复变函数论第三版复变函数的积分 shu

正方向为 参数增加的方向,
参数 及 对应于起点 A 及终点 B,
并且 z(t) 0, t ,
如果 f (z) u( x, y) i v( x, y) 在 D内处处连续,
那么 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内均为连续函数,
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证 设光滑曲线C : z z(t) x(t) i y(t), t ,正方向为
5 3
ds 25
C
5
3
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故
C
z
1
i
dz
25 . 3
22
例 计算积分 Re z dz ; C 其中积分路径C为 （1）连接由点O到点1 i的直线段； （2）先沿着正实轴从O到1，再沿着平行于 虚轴的方向从1到1 i 1+i
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o
1
23
例
计算积分CRe z dz ;
0
0
1 x3 1 i 1 x3 1 1 i 30 30 3
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2. 积分的计算方法
(2)变量代换公式:
设C : x x(t), y y(t),t [, ]是一条光滑曲线,则
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
C f (z)dz {u[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt
k 1
k 1
由于 u, v 都是连续函数, 根据曲线积分的存在定理,
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n
所以
f ( k ) zk
n
[u(k ,k ) i v(k ,k )](xk iyk )
k 1
k 1
n
n
[u(k ,k )xk v(k ,k )yk ] i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
1 z0
)n1
dz
2π 0
ire i r n1ei(n1)
d
i rn
2π ein d ,
0
当 n 0时, C
当 n 0时, C
1
(
z
1
z0
)n1
(z z0 )n1 dz
dz i
i rn
2π 0
2π d
0
(cos n
i
2i;
sin n
)d
0;
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例3 求
C
(z
1 z0
u(x, y) x y, v(x, y) x2 曲线C： y x, 0 x 1
C f (z)dz C udx vdy i C vdx udy
C x y ix2 dz C x - ydx x2dy iC x2dx x ydy
1 x2dx i 1 x2dx
L1
D
L2
L1
D
L2
(3) 如果 C是复平面上某一个多连通域的边界曲 线，则 C的正方向这样规定：当人沿曲线 行C
走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分
取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向．
2020/11/24分段光滑的简单闭曲线简称为周线.
4
2.复变函数积分的定义
（1）分割 （2）取点 （3）求局部近似值 （3）求和 （4）求极限
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二、积分存在的条件及其计算方法
1. 存在的条件
如果 f (z) 是连续函数而C 是光滑曲线时,
积分 C f (z)dz 一定存在.
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存在的条件
如果 f (z) 是连续函数而C 是光滑曲线时,
积分 C f (z)dz 一定存在.
证 设光滑曲线C : z z(t) x(t) i y(t), t
k 1
k 1
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
不论对 C 的分法任何, 点 (k , k )的取法如何,
下式两端极限存在,
n
n
f ( k )zk [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k 1
k 1
n
i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
k 1
f (z)dz udx vdy i vdx udy
i {v[x(t), y(t)]x(t) u[x(t), y(t)]y(t)}dt
{u[
x(t ),
y(t )]
iv[
x(t
),
y(t
)]}{x(t
)
iy(t
)}dt
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f [z(t)]z(t)dt.
即 C f (z)dz f [z(t)]z(t)dt 15
(3)如果C 是由C1, C2 , , Cn 等光滑曲线依次 相互连接所组成的按段光滑曲线, 则
2
z1
z2
B
C zn1
k zk zk 1
x
（3）求局部近似值
求出每个弧段的近似值f ( k ) (zk zk1)
n
n
（4）作和式 Sn f ( k ) (zk zk1) f ( k ) zk ,
k 1
k 1
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（5）取极限
记 m1kaxn{sk }, 当n 无限增加且 0 时,
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第二节 柯西积分定理
一、问题的提出 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内
处处不解析. 此时积分值 c zdz 与路线有关.
被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析, 此时积分与路线无关.
而被积函数 1 , 此时 1 dz 2i 0.
z z0
c z z0
它在以 z0 为中心的圆周 C 的内部不是处处解析的,
其中积分路径C为
（1）连接由点O到点1 i的直线段；
（2）先沿着正实轴从O到1，再沿着平行于
虚轴的方向从1到1 i
（1）连接由点O到点1 i的直线段的参数方程是
z (1 i)t (0 t 1)
故CRezdz 01Re(1 i)t(1 i)dt
(1 i)
1
tdt
1i
0
2
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2π 2 2iei d
0
( 因为 z 2 )
2π
4i 0
(cos
i sin
)d
0.
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例3 求
C
(z
1 z0
)n1
dz
,
C
为以
z0
为中心,
r
为半
径的正向圆周, n 为整数.
y
z
解 积分路径的参数方程为
z0 r
z z0 rei (0 2π ), o
x
C
(
z
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(1)分割
设函数 w f (z) 定义在区域D内, C 为区域D内
起点为 A 终点为B的一条光滑的有向曲线,
把曲线 C任意分成 n个弧段,
设分点为A z0 , , zk1, zk ,, zn B,
y
o
1 A
2
z1
z2
B
C zn1
k zk zk 1
x
（2）取点
在每个弧段zk1z（k 1,2,, n)任取一点 k ,
这里 zk zk zk1 , sk zk1zk的长度,
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯
一极限, 那么称这极限值为函数f (z) 沿曲线C
的积分, 记为
n
C
f
( z )dz
lim
n k1
f
( k ) zk .
沿闭曲线C正向的积分记为 f (z)dz
C
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dz (3 4i)dt,
zdz
1(3 4i)2 tdt
(3 4i)2
1
tdt
C
0
0
(3 4i)2 . 2
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例2 计算 C z dz, 其中C 为 : 圆周 z 2.
解 积分路径的参数方程为
z 2ei (0 2π ), dz 2iei d
z dz C
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz.
C
C1
C2
Cn
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
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例1 计算 C zdz, C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
解 直线方程为 x 3t, y 4t,0 t 1, 在 C 上, z (3 4i)t,
虽然在除去 z0 的C 的内部函数处处解析, 但此区域已不是单连通域.
(4) 设曲线C 的长度为L,函数 f (z) 在 C 上满足 绝 对
f (z) M , 那末 C f (z)dz C f (z)ds ML. n
不 等
(5) f (z)dz
f (z)dz
C
i1 Ci
式
其中C由光滑曲线 C1,C2,,Cn连接而成。
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例4 设 C 为从原点到点3 4i 的直线段,
)n1
dz
,
C
为以
z0
为中心,
r
为半
径的正向圆周, n 为整数.
当n 0时, C
当 n 0时, C
1
(
z
1
z0
)n1
(z z0 )n1 dz
dz i
i rn
2π 0
2π 0
(cos
d
n
i
sin
n
)d
0;
所以
z z0
r
(
z
1 z0
)n1
dz
2i, 0,
n 0,一个重要而常 n 0. 用的积分公式
( xk xk1 ) i( yk yk1 ) xk iyk ,
n
所以
f ( k ) zk
n
[u(k ,k ) i v(k ,k )](xk iyk )
k 1
k 1
n
n
[u(k ,k )xk v(k ,k )yk ] i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
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(1)分割
设函数 w f (z) 定义在区域D内, C 为区域D内
起点为 A 终点为B的一条光滑的有向曲线,
把曲线 C任意分成 n个弧段,
y
设分点为A z0 , , zk1, zk ,, zn B,
（2）取点
在每个弧段zk1z（k 1,2,, n)任取一点 k ,
o
1 A
参数增加的方向, 参数 及 对应于起点 A 及终点 B,
并且 z(t) 0, t ,
如果 f (z) u( x, y) i v( x, y) 在 D内处处连续,
那么 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内均为连续函数,
设 k k ik , 因为 zk zk zk1 xk iyk ( xk1 iyk1 )
试求
积分
C
z
1
i
dz
绝对值
的一
个上界.
解 C 的参数方程为 z (3 4i)t, (0 t 1)
根据估值不等式知
C
z
1
i
dz
C
z
1
i
ds
因为在C 上, 1
1
1
z i 3t (4t 1)i (3t)2 (4t 1)2
1
25
t
4 25
2
9 25
5, 3
从而
1 dz
Czi
1
tdt i
1
dt
1
i
0
0
2
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第二节 柯西积分定理
一、问题的提出 被积函数 f (z) z x iy, 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内 处处不解析.
此时积分值 c zdz 与路线有关.
被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析, 此时积分与路线无关.
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2020/11/24 CCΒιβλιοθήκη C12公式
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
在形式上可以看成是
f (z) u iv 与dz dx idy 相乘后求积分得到
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例1：计算 x y ix2 dz, C :从原点到点1 i的直线段. C 解：f (z) x y ix2,其中
(1) 曲线C是开口弧段，
若规定它的端点P为起点，Q为终点，则
沿曲线 C 从 P 到Q 的方向为曲线C的正方向
把正向曲线记为C或C+.
y
BQ
而由Q到P的方向称为C的负方向, AP
负向曲线记为 C .
o
x
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3
(2) 如果 C是简单闭曲线，规定人沿着曲线边界
行走时，区域内部总保持在人的左侧为正方向， 因此，逆时针方向为正方向，顺时针方向为负 方向．
第三章 复变函数的积分
第一节 复积分的概念及其简单性质
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1
1.有向曲线:
简单曲线（Jordan曲线）： 无重点的连续曲线
光滑曲线：处处有切线,且切线随切点的移动而 连续转动的曲线
逐段光滑曲线：有限条光滑曲线衔接而成的连 续曲线
重点
重点
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重点
2
在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概 念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点 和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是 这样规定的：
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
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三、复积分的性质
复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
(1) f (z)dz f (z)dz;
C
C
(2) C kf (z)dz k C f (z)dz; (k为常数)
(3) C[ f (z) g(z)]dz C f (z)dz C g(z)dz;
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（2）先沿着正实轴从O到1，再沿着平行于
虚轴的方向从1到1 i
先沿着正实轴从O到1，连接0与1的直线段的参数方程为
z t （0 t 1)
再沿着平行于虚轴的方向从1到1 i
连接这两点的直线段的参数方程为
z 1 it （0 t 1)
故CRezdz
1
0
Re
tdt
1
0
Re(1
it)idt