有理函数化为部分分式之和

,
例4.
1 2x2 3x3 x4 (x 1)2 (x2 x 1)2

A x 1
x
B
12
百度文库
Cx x2 x
D 1

Ex (x2
F x 1)2
.
两端乘以(x 1)2(x2 x 1)2,得到恒等式 :
A(x 1)(x2 x 1)2 B(x2 x 1)2 Cx D x 12 (x2 x 1)
anxn
n0
(x p)k
和
n0
(x2 px q)k
( p2 4q 0)
的一些真分式的和.
k 1
an xn
(1)
每个
n0
(x
p)k
可以分解为
A1 (x p)k

A2 (x p)k1


Ak , x p
其中 A1 , A2 , , Ak都是常数.
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1

1 x( x 1)2

1 x

(x
1 1)2

1. x1
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x

Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,

1
(1 2x)(1
A x2 )
1
4, B 5 4
5 2x

2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
如何将有理函数化 为部分分式之和？
两个多项式的商表示的函数叫有理函数。例如：
P(x) Q( x)
a0 x n a1 x n1 b0 x m b1 x m1

an1 x an bm1 x bm
其中m、n都是非负整数；a0 , a1 , , an及 b0 , b1 , , bm都是实数，并且a0 0，b0 0.
特殊地：k

1时, 分解后为
Mx N x2 px
q
;
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6

(
x

x 2)(
3 x

3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
Ex F x 12 1 2x2 3x3 x4.
分别取x 0,1, 2,3 得到A, B,C, D, E, F满足的方程组,
解这个方程组就得到 A 3, B 1,C 3, D 0, E 2, F 3.
我们总假定分子与分母之间没有公因式。
(1) 当n m时, 上述有理函数叫真分式； (2) 当n m时, 上述有理函数叫假分式。
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和
一个真分式之和. 例如：
x3 x2
x 1
1

x

x
1 2
1
.
任何一个真分式可以化为一些形如
k 1
2k 1
anxn
特殊地：k 1时, 分解后为 A ;
xa
（2）对每个分母为 ( x2 px 的q部)k 分，
分解后为
M1x N1 ( x2 px q)k

M2x N2 ( x2 px q)k1


Mk x Nk x2 px q
其中 Mi , Ni都是常数(i 1,2, , k).

A (3
B A

1, 2B)

3,

A B

5 ,
6

x2
x3 5x
6
5 x2

6 x
. 3
例2
1 x( x1)2

A x
(x
B 1)2

C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C