∞，则有A=-1．同理可2得A3=-1，从而若有理函数中分母包含二次因式，这时候的分解一般都较为复杂，但在前面分析的基础上类似地有以下几种求解部分分式中待定系数的方法．定理4 若Q(x)包含二次因式，即Q(x)=(x2+px+q)r Q1(x)，其中：p2-4q＜0；r≥1，设x2+px+q=(x-α)(x -)，(α)≠0，则有分解式其中：P1(x)为一实系数多项式；系数Ak和Bk(k=0,1,…, r-1)可利用以下4种方法计算：方法1 使用常规的待定系数法．方法2 复根代入计算法．两端同乘(x 2+px+q)r-k (k =0,1,…, r -1)，然后代入复根α（或）后比较等式两边的实部和虚部，依次计算A0,B0,A1,B1,…,Ak-1,Bk-1，并利用这些结果计算Ak,Bk(k=0,1,2,…,r-1)．方法3 直接公式计算法．注意到在复数域内二次因式可进一步分解为其中：系数c和c是共轭复数．因此可以利用定理2中的式（4）直接计算系数c 和，即其中：方法4 当r=1时，设，利用复根代入计算法易知，Ax+B满足此时不必解出x2+px+q=0的虚根再来分别计算系数A和B，只需利用恒等式x2+px+q=0将有理函数化为一次多项式即可整体上得到Ax+B．注1 将有理函数分解为部分分式的目的是为了计算积分，直接公式计算法中得到式（8）后，右端前r-1项（k=0,1,…, r -2）先分别积分后通分，第r项（即k=r-1项）则先通分后积分，即可得到实系数的有理式[4]185．注2 式（9）在r=1时相对较为简单，具有较强的实用性．注3 一般地，当r＞1时，式（9）对计算系数A0x+B0同样适用．例4 分解有理函数解设，则由式（9）可得Ax+B=，即有例5 分解有理函数为部分分式．解设，由式（3）得由式（9）得，则化简分式易得从而有本文针对有理函数的结构不同，给出了不同的分解为部分分式的方法，通过综合应用以上方法，可以避免常规待定系数法中求解多个方程的繁琐计算，具有较强的实用性和可操作性．需要指出的是，一些特殊情况使用其他特殊方法可能更加简便，大多数情况中需要综合运用以上方法来确定部分分式的系数．【相关文献】[1] 同济大学应用数学系．高等数学[M]．5版．北京：高等教育出版社，2002[2] 姜长友，张武军，魏宝军，等．高等数学教与学[M]．北京：北京航空航天大学出版社，2010[3] 吉米多维奇．吉米多维奇数学分析习题集[M]．济南：山东科技出版社，2005[4] 朱文辉．分解与积分有理函数的直接方法[J]．大学数学，2007，23（6）：182-185。
有理函数分解成部分分式的几种方法
取 ｘ＝ａｉ代 入 可 得 ，
Ａｉ＝ｘ－ａ１）器 ｉ＝１，２，… ）
即 ， 部 分 分 式 中各 待 定 系 数 Ａ 都 等 于 把 ｘ＝Ａ， 代 人 原 有 理 函数 中 （分 母 中 因 式 ｘ—ａ，除 外 ），此 方 法 可 称 为 “实 根 代 人 法 ”。
襄樊职业技术学院学报 第 ９卷 第 ３期 双 月 刊 ２０１０年 ５月
有理函数分解成部分分式的几种方法
李艳 萍
（健雄职业技术学院 基础教 学部 ，江苏 太仓 ２１５４１１）
摘 要：本文介绍 了将有理函数分解成部分分式的实根代入法 、复根代入法、极 限法 求导法等几种简单方法，简捷
有效地解决了有理函数的积分问题
Ｄ
’＝Ｘｌ＋ｌｑ
—
—
’
一
±巳！ ｇ ２
ｘ‘＋ｐ ｘ＋ｑ
设 ｘｌ与 ｘ２是 方 程 ｘ ＋Ｐｌｘ＋ｑ１：Ｏ的 一 对 共 轭 虚
根 ，取 ｘ＝ｘ （或 ｘ：ｘ，）代 入 可 得 。
例 １．分 解 塾 二 成 部 分 分 式 。
（ｘ ＋ｐ．ｘ＋ｑ ）Ｉ ＝Ａ ｘ１＋Ｂｉ，（ｉ＝１，２，…，ｎ）， ｌｘ １
法 ”可 得 ，
用“实根代人法”，可先求得Ａ＝丽８ｘ Ｌ－＝４，ｃ＝ ｌｘ＝１＝２．
怎 样 来 确 定 Ｂ 的 值 呢 ？将 一 个 恒 等 式 两 边 同时
‘ 两骊１ Ｉ ，＝击 Ｊ ＝ ＝ 号 施 以 某 种 运 算 仍 然 相 等 ，因 此 把 上 式 两 边 同 乘 以 ｘ，
卧ｕ ４· 分 解胖
例 ２·化分 式 可
为部 分分式 。
解 ：设
营 二 成厩部 ｓ分分 撼分式 。
4.2.5有理函数拆分
有理函数拆分有理函数是通过多项式的加减乘除得到的函数。
在数学中，理性函数是可以由有理分数定义的任何函数，即代数分数，使得分子和分母都是多项式。
多项式的系数不需要是有理数，它们可以在任何字段K 中进行。
变量的情况可以在包含K 的任何字段L 中进行。
函数的域是变量，分母不为零，代码区为L 。
● 实根代入法当分母Q(x)含有一次因式的单重因式时 即()()()()n 21a -x a -x a -x x Q Λ= 可设()()nn2211a -x A a -x A a -x A x Q x P ++=Λ 两边同乘以()n ,2,1i a -x i Λ=，即()()()()()()ni n i 2i 21i 1i a -x a -x A A a -x a -x A a -x a -x A x Q x P a -x +++=ΛΛ取i a x =，代入可得()()()()n ,2,1i x Q x P a -x A ia x i i Λ===，即，部分分式中各待定系数i A 都等于把i a x =代入原有理函数中(分母中因式x=a i 除外) 此方法称为“实根代入法”。
➢ 例1、分解x-x 1-x 3x 232+成部分分式。
解：设()()()()1-x C1x B x A 1-x 1x x 1-x 3x 2x -x 1-x 3x 2232+++=++=+用“实根代入法”可得()()()()()()21x x 1-x 3x 2x -x 1-x 3x 21-x C 1-1-x x 1-x 3x 2x -x 1-x 3x 21x B 11-x 1x 1-x 3x 2x -x 1-x 3x 2x A 1x 21x 32-1x 2-1x 320x 20x 32=++=+==+=++==++=+=======所以()()1-x 21x 1-x 1x -x 1-x 3x 232++=+● 复根代入法当分母Q(x)含有一次因式的单重因式时，其中()n ,2,1i q 4p i 2i Λ=≤，即()()()()n n 2222112q x p x q x p x q x p x x Q ++++++=Λ可设()()nn 2nn 2222211211q x p x B x A q x p x B x A q x p x B x A x Q x P +++++++++++=Λ 两边同乘以()n ,2,1a q x p x i i i 2Λ=++，即()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++++++++++++=++n n 2i i 2n n i i 222i i 222112ii 211i i 2q x p x q x p x B x A B x A q x p x q x p x B x A q x p x q x p x B x A x P x Q q x p x M M 设1x 与2x 是方程i i 2q x p x ++的一对共轭虚根 取1x x =或2x x =，代入可得()()()()n ,2,1i x P x Qq x p x B x A 1x x i i 2i i Λ=++=+=，比较等式两边的实部与虚部，即可确定i A 与i B 的值从而确定待定一次多项式()n ,2,1i B x A i i Λ=+，，此方法可称为“复根代入法”。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
高等数学 4-4几种特殊类型函数的积分
sin x
解：由万能置换公式 sin x =
sin x 2u 2u + 1 + u 2 − 1 − u 2 dx = ∫ du = ∫ du ∫ 1 + sin x + cos x (1 + u )(1 + u 2 ) (1 + u )(1 + u 2 )
A1 A2 A + + L + k , 其中 k k −1 A1, A2 , L, Ak 都是常数. ( x − a) ( x − a) x−a
特殊地： k = 1, 分解后为
A ; x−a
（2）分母中若有因式 ( x 2 + px + q ) k ，其中 p 2 − 4q < 0 则分解后为
M 1 x + N1 M x + N2 M x + Nk + 2 2 +L+ 2 k k k −1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
∫ sin 3x + sin x dx.
A+ B A− B cos 2 2
1 + sin x
sin A + sin B = 2 sin
6
∫ sin 3x + sin x dx = ∫ 2 sin 2 x cos x dx = ∫ 4 sin x cos
=
1 + sin x
1 + sin x
1 + sin x
部分分式展开法公式
部分分式展开法公式部分分式展开法公式是高等数学中常用的一种技巧，用于将一个分式拆分成多个分式之和的形式。
这种技巧在微积分、复变函数、常微分方程等领域都有广泛的应用。
一、部分分式展开法的基本思想部分分式展开法的基本思想是将一个分式表示成若干个分式之和的形式，其中每个分式的分母是不可约的一次多项式。
具体而言，对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，如果 $Q(x)$ 可以分解成若干个不可约的一次多项式的乘积，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$，则我们可以将 $frac{P(x)}{Q(x)}$ 表示成如下形式的分式之和：$$frac{P(x)}{Q(x)} = frac{A_{1,1}}{x - a_1} + cdots +frac{A_{1,k_1}}{(x - a_1)^{k_1}} + cdots + frac{A_{m,1}}{x - a_m} + cdots + frac{A_{m,k_m}}{(x - a_m)^{k_m}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数，可以通过比较系数的方法求得。
这样，我们就成功地将一个分式展开成了若干个分式之和的形式，每个分式的分母都是不可约的一次多项式。
二、部分分式展开法的具体步骤部分分式展开法的具体步骤如下：1. 对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，首先将 $Q(x)$ 分解成不可约的一次多项式的乘积形式，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$。
2. 对于每个不可约的一次多项式 $(x - a_i)^{k_i}$，分别列出如下形式的分式：$$frac{A_{i,1}}{x - a_i} + cdots + frac{A_{i,k_i}}{(x -a_i)^{k_i}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数。
大一高数第四章简单有理函数的积分
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a 0 0 ，b0 0 .
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m , 这有理函数是真分式；
( 2) n m , 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成 一个多项式和一个真分式之和.
例 难点
1 x x1 x 2 . 2 x 1 x 1
1 dx 例 2 1x
1 1 dx dx 解： 2 1x (1 x)(1 x) 1 1 1 [ ]dx 2 1x 1x
1 [ln | 1 x | ln | 1 x |] C 2 1 1x ln | | C 2 1x
注意：分母拆项是常用的技巧！
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
A 5 A B 1, , B 6 ( 3 A 2 B ) 3, x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
例. 求
1 d x d ( 解: 原式 2 2 x 1) ( x 1) ( 22 ) 1 x 1 arctan C (P203 公式 (20) ) 2 2
1 练习：求积分 x(x 1) dx.
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例. 求
解: 原式
1 ( 2 x 2) 3 2 2
如
dx, 使用凑微分法比较简单 . x 1
3
x
2
基本思路
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等 化部分分式，写成分项积分
可考虑引入变量代换
二、简单无理函数的积分
第四节有理函数的积分
x( 3x 1 2x 1) 3x 1 2x 1)( 3x 1
dx 2x 1)
( 3x 1 2x 1)dx
1 3
3
x
1d
(3x
1)
1 2
2x 1d(2x 1)
2(3x
3
1)2
1
(2x
3
1)2
C.
9
3
该题先有理化,再凑微分，避免了变量代换化为有理式 的积分所带来的麻烦.
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2 dx = 1 + u2 du,
1 sin 4
x
dx
1
3u2 3u4 8u4
u6du
1[ 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
]
C
24
1 tan
x 2
3
3 8 tan
x 2
3 8
tan
x 2
1 24
tan
x 2
3
C.
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16
【解】Ⅱ 修改万能置换公式, 令 u tan x
x2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A B, x2 x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
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5
【方法2】特殊值法(赋值法)
有理式的不定积分与有理化方法二
补例 求 dx . x3 1
解
1 1 1 x2 3 ( 2 ). x 1 3 x 1 x x 1
x2 1 2x 4 1 2x 1 3 dx x 2 x 1 2 x 2 x 1dx 2 x 2 x 1dx
1 (2 x 1)dx 3 dx 2 2 2 x x 1 2 x x 1
化简并约去两端的公因子 x后为 2 x 2 3x 1 A12 ( x 1) 2 A22 ( x 1),
即 2 x 1 A12 x A12 A22 ,
A12 2, A22 1.
得
例2 求
解
1 A Bx C , 2 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x
两端去分母,得 或
1 A(1 x 2 ) ( Bx C)(1 2x),
1 ( A 2B) x 2 ( B 2C) x C A.
比较两端的各同次幂的系数及常数项，有
A 2 B 0, 4 2 1 A , B ,C . 解之得 B 2 C 0 , 5 5 5 A C 1. 4 2 1 x 1 5 5 5. (1 2 x)(1 x 2 ) 1 2 x 1 x2
1 d (x ) 1 d ( x 2 x 1) 3 2 1 2 3 2 2 x2 x 1 (x ) 2 4
1 2x 1 2 ln(x x 1) 3 arctan C. 2 3
dx 1 1 1 2x 1 2 x3 1 3 ln(x 1) 6 ln(x x 1) 3 arctan 3 C.
变分子为
B 2
高等数学课后习题答案--第四章不定积分
第四章不定积分典型例题解析例1 求下列不定积分．（1）2dxx x ⎰． （2）3(1)(1)x x dx +-⎰．分析利用幂函数的积分公式111n n x dx x C n +=++⎰求积分时，应当先将被积函数中幂函数写成负指数幂或分数指数幂的形式．解（1）5322512252121()3dx x dx x C x C x x--+-==+=-++-⎰⎰． （2）35312222323122(1)(1)(1)353x x dx x x x dx x x x x C +-=+--=+--+⎰⎰．例2求21()x dx x+⎰． 分析 将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和．解 122211()(2)x dx x x dx x x+=++⎰⎰12212x dx x dx dx x =++⎰⎰⎰ 32314ln 33x x x C =+++． 例3求下列不定积分．（1）2523x xxe dx ⋅-⋅⎰．（2）4223311x x dx x +++⎰．分析 （1）将被积函数拆开，用指数函数的积分公式；（2）分子分母都含有偶数次幂，将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式．解（1）22()5()2522332()5()3331ln 3ln 2ln 3x xxxx x x e e e dx dx dx C ⋅⋅⋅-⋅=-=-+--⎰⎰⎰． （2）42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰． 例4求下列不定积分．（1）24221(1)x x dx x x +++⎰． （2）421x dx x+⎰． （3）221(1)dx x x +⎰． 分析根据被积函数分子、分母的特点，利用常用的恒等变形，例如：分解因式、直接拆项、“加零”拆项、指数公式和三角公式等等，将被积函数分解成几项之和即可求解．解 （1）242222111(1)(1)1x x dx dx x x x x ++=+-++⎰⎰ 22111dx dx dx x x =+-+⎰⎰⎰1arctan x x C x=--+． （2）4422(1)111x x dx dx x x-+=++⎰⎰ 222(1)(1)11x x dx x -++=+⎰221(1)1x dx dx x =-++⎰⎰C x x x ++-=arctan 313． （3）22222211(1)(1)x x dx dx x x x x +-=++⎰⎰22111dx dx x x =-+⎰⎰1arctan x C x=--+．例5 求下列不定积分． （1）11cos2dx x +⎰． （2）cos2cos sin xdx x x-⎰．（3）2cot xdx ⎰． （4）22cos2sin cos xdx x x⎰．分析 当被积函数是三角函数时，常利用一些三角恒等式，将其向基本积分公式表中有的形式转化，这就要求读者要牢记基本积分公式表．解 （1）2111tan 1cos22cos 2dx dx x C x x ==++⎰⎰．（2）22cos2cos sin cos sin cos sin x x xdx dx x x x x-=--⎰⎰(cos sin )sin cos x x dx x x C =+=-+⎰．（3）22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰． （4）222222cos2cos sin sin cos sin cos x x xdx dx x x x x-=⎰⎰ 2211sin cos dx dx x x=-⎰⎰ 22csc sec xdx xdx =-⎰⎰cot tan x x C =--+．例6 求下列不定积分．（1）99(79)x dx -⎰． （2）12()nx ax b dx +⎰．（0a ≠） （3）232(cos )x dx x ⎰． （4）(1)x x +．（5）1sin(ln )x dx x ⎰． （6）211cos()dx x x⎰．（7）2cos sin 6sin 12xdx x x -+⎰． （8）．（9）． （10）2． （11）322(arctan )1x x dx x ++⎰．分析 这些积分都没有现成的公式可套用，需要用第一类换元积分法． 解 （1）999910011(79)(79)(79)(79)7700x dx x d x x C -=--=-+⎰⎰． （2）112221()()()2n nx ax b dx ax b d ax b a+=++⎰⎰12()2(1)n n n ax b C a n +=+++． （3）232(cos )x dx x ⎰333211tan 3(cos )3dx x C x ==+⎰．（4）2C ==．（5）1sin(ln )x dx x⎰sin(ln )(ln )cos(ln )x d x x C ==-+⎰．（6）211cos dx x x ⎰111cos ()sin d C x x x=-=-+⎰． （7）2cos sin 6sin 12xdxx x -+⎰2(sin 3)(sin 3)3d x C x -==+-+⎰． （8）(tan )arcsin(tan )x x C ==+．（9）12[1(cot )](cot )x d x =-+⎰12cot (cot )cot d x x d x =--⎰⎰ 322cot (cot )3x x C =--+．（10）2231arcsin (arcsin )(arcsin )3xd x x C ==+⎰．（11）322(arctan )1x x dx x ++⎰3222(arctan )11x x dx dx x x =+++⎰⎰ 32221(1)(arctan )(arctan )21d x x d x x +=++⎰⎰ 52212ln(1)(arctan )25x x C =+++．注 用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分，一般并无规律可循，主要依靠经验的积累．而任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的运算途径．因此需要牢记基本积分公式，这样凑微分才会有目标．下面给出常见的12种凑微分的积分类型．（1）11()()()(0)n n n n f ax b x dx f ax b d ax b a na-+=++≠⎰⎰； （2）1()()ln x x x xf a a dx f a daa =⎰⎰； （3）(sin )cos (sin )(sin )f x xdx f x d x =⎰⎰；适用于求形如21sin cos m n x xdx +⎰的积分，（,m n 是自然数）．（4）(cos )sin (cos )(cos )f x xdx f x d x =-⎰⎰；适用于求形如21sin cos m n x xdx -⎰的积分，（,m n 是自然数）．（5）2(tan )sec (tan )(tan )f x xdx f x d x =⎰⎰； 适用于求形如2tan sec m n x xdx ⎰的积分，（,m n 是自然数）．（6）2(cot )csc (cot )(cot )f x xdx f x d x =-⎰⎰；适用于求形如是2cot csc m n x xdx ⎰的积分，（,m n 是自然数）．（7）1(ln )(ln )ln f x dx f x d x x=⎰⎰；（8）21(arcsin )(arcsin )(arcsin )1f x dx f x d x x =-⎰⎰；（9）21(arccos )(arccos )(arccos )1f x dx f x d x x =--⎰⎰；（10）2(arctan )(arctan )(arctan )1f x dx f x d x x =+⎰⎰；（11）2(cot )(cot )(cot )1f arc x dx f arc x d arc x x =-+⎰⎰； （12）()1(())()()f x dx d f x f x f x '=⎰⎰； 例７ 求下列函数的不定积分： （1）3cos xdx ⎰．（2）4sin xdx ⎰． （3）sin7cos(3)4x x dx π-⎰．（4）6csc xdx ⎰． （5）34sin cos x xdx ⎰．（6）35sec tan x xdx ⎰．分析 在运用第一类换元法求以三角函数为被积函数的积分时，主要思路就是利用三角恒等式把被积函数化为熟知的积分，通常会用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、积化和差公式等．解（1）被积函数是奇次幂，从被积函数中分离出cos x ，并与dx 凑成微分(sin )d x ，再利用三角恒等式22sin cos 1x x +=，然后即可积分．322coscos (sin )(1sin )(sin )xdx xd x x d x ==-⎰⎰⎰2sin sin sin d x xd x =-⎰⎰31sin sin 3x x C =-+．（2）被积函数是偶次幂，基本方法是利用三角恒等式21cos2sin 2xx -=，降低被积函数的幂次．421cos2sin ()2x xdx dx -=⎰⎰311(cos2cos4)828x x dx =-+⎰311sin 2sin 48432x x x C =-++． （3）利用积化和差公式将被积函数化为代数和的形式．1sin7cos(3)[sin(4)sin(10)]4244x x dx x x dx πππ-=++-⎰⎰ 11sin(4)(4)sin(10)(10)8442044x d x x d x ππππ=+++--⎰⎰ 11cos(4)cos(10)84204x x C ππ=-+--+． （4）利用三角恒等式22csc 1cot x x =+及2csc (cot )xdx d x =-．622222csc (csc )csc (1cot )(cot )xdx x xdx x d x ==-+⎰⎰⎰24(12cot cot )cot x x d x =-++⎰3521cot cot cot 35x x x C =---+．（5）因为322sin sin (sin )sin (cos )xdx x xdx xd x ==-，所以3424sincos sin cos (cos )x xdx x xd x =-⎰⎰24(1cos )cos (cos )x xd x =--⎰46cos (cos )cos (cos )xd x xd x =-+⎰⎰5711cos cos 57x x C =-++． （6）由于sec tan (sec )x xdx d x =，所以3524sectan sec tan (sec )x xdx x xd x =⎰⎰222sec (sec 1)(sec )x x d x =-⎰642(sec 2sec sec )(sec )x x x d x =-+⎰ 753121sec sec sec 753x x x C =-++．注利用上述方法类似可求下列积分3sinxdx ⎰、2cos xdx ⎰、cos3cos2x xdx ⎰、6sec xdx ⎰、25sin cos x xdx ⎰，请读者自行完成．例８求下列不定积分：（1）x xdx e e -+⎰．（2）x x dx e e --⎰．（3）11x dx e +⎰． 分析 可充分利用凑微分公式：x x e dx de =；或者换元，令x u e =．解（1）x x dx e e-+⎰221arctan ()1()1x x x x x e dx de e C e e ===+++⎰⎰． （2）解法1 x x dx e e--⎰221()1()1x x x x e dx de e e ==--⎰⎰, 然后用公式2211ln 2x adx C x a a x a-=+-+⎰，则x x dx e e --⎰11ln 21x x e C e -=++．解法2x x dx e e --⎰21111()()1211x xx x x de de e e e ==---+⎰⎰ 1(1)(1)()211x x x x d e d e e e -+=--+⎰⎰ 11ln 21x x e C e -=++． （3）解法1 11x dx e+⎰1(1)11x x xx xe e e dx dx e e +-==-++⎰⎰ 1(1)1xxdx d e e =-++⎰⎰ln(1)x x e C =-++．解法211xdx e+⎰(1)ln(1)11x x x x x e d e dx e C e e -----+==-=-++++⎰⎰． 解法３ 令x u e =，x du e dx =，则有11x dx e +⎰1111()ln()111udu du C u u u u u=⋅=-=++++⎰⎰ ln()ln(1)1xx xe C e C e-=+=-+++． 注在计算不定积分时，用不同的方法计算的结果形式可能不一样，但本质相同．验证积分结果是否正确，只要对积分的结果求导数，若其导数等于被积函数则积分的结果是正确的．例9求下列不定积分：（1）ln tan sin cos xdx x x⎰．（2）arctan (1)x x x +．分析 在这类复杂的不定积分的求解过程中需要逐步凑微分． 解 （1）2ln tan ln tan sin cos tan cos x xdx dx x x x x=⎰⎰ln tan (tan )ln tan (ln tan )tan x d x xd x x ==⎰⎰21ln (tan )2x C =+． （2）2arctan arctan 2(1)1()x x dx d x x x x =++⎰⎰22arctan (arctan )(arctan )xd x x C ==+⎰． 例10 求21arctan1x dx x +⎰．分析 若将积分变形为1arctan (arctan )d x x ⎰，则无法积分，但如果考虑到凑出1x，将被积函数变形为221arctan 111()x x x⋅+，再将21x 与dx 结合凑成1()d x -，则问题即可解决． 解2222111arctanarctan arctan11()1111()1()x x x dx dx d x x x x x=⋅=-+++⎰⎰⎰11arctan (arctan )d x x =-⎰211(arctan )2C x=-+．例11求21ln (ln )xdx x x +⎰． 分析 仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知(ln )1ln x x x '=+．解221ln 11(ln )(ln )(ln )ln x dx d x x C x x x x x x+==-+⎰⎰． 例12（04研） 已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，则()_________f x =． 分析 先求()f x '，再求()f x ． 解令x e t =，即ln x t =，从而ln ()tf t t'=．故 2ln 1()ln (ln )ln 2x f x dx xd x x C x ===+⎰⎰， 由(1)0f =，得0C =，所以21()ln 2f x x =．例13求sin 22sin dxx x+⎰．分析 被积函数为三角函数，可考虑用三角恒等式，也可利用万能公式代换．解法１sin 22sin dx x x +⎰3122sin (cos 1)4sin cos 22x d dx x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭==+⎰⎰22tan 1tan 1122tan 442tan cos tan222x x d x d x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎰⎰ 211tan ln tan 8242x xC =++． 解法2令cos t x =，则 sin 22sin dxx x +⎰2sin 2sin (cos 1)2sin (1cos )dx xdx x x x x ==++⎰⎰212(1)(1)dt t t =--+⎰21112811(1)dt t t t ⎛⎫=-++ ⎪-++⎝⎭⎰12(ln |1|ln |1|)81t t C t =--++++ 111ln(1cos )ln(1cos )884(1cos )x x C x =--++++． 解法３令tan 2x t =，则22sin 1t x t =+，221cos 1t x t -=+，221dx dt t =+，则 sin 22sin dx x x +⎰21111ln ||484t dt t t C t ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭⎰ 211tan ln |tan |8242x xC =++．例14 求11dx x ++⎰．分析 被积函数含有根式，一般先设法去掉根号，这是第二类换元法最常用的手段之一． 解 设1x t +=，即21x t =-，2dx tdt =，则212(1)1111t dt dt t t x ==-++++⎰⎰⎰22ln 1t t C =-++212ln(11)x x C =+-+++例15 求455x x-+-⎰．分析 被积函数中有开不同次的根式，为了同时去掉根号，选取根指数的最小公倍数．解45x t -=，34dx t dt =-，则24414(1)1155dxt dt t dt t t x x-==--+++-+-⎰⎰⎰ 214(ln 1)2t t t C =--+++4414[55ln(15)]2x x x C =----++-+． 例16 243(1)(1)dxx x +-⎰解 令311x t x -=+，即3211x t =--，2326(1)t dx dt t =-，则 243(1)(1)dxx x +-⎰23322332164(1)1(1)(1)1dx t dt t t x tx t x ==⋅--⋅--+⎰⎰132313131()2221x dt C C t t x +==-⋅+=-+-⎰． 例17求224x x dx -⎰．分析被积函数中含有根式24x -，可用三角代换2sin x t =消去根式． 解 设242cos (0)2x t t π-=<<，2cos dx tdt =，则222244sin 2cos 2cos 4sin 2x x dx t t tdt t dt -=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰12(1cos4)2sin 42t dt t t C =-=-+⎰222sin cos (12sin )t t t t C =--+2212arcsin 4(1)222x x x x C =---+．注1 对于三角代换，在结果化为原积分变量的函数时，常常借助于直角三角形．注2 在不定积分计算中，为了简便起见，一般遇到平方根时总取算术根，而省略负平方根情况的讨论．对三角代换，只要把角限制在0到2π，则不论什么三角函数都取正值，避免了正负号的讨论．例18 求221(1)dx x +⎰． 分析虽然被积函数中没有根式，但不能分解因式，而且分母中含有平方和，因此可以考虑利用三角代换，将原积分转换为三角函数的积分．解 设tan x t =，2sec dx tdt =，()2241sec x t +=，则222241sec cos (1)sec t dx dt tdt x t ==+⎰⎰⎰111(1cos2)sin 2224t dt t t C =+=++⎰ 21arctan 22(1)xx C x =+++． 例19求22x a dx x-⎰． 分析 被积函数中含有二次根式22x a -，但不能用凑微分法， 故作代换sec x a t =， 将被积函数化成三角有理式．解 令sec x a t =，sec tan dx a t tdt =⋅，则22x a dx x -⎰22tan sec tan tan (sec 1)sec a t a t tdt a tdt a t dt a t=⋅⋅==-⎰⎰⎰ (tan )a t t C =-+22(arccos )x a aa C a x-=-+．例20求248x dx x x ++⎰．解 由于2248(2)4x x x ++=++，故可设22tan x t +=，22sec dx tdt =，22(2tan 2)2sec 2sec tan 2sec 2sec 48xt t dx dt t tdt tdt t x x -⋅==-++⎰⎰⎰⎰12sec 2ln sec tan t t t C =-++22482ln(248)x x x x x C =+++++++．()12ln 2C C =+注 2ax bx c ++ 由 22222224()0244()024b ac b a x a a a ax bx c b b ac a x a a a ⎧-++>⎪⎪++⎨-⎪--++<⎪⎩可作适当的三角代换， 使其有理化．例21 求23(24)x x -+．解23(24)x x -+322[3(1)]dx x =+-⎰，令13x t -=，则322321sec 11cos sin 3sec 33[3(1)]dxt dt tdt t C t x ===++-⎰⎰⎰21324x C x x -=+-+． 故 23(24)dx x x -+⎰21324x C x x -=+-+．例22求421(1)dx x x +⎰．分析当有理函数的分母中的多项式的次数大于分子多项式的次数时，可尝试用倒代换．解 令1x t=，21dx dt t =-，于是421(1)dx x x +⎰44221111t t dt dt t t --+==-++⎰⎰221(1)1t dt dt t =---+⎰⎰31arctan 3t t t C =--+3111arctan 3C x x x=--+． 注有时无理函数的不定积分当分母次数较高时，也可尝试采用倒代换，请看下例． 例23 求22a x dx -． 解 设1x t=，2dtdx t =-，则2222241()dt a a xt t t -⋅--=1222(1)a t t dt =--⎰．当0x >时，1222222221(1)(1)2a x dx a t d a t a-=---⎰ 32222(1)3a t C a -=-+322223()3a x C a x -=-+．当0x <时，有相同的结果．故22a xdx-322223()3a x C a x -=-+．注1第二类换元法是通过恰当的变换，将原积分化为关于新变量的函数的积分，从而达到化难为易的效果，与第一类换元法的区别在于视新变量为自变量，而不是中间变量．使用第二类换元法的关键是根据被积函数的特点寻找一个适当的变量代换．注2 用第二类换元积分法求不定积分，应注意三个问题： （1）用于代换的表达式在对应的区间内单调可导，且导数不为零． （2）换元后的被积函数的原函数存在． （3）求出原函数后一定要将变量回代．注3 常用的代换有：根式代换、三角代换与倒代换．根式代换和三角代换常用于消去被积函数中的根号，使其有理化，这种代换使用广泛．而倒代换的目的是消去或降低被积函数分母中的因子的幂．注4 常用第二类换元法积分的类型： （1）(,),n n f x ax b dx t ax b +=+⎰令． （2）(,),nnax b ax bf x dx t cx d cx d++=++⎰令． （3）222(,)f x a b x dx -⎰，可令sin a x t b =或cos ax t b =． （4）222(,)f x a b x dx +⎰，可令tan a x t b =或ax sht b =．（5）222(,)f x b x a dx -⎰，可令sec a x t b =或ax cht b=．（6）当被积函数含有22(40)px qx r q pr ++-<时，利用配方与代换可化为以上（3），（4），（5）三种情形之一．（7）当被积函数分母中含有x 的高次幂时，可用倒代换1x t=．例24求下列不定积分：（1）3x xe dx -⎰．（2）2sin 4x xdx ⎰．（3）2ln x xdx ⎰．（4）arcsin xdx ⎰． （5）arctan x xdx ⎰．（6）sin ax e bxdx ⎰22(0)a b +≠．分析上述积分中的被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数中的某两类函数的乘积，适合用分部积分法．解（1）3x xe dx -⎰33333111()33339xx x x x x x xd e e e dx e e C -----=-=-+=--+⎰⎰． （2）2sin 4x xdx ⎰2211(cos4)cos4cos4442x x d x x x xdx =-=-+⎰⎰22111cos4(sin 4)cos4sin 4sin 448488x x x xd x x x x xdx =-+=-+-⎰⎰211cos4sin 4cos44832x x x x x C =-+++．（3）2ln x xdx ⎰3333211ln ()ln ln 33339x x x xd x x x dx x C ==-=-+⎰⎰．（4）解法1 arcsin xdx ⎰22arcsin arcsin 11x x dx x x x C x =-=+-+-⎰．解法2 令arcsin t x =，即sin x t =，则arcsin (sin )sin sin sin cos xdx td t t t tdt t t t C ==-=++⎰⎰⎰2arcsin 1x x x C =+-+（5）解法1 arctan x xdx ⎰222211arctan arctan 2221x x xdx x dx x ==-+⎰⎰2211arctan (1)221x x dx x =--+⎰ 21arctan arctan 222x x x x C =-++． 解法221arctan arctan (1)2x xdx xd x =+⎰⎰ 22111arctan arctan 2222x x xx dx x C ++=-=-+⎰．（6）解法1sin axe bxdx ⎰11sin ()sin cos axax ax b bxd e e bx e bxdx a a a ==-⎰⎰ 21sin cos ()ax ax be bx bxd e a a=-⎰2221sin cos sin ax ax axb b e bx e xbx e bxdx a a a=--⎰ 从而21221(1)sin sin cos ax ax ax b be bxdx e bx e bx C a a a+=-+⎰，则221sin (sin cos )ax axe bxdx e a bx b bx C a b =-++⎰．解法21sin cos axaxe bxdx e d bx b =-⎰⎰，然后用分部积分，余下的解答请读者自行完成． 注在用分部积分法求()f x dx ⎰时关键是将被积表达式()f x dx 适当分成u 和dv 两部分．根据分部积分公式udv uv vdu =-⎰⎰，只有当等式右端的vdu 比左端的udv 更容易积出时才有意义，即选取u 和dv 要注意如下原则：（1）v 要容易求；（2）vdu ⎰要比udv ⎰容易积出． 例25求cos ln(cot )x x dx ⎰．分析 被积函数为三角函数与对数函数的乘积， 可采用分部积分法． 解cos ln(cot )ln(cot )(sin )x x dx x d x =⎰⎰21sin ln(cot )sin (csc )cot x x x x dx x=⋅-⋅⋅-⎰ sin ln(cot )sec x x xdx =⋅+⎰ sin ln(cot )ln sec tan x x x x C =+++例26求2ln(1)x x dx ++⎰．分析 被积函数可以看成是多项式函数与对数函数的乘积，可采用分部积分法．解 2222112ln(1)ln(1)(1)211xx x dx x x x x dx x x x++=++-⋅⋅+⋅+++⎰⎰22ln(1)1x x x x dx x=++-+⎰122221ln(1)(1)(1)2x x x x d x -=++-++⎰22ln(1)1x x x x C =++-++．例27求1x xxe dx e -⎰．分析 可利用凑微分公式x x e dx de =，然后用分部积分；另外考虑到被积函数中含有根式，也可用根式代换．解法11x x dx e -⎰2(1)1x x x xd e e ==--⎰⎰211x x x e e dx ⎡⎤=---⎣⎦⎰， 令1x t e =-，则2ln(1)x t =+，221tdtdx t=+，则 212122(arctan )1xt dte dx t t C t -==-++⎰⎰，故1x x dx e -⎰()21212arctan 1x x x x e e e Cz =---+-+21414arctan 1x x x x e e e C =---+-+．解法21x e tz -=，则1xx xe dx e -⎰22222ln(1)2ln(1)41t t dt t t dt t =+=+-+⎰⎰ 22ln(1)44arctan t t t t C =+-++21414arctan 1x x x x e e e C =---+-+．注求不定积分时，有时往往需要几种方法结合使用，才能得到结果． 例28（01研） 求2arctan xxe dx e⎰． 分析 被积函数是指数函数和反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法． 解法12arctan x xe dx e ⎰222211arctan ()arctan 22(1)x x x x xx x de e d e e e e e --⎡⎤=-=--⎢⎥+⎣⎦⎰⎰ 21arctan arctan 2x x x xe e e e C --⎡⎤=-+++⎣⎦． 解法2 先换元，令x e t =，再用分部积分法，请读者自行完成余下的解答．例29 求3csc xdx ⎰．分析 被积函数含有三角函数的奇次幂，往往可分解成奇次幂和偶次幂的乘积，然后凑微分，再用分部积分法．解32csc csc (csc )csc (cot )xdx x x dx xd x ==-⎰⎰⎰ 2csc cot cot csc x x x xdx =--⋅⎰ 3csc cot csc csc x x xdx xdx =--+⎰⎰ 3csc cot csc ln csc cot x x xdx x x =--+-⎰，从而31csc (csc cot ln csc cot )2xdx x x x x C =---+⎰． 注用分部积分法求不定积分时，有时会出现与原来相同的积分，即出现循环的情况，这时只需要移项即可得到结果． 例30求下列不定积分：（1）22221(1)x x x e dx x ---⎰． （2）2ln 1(ln )x dx x -⎰． 解（1）2222222112(1)1(1)xx xx x xdx e dx e dx e x x x --=----⎰⎰⎰ 221()11x x e dx e d x x =+--⎰⎰ 22221111x x x x e e e e dx dx C x x x x =+-=+----⎰⎰．（2）22ln 111(ln )ln (ln )x dx dx dx x x x -=-⎰⎰⎰ 221ln (ln )(ln )x x dx dx x x x x =+-⎰⎰ ln xC x=+． 注将原积分拆项后，对其中一项分部积分以抵消另一项，或对拆开的两项各自分部积分后以抵消未积出的部分，这也是求不定积分常用的技巧之一．例31 求sin(ln )x dx ⎰．分析 这是适合用分部积分法的积分类型，连续分部积分，直到出现循环为止． 解法1 利用分部积分公式，则有1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⎰⎰ sin(ln )cos(ln )x x x dx =-⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，所以1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x C =-+⎰． 解法２ 令 ln x t =，t dx e dt =，则sin(ln )x dx ⎰=sin sin sin sin cos sin t t t t t te tdt e t e tdt e t e t e tdt =-=--⎰⎰⎰，所以11sin(ln )(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t tx dx e t e t C x x x C =-+=-+⎰． 例32 求ln n n I xdx =⎰，其中n 为自然数． 分析 这是适合用分部积分法的积分类型． 解11ln ln ln ln n n n n n n I xdx x x n xdx x x nI --==-=-⎰⎰，即1ln n n n I x x nI -=-为所求递推公式．而1ln ln ln I xdx x x dx x x x C ==-=-+⎰⎰．注1 在反复使用分部积分法的过程中，不要对调u 和v 两个函数的“地位”，否则不仅不会产生循环，反而会一来一往，恢复原状，毫无所得．注2 分部积分法常见的三种作用： （1）逐步化简积分形式； （2）产生循环；（3）建立递推公式．例33求积分24411(21)(23)(25)x x dx x x x +--+-⎰．分析 计算有理函数的积分可分为两步进行，第一步：用待定系数法或赋值法将有理分式化为部分分式之和；第二步：对各部分分式分别进行积分．解 用待定系数法将24411(21)(23)(25)x x x x x +--+-化为部分分式之和．设24411(21)(23)(25)212325x x A B Cx x x x x x +-=++-+--+-， 用(21)(23)(25)x x x -+-乘上式的两端得24411(23)(25)(21)(25)(21)(23)x x A x x B x x C x x +-=+-+--+-+，两端都是二次多项式，它们同次幂的系数相等，即131155311A B C A B C A B C ++=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=-⎩， 这是关于A ，B ，C 的线性方程组，解之得12A =，14B =-，34C =．由于用待定系数法求A ，B ，C 的值计算量大，且易出错，下面用赋值法求A ，B ，C ．因为等式24411(23)(25)(21)(25)(21)(23)x x A x x B x x C x x +-=+-+--+-+是恒等式，故可赋予x 为任何值．令 12x =，可得12A =．同样，令32x =-得14B =-，令52x =，得34C =，于是 24411(21)(23)(25)x x dx x x x +--+-⎰111131221423425dx dx dx x x x =-+-+-⎰⎰⎰ 113ln 21ln 23ln 25488x x x C =--++-+ 231(21)(25)ln 823x x C x --=++． 例34 求321452dx x x x +++⎰．解 32452x x x +++是三次多项式，分解因式 32322452()3()2(1)x x x x x x x x +++=+++++22(1)(32)(1)(2)x x x x x =+++=++设221(1)(2)21(1)A B Cx x x x x =+++++++，即2()(23)(22)1A B x A B C x A B C +++++++=，从而0230221A B A B C A B C +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩， 解得1A =，1B =-，1C =，因此3221111()45221(1)dx dx x x x x x x -=++++++++⎰⎰ 211121(1)dx dx dx x x x =-++++⎰⎰⎰ 1ln 2ln 11x x C x =+-+-++． 例35求22(1)(1)dxx x x +++⎰．解因为222211(1)(1)11x x x x x x x x -+=+++++++，所以22221()(1)(1)11dx x x dx x x x x x x -+=+++++++⎰⎰222221(1)1(1)1212121d x d x x dxx x x x x +++=-+++++++⎰⎰⎰ 2221()1112ln(1)ln(1)13222()24d x x x x x +=-+++++++⎰ 2211321ln arctan 2133x x C x x ++=-++++．例36求2425454x x dx x x ++++⎰．解设24222545414x x Ax B Cx D x x x x ++++=+++++，则有 23254()()(4)4x x A C x B D x A C x B D ++=+++++++，比较两边同次幂的系数，解得53A =，1B =，53C =-，0D =，从而 24222541535543134x x x xdx dx dx x x x x +++=-++++⎰⎰⎰2222255151ln arctan 3134164x x x dx dx dx x C x x x x +=-+=++++++⎰⎰⎰． 例37 求322456x x dx x x +++⎰．分析 322456x x x x +++是假分式，先化为多项式与真分式之和，再将真分式分解成部分分式之和．解 由于32224615656x x x x x x x x +-=--++++ 98132x x x =--+++，则 322498(1)5632x x dx x dx x x x x +=--+++++⎰⎰219ln 38ln 22x x x x C =--++++． 例38 求5632x dxx x --⎰．解 令3u x =，23du x dx =，则533636321()123232x dx x d x udux x x x u u ==------⎰⎰⎰ 1112()3(1)(2)912u du du u u u u ==++-+-⎰⎰332121ln 1ln 2ln (1)(2)999u u C x x C =++-+=+-+． 例39 求2100(1)x dx x -⎰． 分析 被积函数2100(1)x x -是有理真分式，若按有理函数的积分法来处理，那么要确定1A ，2A ，…，100A ，比较麻烦．根据被积函数的特点：分母是x 的一次因式，但幂次较高，而分子是x 的二次幂，可以考虑用下列几种方法求解．解法1 令1x t -=，dx dt =-，则222100100100(1)21(1)x t t t dx dt dt x t t --+=-=--⎰⎰⎰98991002t dt t dt t dt ---=-+-⎰⎰⎰9798991112979899t t t C ---=-⋅++ 979899111(1)(1)(1)974999x x x C ---=---+-+． 解法222100100(1)1(1)(1)x x dx dx x x -+=--⎰⎰9910011(1)(1)x dx dx x x +=-+--⎰⎰ 99100(1)21(1)(1)x dx dx x x --=+--⎰⎰ 98991001112(1)(1)(1)dx dx dx x x x =-+---⎰⎰⎰ 979899111(1)(1)(1)974999x x x C ---=---+-+． 解法3 用分部积分法．22991001[(1)](1)99x dx x d x x -=--⎰⎰29999299(1)99(1)x x dx x x =---⎰2989921[(1)]99(1)9998x xd x x -=---⎰ 299989821[]99(1)9998(1)98(1)x x dx x x x =-----⎰ 299989712199(1)9949(1)999897(1)x x C x x x =-⋅-⋅+--⋅-． 注 形如()()P x Q x 的（()P x 与()Q x 均为多项式）有理函数的积分关键是将有理真分式分解成部分分式之和，而部分分式都有具体的积分方法，对于假分式则要化为真分式与多项式之和．例40 求13221dx x x ++-⎰． 分析 这是无理函数的积分，先要去掉根号化为有理函数的积分，分子分母有理化是常用去根号的方法之一．解132213221(3221)(3221)x x dx dx x x x x x x +--=++-++-+--⎰⎰112211(32)(21)44x dx x dx =+--⎰⎰ 332211(32)(21)1212x x C =+--+． 例41 求a xdx a x+-⎰． 解法12222221a x a x xdx dx a dx dx a x a x a x a x++==+----⎰⎰⎰⎰ 1222222211()()2a dx a x d a x a x -=----⎰⎰ 22arcsin xa a x C a=--+．解法2 令 a xt a x+=-，余下的请读者自行完成． 例42求154sin 2dx x+⎰．分析被积函数是三角有理函数，可用万能公式将它化为有理函数． 解令tan t x =，211dx dt t=+，则 21154sin 2585dx dt x t t =+++⎰⎰54332543311()3()1d t t =+++⎰154arctan()333t C =++154arctan(tan )333x C =++． 注虽然万能代换公式总能求出积分，但对于具体的三角有理函数的积分不一定是最简便的方法．通常要根据被积函数的特点，采用三角公式简化积分．例43求1sin cos dxx x++⎰．解法1令tan 2xu =，则2222211211sin cos 1111dx u du du u u x x u u u +==-+++++++⎰⎰⎰ln 1tan 2x C =++．解法21sin cos dxx x ++⎰22122sin cos 2cos cos (1tan )22222dx dx x x x x x ==++⎰⎰ 2()(tan )22cos (1tan )1tan222x x d d x x x==++⎰⎰ ln 1tan2xC =++． 注 可化为有理函数的积分主要要求熟练掌握如下两类： 第一类是三角有理函数的积分，即可用万能代换tan2xu =将其化为u 的有理函数的积分． 第二类是被积函数的分子或分母中带有根式而不易积出的不定积分．对于这类不定积分，可采用适当的变量代换去掉根号，将被积函数化为有理函数的积分．常用的变量代换及适用题型可参考前面介绍过的第二类换元法．例44 求2max{,1}x dx ⎰．分析 被积函数2max{,1}x 实际上是一个分段连续函数，它的原函数()F x 必定为连续函数，可先分别求出各区间段上的不定积分， 再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关系．解 由于221,()max{,1}1,1x x f x x x >⎧==⎨≤⎩，设()F x 为()f x 的原函数，则312331,13(),11,13x C x F x x C x x x C ⎧+⎪<-⎪=+≤⎨⎪>⎪+⎩，其中1C ，2C ，3C 均为常数，由于()F x 连续，所以121(1)(1)13F C F C -+-=-+=-=-，231(1)1(1)3F C F C -+=+==+，于是1223C C =-+，3223C C =+，记 2C C =，则32312,133max{,1},112,133x C x x dx x C x x x C⎧-+⎪<-⎪=+≤⎨⎪>⎪++⎩⎰． 注对于一些被积函数中含有绝对值符号的不定积分问题，也可以仿照上述方法处理． 例45 求x e dx -⎰． 解 当0x ≥时，1xx xe dx e dx e C ---==-+⎰⎰． 当0x <时，2xx x edx e dx e C -==+⎰⎰．因为函数x e -的原函数在(,)-∞+∞上每一点都连续，所以120lim()lim()x xx x e C e C +--→→-+=+， 即1211C C -+=+，122C C =+，记 2C C =，则2,0,0xxxe C x e dx x e C --⎧-++≥⎪=⎨<+⎪⎩⎰． 错误解答 当0x ≥时，1xx x edx e dx e C ---==-+⎰⎰．当0x <时，2xx x edx e dx e C -==+⎰⎰．故12,0,0xxxe C x e dx e C x --⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩⎰． 错解分析 函数的不定积分中只能含有一个任意常数，这里出现了两个，所以是错误的．事实上，被积函数x e -在(,)-∞+∞上连续，故在(,)-∞+∞上有原函数，且原函数在(,)-∞+∞上每一点可导，从而连续．可据此求出任意常数1C 与2C 的关系，使x e -的不定积分中只含有一个任意常数．注 分段函数的原函数的求法：第一步，判断分段函数是否有原函数．如果分段函数的分界点是函数的第一类间断点， 那么在包含该点的区间内，原函数不存在．如果分界点是函数的连续点，那么在包含该点的区间内原函数存在．第二步，若分段函数有原函数，先求出函数在各分段相应区间内的原函数，再根据原函数连续的要求，确定各段上的积分常数，以及各段上积分常数之间的关系．例46 求下列不定积分：（1）sin 1cos x x dx x ++⎰．（2）3sin 2cos sin cos xx x xe dx x-⎰．（3）cot 1sin xdx x+⎰．（4）3sin cos dxx x⎰． 解（1）注意到sin (1cos )xdx d x =-+及2211(tan )1cos 2cos 2xxdx dx d x ==+，可将原来的积分拆为两项，然后积分，即sin sin 1cos 1cos 1cos x x x xdx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰1(tan )(1cos )21cos x xd d x x =-++⎰⎰tan tan ln(1cos )22x xx dx x =--+⎰1tan 2ln cos ln(1cos )22x xx x C =+-++21tan2ln cos ln(2cos )222x x xx C =+-+ 1tan (ln 2)2x x CC C =+=-．（2）被积函数较为复杂，直接凑微分或分部积分都比较困难，不妨将其拆为两项后再观察．3sin sin sin 2cos sin cos tan sec cos xx x x x xedx e x xdx e x xdx x-=-⎰⎰⎰ sin sin ()(sec )x x xd e e d x =-⎰⎰sin sin sin sin sec x x x x xe e dx e x e dx =--+⎰⎰ sin (sec )x e x x C =-+．（3）cot cos 1(sin )1sin sin (1sin )sin (1sin )x x dx dx d x x x x x x ==+++⎰⎰⎰11(sin )(sin )sin 1sin d x d x x x =-+⎰⎰ sin ln 1sin x C x=++．（4）当分母是sin cos m n x x 的形式时，常将分子的1改写成22sin cos x x +，然后拆项，使分母中sin x 和cos x 的幂次逐步降低直到可利用基本积分公式为止．33cos sin cos sin cos sin dx dx xdx x x x x x =+⎰⎰⎰3sin 2csc2sin d xxdx x =+⎰⎰21ln csc2cot 22sin x x C x=--+．注将被积函数拆项，把积分变为几个较简单的积分，是求不定积分常用的技巧之一．例47 求223(1)x dx x -⎰．解 考虑第二类换元积分法与分部积分法，令sin x t =，则222353235sin tan sec (sec sec )(1)cos x t dx dt t tdt t t dt x t ===--⎰⎰⎰⎰， 而53323secsec (tan )sec tan 3tan sec tdt td t t t t tdt ==-⎰⎰⎰ 353sec tan 3(sec sec )t t t t dt =--⎰．故53313sec sec tan sec 44tdt t t tdt =+⎰⎰． 又32secsec (tan )sec tan tan sec tdt td t t t t tdt ==-⎰⎰⎰ 3sec tan (sec sec )t t t t dt =--⎰，从而3111sec sec tan ln sec tan 22tdt t t t t C =+++⎰， 所以223(1)x dx x -⎰3311sec tan sec 44t t tdt =-⎰3111sec tan sec tan ln sec tan 488t t t t t t C =--++ 32211ln 8(1)161x x xC x x++=-+--．例48 求7cos 3sin 5cos 2sin x xdx x x-+⎰．解因为(5cos 2sin )2cos 5sin x x x x '+=-，所以可设7cos 3sin (5cos 2sin )(5cos 2sin )x x A x x B x x '-=+++，即7cos 3sin (5cos 2sin )(2cos 5sin )x x A x x B x x -=++-，比较系数得527253A B A B +=⎧⎨-=-⎩， 解之得1A =，1B =，故7cos 3sin 5cos 2sin x x dx x x -+⎰(5cos 2sin )(5cos 2sin )5cos 2sin x x x x dx x x'+++=+⎰ (5cos 2sin )5cos 2sin d x x dx x x+=++⎰⎰ln 5cos 2sin x x x C =+++．例49 设()F x 是()f x 的原函数，且当0x ≥时有2()()sin 2f x F x x ⋅=，又(0)1F =，()0F x ≥，求()f x ．分析 利用原函数的定义，结合已知条件先求出()F x ，然后求其导数即为所求．解 因为()()F x f x '=，所以2()()sin 2F x F x x '=，两边积分得2()()sin2F x F x dx xdx '=⎰⎰，即211()sin 4228x F x x C =-+， 由(0)1F =得12C =，所以 1()sin 414F x x x =-+从而()()12sin 414f x F x x x '==-+21sin 414x x =-+．。
几种特殊函数的积分
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
第4节有理函数的不定积分
2
2
2
例2
求积分
1 sin4
x
dx.
解
令utanx, 2
sinx12uu2 ,
dx12u2du,
1 sin4
x
dx
13u28u34u4u6du
1 8[31 u3u 33uu 33]C 2 4 t1 a2 x n 38t3 a2 xn 8 3ta2 xn 2 1 4 ta2 x n 3C .
解法二
令 utaxn ,则sinx
u, 1u2
dx11u2
du,
1 sin4 xdx
1 u
4 11u2du
1u2
1 u2 u4
du
31u3
1C u
1co3xtcoxtC. 3
解法三
1 sin4
dx x
cs4cxdxcs2x ccs2xc dx
令 t pa x b,其中p为m,n的最小公.倍数
例1
求积分
1
dx 3x
2
.
解 令 t3x2, 则 xt32,dx3t2dt,
原式 13t2tdt 3(t211)t1dt 3(t11 1t)dt
31 t 2 tln1t C
2 33 (x2)2 33 x23ln13x2C.
原式 (1u)2u 1 (u2)du 2u( 11u)u(12 1u 2)u2du
(1(1u)u2)(1(1u2u)2)du
1u 1u2
du
1 du 1 u
arctuan 1ln(1u2)ln |1u|C
2
x ln| secx | ln|1taxn|C.
部分分式展开法公式
部分分式展开法公式部分分式展开法公式是数学中的一个重要公式，用于将一个有理函数拆分成若干个简单的分式之和。
这个公式在微积分、线性代数和工程学中都有广泛的应用。
有理函数是指一个多项式函数除以另一个多项式函数的商，比如： f(x) = (x^2 + 2x + 1) / (x + 1)这个函数可以展开成两个分式之和：f(x) = x + 1 + 1 / (x + 1)这个展开的过程就是部分分式展开。
部分分式展开的目的是将一个有理函数拆分成若干个简单的分式之和，以方便计算。
比如，如果要计算一个复杂的积分：∫(x^3 + 2x^2 + x + 1) / (x^2 + 2x + 1) dx我们可以先将被积函数拆分成若干个分式之和：(x^3 + 2x^2 + x + 1) / (x^2 + 2x + 1) = Ax + B + C / (x + 1)^2然后再分别计算每个分式的积分：∫Ax dx = A/2 x^2 + C1∫B dx = Bx + C2∫C / (x + 1)^2 dx = -C ln|x + 1| + D最后将这些积分结果相加就是所求的积分：∫(x^3 + 2x^2 + x + 1) / (x^2 + 2x + 1) dx = A/2 x^2 + Bx - C ln|x + 1| + E其中A、B、C、D、E是待定系数，通过求解这些系数就可以得到部分分式展开的结果。
部分分式展开的公式有很多种形式，下面介绍其中两种比较常见的形式。
第一种形式的部分分式展开公式：如果被拆分的有理函数是这样的形式：f(x) = (x - a) / (x^2 + bx + c)其中a、b、c是常数，则可以将f(x)拆分成以下形式之一：f(x) = A / (x - r) + B / (x + r)f(x) = (Ax + B) / (x^2 + bx + c)f(x) = A / (x - a) + Bx + C / (x^2 + bx + c)其中r是方程x^2 + bx + c = 0的实根，A、B、C是待定系数。
有理函数不定积分求解技巧
有理函数不定积分求解技巧理函数是指由多项式函数和有理函数进行有限次四则运算和复合运算所得到的函数。
而求解有理函数的不定积分，常常利用以下几个技巧：1.分解为部分分式当有理函数的分母是多项式时，可以试图将其分解为部分分式的和。
具体步骤如下：a) 将分母进行因式分解；b) 将每个因式拆分成一个部分分式；c) 对每个部分分式的不定积分进行求解。
例如，考虑求解函数 f(x) = (2x^3 + 3x^2 + x + 1) / (x^2 + 2x + 1) 的不定积分，可以将分母进行因式分解为(x + 1)^2，然后拆分成两个部分分式：f(x) = A/(x + 1) + B/(x + 1)^2，其中 A 和 B 是待定系数。
然后可通过合并同类项，并与原有函数进行比较得到关于 A 和 B 的方程，进而求解 A 和 B 的值。
最后，对每个部分分式分别求不定积分。
2.运用代换通过进行合适的代换，可以简化有理函数的不定积分。
通常有如下几种常见的代换：a) 代换 u = g(x)，其中 g(x) 是有理函数。
这种代换常用于消去有理函数中的平方根；b) 代换 u = x^n，其中 n 是正整数。
这种代换常用于将有理函数化为幂函数。
例如，考虑求解函数 f(x) = (x-1) / sqrt(x^3 + 1) 的不定积分，可以进行代换u = x^3 + 1，从而得到新的有理函数 g(u) = f(x)。
然后，对 g(u) 进行求解，并将 u 的表达式代回到原有的变量 x 中。
3.利用有理函数的性质有理函数具有一些特殊的性质，可以用来简化其不定积分的求解。
a) 若有理函数 f(x) 是奇函数（即满足 f(-x) = -f(x)），则在对f(x) 的不定积分时，可以只考虑正半轴上的积分，并在最后的结果中加上相应的负号。
例如，考虑求解函数f(x)=1/x 的不定积分。
由于f(x) 是奇函数，所以只需求解在正半轴上的积分，即∫(0 to x) 1/t dt。
分式有理函数拆分
分式有理函数拆分分式有理函数拆分是高等数学中的一个重要概念，也是本文将要关注的主题。
它的主要目的是将一种复杂的分式有理函数表达式拆分成为更为简单的形式，以便于我们进行进一步的计算和求解。
本文将对分式有理函数的拆分方法进行详细介绍。
一、分式有理函数的基本定义概述分式有理函数是由多项式函数的比值构成的，如 P(x)/Q(x)，其中P(x)、Q(x) 均为多项式函数，Q(x) 不能为零。
它是代数学中重要的概念之一，具有广泛的应用价值。
二、分式有理函数的拆分过程拆分过程是分式有理函数求解的基础，主要有以下几个步骤：1、化简分式有理函数的形式，将它们转化为最简形式，即消除分母和分子中的公因式、约掉公共项。
2、运用部分分式分解原理，将分式有理函数分解为若干个分式的和的形式。
3、分解出的分式分别可以采用通分或换元或待定系数法等方法进一步求解。
三、分式有理函数拆分的重要性1、帮助我们简化复杂的分式有理函数，便于进行进一步的计算或简化，提高计算效率。
2、解决实际问题中的分式有理函数求解，如在电路分析中，分式有理函数拆分可用于求取系统的阻抗、电流、电压等参数。
3、在微积分中，分式有理函数拆分可用于求解相关的平衡常数、极值、连续等概念和现象。
四、分式有理函数拆分的常用方法1、分母中含有多个实数不同的一次多项式，拆分成为若干个特殊形式的部分分式之和。
2、分母中含有多个实数相同的一次多项式，拆分成为若干个特殊形式的部分分式之和。
3、分母中含有重根，检查分子次数，与分母次数之差为1，将分母拆分为一次多项式和重根（x+k)^j的乘积两部分。
4、分母中含有复根，将它们分解为实根和共轭复根两个部分进行拆分。
五、分式有理函数拆分的实例1、拆分 (3x+4)/(x^2-2x-3) 为部分分式之和，计算其不定积分。
2、拆分 (x+1)/(x^4-1) 为部分分式之和，计算积分。
3、拆分 x/(x^2+1) 为部分分式之和，计算积分。
以上实例可依据上述方法逐一拆分，求解过程应透彻，关键之处应注重理解。
有理函数积分
万能代换
t 的有理函数的积分
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 sin x 2sin cos 2 x 2 2 2 x 1 tan sec 2 2 2 x 2 x 1 tan 1 tan 2 x 2 x 2 2, cos x cos sin 2 2 2 x 2 x 1 tan sec 2 2 x x 2arctan u （万能置换公式） 令 u tan 2
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
变分子为
M 2
(2 x p)分 2 n ( x px q )
2 p p 2 x px q x q , 2 4 2
x dx 使用凑微分法比较简单 3 x 1
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等
2
基本思路
化部分分式，写成分项积分 可考虑引入变量代换
例2. 求积分
解：
1 dx . 2 x( x 1)
1 1 1 1 dx dx 2 2 x( x 1) x 1 x ( x 1)
2 2u 2 1 u sin x , cos x du , dx 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2u 1 u 2 2 R(sin x ,cos x ) dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du.
1 sin x dx . 例8. 求 sin x(1 cos x) x 解: 令 t tan , 则 2 x cos x x 2 sin 2 2 tan 2t 2 2 sin x 2 x cos 2 x 1 tan 2 x 1 t 2 sin 2 2 2
3-3有理式的不定积分与有理化方法
∴
ห้องสมุดไป่ตู้
4 2 1 − x+ 1 = 5 + 5 25. (1 + 2 x)(1 + x 2 ) 1 + 2 x 1+ x
dx 2 d(1+ 2x) 1 d(1+ x ) 1 = ∫ + − 2 5 1+ 2x 5 1+ x2 5 1+ x
∫
2
∫
2 = ln 1+ 2x 5
1 1 2 − ln (1+ x )+ arctan x + C 5 5
变分子为
B 2
(2x + p)+ C − B2p
再分项积分
2C 2x + Bx + C B B dx 3. dx = ∫ 2 2 2 x + px + q x + px + q Bp 2C C− 2x + p + −p B 2x + p B B 2 dx dx + dx = ∫ 2 = ∫ 2 x + px + q 2 x2 + px + q x2 + px + q
∫
∫
∫
而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式.
1 x 2n −1 + I 递推公式 In+1 = 2 2 2 n 2 n 2n a (x + a ) 2n a 1 x 说明: 说明 已知 I1 = arctan + C 利用递推公式可求得 In . a a 例如, 1 x 3 I3 = 2 2 2 2 + 2 I2 4a (x + a ) 4a 1 x 3 1 x 1 = 2 2 2 2 + 2 ( 2 2 2 + 2 I1 ) 4a (x + a ) 4a 2a x + a 2a 1 x 3 x 3 x = 2 2 2 2 + 4 2 2 + 5 arctan + C a 4a (x + a ) 8a x + a 8a
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A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
6 x
. 3
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,
1
(1 2x)(1
A x2 )
1
4, B 5 4
5 2x
2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
特殊地：k 1时, 分解后为 A ;
xa
（2）对每个分母为 ( x2 px 的q部)k 分，
分解后为
M1x N1 ( x2 px q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中 Mi , Ni都是常数(i 1,2, , k).
如何将有理函数化 为部分分式之和？
两个多项式的商表示的函数叫有理函数。例如：
P(x) Q( x)
a0 x n a1 x n1 b0 x m b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m、n都是非负整数；a0 , a1 , , an及 b0 , b1 , , bm都是实数，并且a0 0，b0 0.
特殊地：k
1时, 分解后为
Mx N x2 px
q
;
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
,
例4.
1 2x2 3x3 x4 (x 1)2 (x2 x 1)2
A x 1
x
B
12
Cx x2 x
D 1
Ex (x2
F x 1)2
.
两端乘以(x 1)2(x2 x 1)2,得到恒等式 :
A(x 1)(x2 x 1)2 B(x2 x 1)2 Cx D x 12 (x2 x 1)
anxn
n0
(x p)k
和
n0
(x2 px q)k
( p2 4q 0)
的一些真分式的和.
k 1
an xn
(1)
每个
n0
(x
p)k
可以分解为
A1 (x p)k
A2 (x p)k1来自Ak , x p
其中 A1 , A2 , , Ak都是常数.
我们总假定分子与分母之间没有公因式。
(1) 当n m时, 上述有理函数叫真分式； (2) 当n m时, 上述有理函数叫假分式。
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和
一个真分式之和. 例如：
x3 x2
x 1
1
x
x
1 2
1
.
任何一个真分式可以化为一些形如
k 1
2k 1
anxn
Ex F x 12 1 2x2 3x3 x4.
分别取x 0,1, 2,3 得到A, B,C, D, E, F满足的方程组,
解这个方程组就得到 A 3, B 1,C 3, D 0, E 2, F 3.