复变函数论第三版课后习题答案 2

第一章习题解答（一）1．设z =z 及Arcz 。

解：由于3i z e π-==所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。

2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。

解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。

3．解二项方程440,(0)z a a +=>。

解：12444(),0,1,2,3k ii z a e aek πππ+====。

4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。

证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。

证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。

因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。

6．下列关系表示点z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域。

（1） 1212,()z z z z z z -=-≠； 解：点z 的轨迹是1z 与2z两点连线的中垂线，不是区域。

（2）4z z ≤-； 解：令z x yi =+由(4)x yi x yi +≤-+，即2222(4)x y x y +≤-+，得2x ≤ 故点z 的轨迹是以直线2x =为边界的左半平面（包括直线2x =）；不是区域。

（3）111z z -<+ 解：令z x yi =+，由11z z -<+，得22(1)(1)x x -<+，即0x >； 故点z 的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。

（4）0arg(1),2Re 34z z π<-<≤≤且；解：令z x yi =+由0arg(1)42Re 3z z π⎧<-<⎪⎨⎪≤≤⎩，得0arg1423y x x π⎧<<⎪-⎨⎪≤≤⎩，即0123y x x <<-⎧⎨≤≤⎩ 故点z 的轨迹是以直线2,3,0,1x x y y x ====-为边界的梯形（包括直线2,3x x ==；不包括直线0,1y y x ==-）；不是区域。

（5）2,1z z >>且-3； 解：点z 的轨迹是以原点为心，2为半径，及以3z =为心，以1为半径的两闭圆外部，是区域。

（6）Im 1,2z z ><且； 解：点z 的轨迹是位于直线Im 1z =的上方（不包括直线Im 1z =），且在以原点为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。

（7）2,0arg 4z z π<<<且；解：点z 的轨迹是以正实轴、射线arg 4z π=及圆弧1z =为边界的扇形（不包括边界），是区域。

（8）131,2222i z z i ->->且 解：令z x yi =+由1223122i z z i ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，得2211()2431()24x y x y ⎧+->⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩ 故点z 的轨迹是两个闭圆221131(),()2424xy x y +-=+-=的外部，是区域。

7．证明：z 平面上的直线方程可以写成C z a z a =+（a 是非零复常数，C 是实常数） 证 设直角坐标系的平面方程为Ax By C +=将11Re (),Im ()22x z z z y z z z i==+==-代入，得C z B A z B A =-+-)i (21)i (21令)i (21B A a +=，则)i (21B A a -=，上式即为C z a z a =+。

反之：将,z x yi z x yi =+=-，代入C z a z a =+ 得()()a a x ia ia y c ++-= 则有Ax By C +=；即为一般直线方程。

8．证明：z 平面上的圆周可以写成0.Azz z z c ββ+++=其中A 、C 为实数，0,A β≠为复数，且2AC β>。

证明：设圆方程为22()0A x y Bx Dy C ++++=其中0,A ≠当224B D AC +>时表实圆；将2211,(),()22x y zz x z z y z z i+==+=-代入，得 11()()022Azz B Di z B Di z c +-+++=即0.Azz z z c ββ+++= 其中11(),()22B Di B Di ββ=+=- 且22211()444B D AC AC β=+>∙=； 反之：令,z x yi a bi β=+=+代入20()Azz z z c AC βββ+++=>得22()0,A x y Bx Dy C ++++=其中2,2B a B b == 即为圆方程。

10．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线。

（1）t z i)1(+=； （2）t b t a z sin i cos +=；（3）t t z i+=； （4）22i t t z +=，解（1）⎩⎨⎧∞<<-∞==⇔+=+=t t y t x t y x z ,)i 1(i 。

即直线x y =。

（2）π20,sin cos sin i cos i ≤<⎩⎨⎧==⇔+=+=t t b y ta x tb t a y x z ，即为椭圆122=+b y a x ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧==⇔+=+=t y t x t t y x z 1i i ，即为双曲线1=xy ； （4）⎪⎩⎪⎨⎧==⇔+=+=22221i i t y t x t t y x z ，即为双曲线1=xy 中位于第一象限中的一支。

11．函数z w 1=将z 平面上的下列曲线变成w 平面上的什么曲线()iv u w iy x z +=+=,？（1）x y =； （2）()1122=+-y x解222211y x y iy x x iy x z w +-+=+==，2222,y x y v y x x u +-=+=，可得（1）()vy x y y x y y x x u -=+--=+=+=222222是w 平面上一直线；（2）()21211222222=+⇔=+⇔=+-y x x x y x y x ，于是21=u ，是w 平面上一平行与v 轴的直线。

13．试证)arg (arg ππ≤<-z z 在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z 平面上处处连续。

证 设z z f arg )(=，因为f (0)无定义，所以f (z )在原点z =0处不连续。

当z 0为负实轴上的点时，即)0(000<=x x z ，有⎩⎨⎧-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+→→→→→ππππx y x y z y x x y x x z z arctan lim arctan lim arg lim 00000所以zz z arg lim 0→不存在，即z arg 在负实轴上不连续。

而argz 在z 平面上的其它点处的连续性显然。

14． 设00=≠z z 求证()z f 在原点处不连接。

证 由于()01lim lim lim 42062400=+=+=→→=→x x x x x z f x x xy z()21lim lim 666003=+=→=→y y y z f y yx z( )⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = , 0 , 6 2 3 y x xy z f可知极限()z f z 0lim →不存在，故()z f 在原点处不连接。

16. 试问函数f (z ) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1内是否连续？是否一致连续？ 【解】(1) f (z )在单位圆| z | < 1内连续．因为z 在 内连续，故f (z ) = 1/(1 – z )在 \{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f (z )在单位圆| z | < 1内连续．(2) f (z )在单位圆| z | < 1内不一致连续．令z n = 1 – 1/n ，w n = 1 – 1/(n + 1)，n ∈ +． 则z n , w n 都在单位圆| z | < 1内，| z n - w n | 0，但| f (z n ) - f (w n ) | = | n - (n + 1) | = 1 > 0，故 f (z )在单位圆| z | < 1内不一致连续． [也可以直接用实函数f (x ) = 1/(1 – x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f (z )在E = { z ∈ | Im(z ) = 0, 0 < Re(z ) < 1 }上的限制即可．]17. 试证：复数列z n = x n + i y n 以z 0 = x 0 + i y 0为极限的充要条件是实数列{x n }及{y n }分别以x 0及y 0为极限．【解】( ) 若复数列z n = x n + i y n 以z 0 = x 0 + i y 0为极限， 则∀ε > 0，∃N ∈ +，使得∀n > N ，有| z n - z 0 | < ε． 此时有| x n - x 0 | ≤ | z n - z 0 | < ε；| y n - y 0 | ≤ | z n - z 0 | < ε． 故实数列{x n }及{y n }分别以x 0及y 0为极限．( ) 若实数列{x n }及{y n }分别以x 0及y 0为极限，则∀ε > 0，∃N 1∈ +，使得∀n > N 1，有| x n - x 0 | < ε/2； ∃N 2∈ +，使得∀n > N 2，有| y n - y 0 | < ε/2．令N = max{N 1, N 2}，则∀n > N ，有n > N 1且n > N 2，故有| z n - z 0 | = | (x n - x 0) + i (y n - y 0) | ≤ | x n - x 0 | + | y n - y 0 | < ε/2 + ε/2 = ε． 所以，复数列z n = x n + i y n 以z 0 = x 0 + i y 0为极限．20. 如果复数列{z n }合于lim n ∞ z n = z 0 ≠ ∞，证明lim n ∞ (z 1 + z 2 + ... + z n )/n = z 0． 当z 0 ≠ ∞时，结论是否正确？【解】(1) ∀ε > 0，∃K ∈ +，使得∀n > K ，有| z n - z 0 | < ε /2． 记M = | z 1 - z 0 | + ... + | z K - z 0 |，则当n > K 时，有| (z 1 + z 2 + ... + z n )/n - z 0 | = | (z 1 - z 0) + (z 2 - z 0) + ... + (z n - z 0) |/n ≤ ( | z 1 - z 0 | + | z 2 - z 0 | + ... + | z n - z 0 |)/n= ( | z 1 - z 0 | + ... + | z K - z 0 |)/n + ( | z K +1 - z 0 | + ... + | z n - z 0 |)/n ≤ M /n + (n - K )/n · (ε /2) ≤ M /n + ε /2． 因lim n ∞ (M /n ) = 0，故∃L ∈ +，使得∀n > L ，有M /n < ε /2． 令N = max{K , L }，则当n > K 时，有| (z 1 + z 2 + ... + z n )/n - z 0 | ≤ M /n + ε /2 < ε /2 + ε /2 = ε． 所以，lim n ∞ (z 1 + z 2 + ... + z n )/n = z 0．(2) 当z 0 ≠ ∞时，结论不成立．这可由下面的反例看出．例：z n = (-1)n · n ，n ∈ +．显然lim n ∞ z n = ∞． 但∀k ∈ +，有(z 1 + z 2 + ... + z 2k )/(2k ) = 1/2， 因此数列{(z 1 + z 2 + ... + z n )/n }不趋向于∞．[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．] 2．如果ite z =，试证明（1）nt z z n ncos 21=+； （2）nt z z nnsin i 21=-解 （1）nt e e e e z z n n sin 21int int int int =+=+=+-（2）nt e e e e z z n n sin i 21intint int int =-=-=--4．设iy x z +=，试证yx z y x +≤≤+2。