圆周运动与平抛运动的综合问题精讲

长为L的细绳,绳的下端挂一个质量为m
的小球,已知绳能承受的最大拉力为2mg,
小球在水平面内做圆周运动,当速度逐渐
增大到绳断裂后,小球恰好以速度v2= 7gL 落到墙脚边。求： (1)绳断裂瞬间的速度v1; (2)圆柱形房屋的高度H和半径。
【解析】(1)小球在绳断前瞬间受力如图所示： 由牛顿第二定律得： 竖直方向：FTmcosθ-mg=0
d;
(3)若选手摆到最低点时松手,小明认为绳越长,在浮台上的落
点距岸边越远;小阳认为绳越短,落点距岸边越远,请通过推算
说明你的观点。
【解析】(1)选手下摆的过程由动能定理得： mgl(1-cosα)=
1 mv 2 2
2 v 选手在最低点由牛顿第二定律得： F′－mg＝ m l
解得：F′=(3-2cosα)mg=1 080 N 由牛顿第三定律得选手对绳的拉力： F=F′=1 080 N (2)由动能定理得：mg(H-lcosα+d)-(f1+f2)d=0 解得：d=
2.解题关键：
(1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源,根据牛顿第二定
律和向心力公式列方程。
(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。 (3)速度是联系前后两个过程的关键物理量,前一个过程的末速 度是后一个过程的初速度。
【例证1】(2013·台州模拟)如图所示, 在圆柱形房屋天花板中心O点悬挂一根
1 2 1 2 2 得： mvM mvD mgR
2 v 在M点，设轨道对物块的压力为FN，则：FN+mg= m M R
2
2
2
联立以上两式，解得：FN=(1-
2 )mg<0
即物块不能到达M点
答案：(1)2.5 m (2)不能到达M点
【热点集训】 1.小明撑一雨伞站在水平地面上，伞面边缘点所围圆形的半 径为R，现将雨伞绕竖直伞杆以角速度ω 匀速旋转，伞边缘上 的水滴落到地面，落点形成一半径为r的圆形，当地重力加速 度的大小为g，根据以上数据可推知伞边缘距地面的高度应为
静止开始摆动,此时绳与竖直方向夹角α =53°,绳的悬挂点O距
水面的高度为H=3m。不考虑空气阻力和绳的质量,浮台露出水 面的高度不计,水足够深,取重力加速度g=10m/s2,sin53° =0.8,cos53°=0.6。
(1)求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F; (2)若绳长l=2m,选手摆到最高点时松手落入水中。设水对选手 的平均浮力f1=800N,平均阻力f2=700N,求选手落入水中的深度
(
A. g r2 R 2 2 R
2 2
)
B.
g r2 R 2 2 r
2 2
C.
r R 22 R 2
2
gr 2 D. 2 2 2 R
【解析】选A。设伞边缘距地面的高度为h，伞边缘水滴的速
度v＝ωR，水滴下落时间t＝
(3)对滑块,从离开平板车到C点,由动能定理得：
1 1 2 mgh+mgR(1-cos 106)= mv C mv 2
2 vC 在C点由牛顿第二定律得：FN-mg= m ,解得：FN=86N R
2
2
2
由牛顿第三定律得滑块运动到圆弧轨道最低点 C时对轨道压力 的大小为86N。 答案：(1)4m (2)1.2m (3)86N
设小球由平抛至落地的水平射程为 x，如图 所示。 水平方向：x=v1t 又有：R=
r2 x2
2
竖直方向：h1= 解得：R=3L (2) 13L 3L
4
1 2 gt 2
答案：(1) 3gL
二、竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
1.此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动,后做平抛
运动,有时物体先做平抛运动,后做竖直面内的变速圆周运动, 往往要结合能量关系求解,多以计算题考查。 2.解题关键： (1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻 绳模型”,然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。 (2)速度也是联系前后两个过程的关键物理量。
g=10m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6。求：
(1)平板车的长度。 (2)障碍物A与圆弧左端B的水平距离。 (3)滑块运动到圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小。
【解析】(1)滑块与平板车间的滑动摩擦力Ff=μmg,
Ff =μg=5m/s2 m F Ff 对平板车,由牛顿第二定律得：a2= =3m/s2 M
热点专题突破系列(三) 圆周运动与平抛运动的综合问题
【热点概述】
圆周运动和平抛运动是两种典型的曲线运动,圆周运动与平抛 运动结合的综合问题,是高考的热点,也是高考的重点。此类综 合问题主要是水平面内的圆周运动与平抛运动的综合考查和竖 直面内圆周运动与平抛运动的综合考查。
【热点透析】 一、水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题 1.此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动,后做平 抛运动,有时还要结合能量关系分析求解,多以选择题或计算题 考查。
对滑块,由牛顿第二定律得：a1=
设经过时间t1,滑块与平板车相对静止,共同速度为v,
则：v=v0-a1t1=a2t1
平板车的位移：x2= 解得：l=4m h= 1 gt 2 2
2
滑块的位移：x1=
v t1 平板车的长度：l=x1-x2 2
v0 v t1 2
(2)设滑块从平板车上滑出后做平抛运动的时间为 t2,则： xAB=vt2 障碍物A与圆弧左端B的水平距离：xAB=1.2m
3.(2013·廊坊模拟)如图所示,一质量为M=5.0kg的平板车静止 在光滑水平地面上,平板车的上表面距离地面高h=0.8m,其右侧 足够远处有一固定障碍物A。另一质量为m=2.0kg可视为质点的
滑块,以v0=8m/s的水平初速度从左端滑上平板车,同时对平板
车施加一水平向右、大小为5N的恒力F。当滑块运动到平板车 的最右端时,两者恰好相对静止。此时撤去恒力F,当平板车碰 到障碍物A时立即停止运动,滑块水平飞离平板车后,恰能无碰 撞地沿圆弧切线从B点切入光滑竖直圆弧轨道,并沿轨道下滑。 已知滑块与平板车间的动摩擦因数μ =0.5,圆弧半径为R=1.0m, 圆弧所对的圆心角∠BOD=θ =106°。取
将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系 为s=6t-2t2，物块飞离桌边缘D点后由P点沿切线落入圆弧轨道。 g=10 m/s2，求：
(1)BD间的水平距离； (2)判断物块m能否沿圆轨道到达M点。
【解析】(1)设物块由D点以初速度vD做平抛运动，平抛运动 用时为t，则在竖直方向上：R=
【例证2】(2013·杭州模拟)如图所示，水平桌面上有一轻 弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。在距水
2 )R处有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状 2
平桌面右侧(2+
为半径R=0.8 m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直
直径，P点到桌面的竖直距离也是R。用质量为m=0.2 kg的物块
g 2h ， 水滴平抛的水平位移x＝ g
vt＝ R 2h，如图所示。由几何关系，R2＋x2＝r2，可得：
g r 2 R 2 选项A正确。 h ， 2 2 2 R
2.(2010·江苏高考)在游乐节目中,选手需要借助悬挂在高处的 绳飞越到水面的浮台上,小明和小阳观看后对此进行了讨论。 如图所示,他们将选手简化为质量m=60kg的质点,选手抓住绳由
2 2
1 2 gt 2
2 2 在水平方向上： (2 )R R v D t 解得：vD=4 m/s
在桌面上过B点后由s=6t-2t2得初速度v0=6 m/s，加速度 a=-4 m/s2
2 2 v v BD间位移为xBD= D 0 2.5 m 2a
(2)若物块能沿轨道到达M点，其速度为vM，由能量守恒定律
mg H lcos f1 f 2 mg 1.2 m
(3)选手从最低点开始做平抛运动,则：x=vt
1 2 H-l= gt 解得：x= 2 l H l (1 cos) 2 H 当 l= 时，x有最大值，解得：l=1.5 m 2
因此两人的看法均不正确，当绳子越接近 1.5 m 时，落点距岸 边越远。 答案：(1)1 080 N (2)1.2 m (3)见解析
2 v 水平方向：FTmsinθ= m 1 r
由几何关系得：r=Lsinθ
解得：v1=
3gL 2
(2)小球从抛出到落地，由机械能守恒定律得：
1 1 2 2 mv1 ＋mgh1 mv 2 2 2 2 2 v v 11 13L 2 1 解得： h1 LH h1＋Lcos 2g 4 4