复变函数论第三版钟玉泉第二章PPT课件
复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件

复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1:设是在区域内确定的单值函数,并且。
如果极限存在,为复数,则称在处可导或可微,极限称为在处的导数,记作,或。
定义2.2:如果在及的某个邻域内处处可导,则称在处解析;如果在区域内处处解析,则我们称在内解析,也称是的解析函数。
解析函数的导(函)数一般记为或。
注解1、语言,如果任给,可以找到一个与有关的正数,使得当,并且时,,则称在处可导。
注解2、解析性与连续性:在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数;反之不一定成立;注解3、解析性与可导性:在一个点的可导性是一个局部概念,而解析性是一个整体概念;注解4、函数在一个点解析,是指在这个点的某个邻域内解析,因此在此点可导;反之,在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算:和在区域内解析,那么,,(分母不为零)也在区域内解析,并且有下面的导数的四则运算法则:。
复合求导法则:设在平面上的区域内解析,在平面上的区域内解析,而且当时,,那么复合函数在内解析,并且有求导的例子:(1)、如果(常数),那么;(2)、,;(3)、的任何多项式在整个复平面解析,并且有(4)、在复平面上,任何有理函数,除去使分母为零的点外是解析的,它的导数的求法与是实变量时相同。
2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理:定理2.1 设函数在区域内确定,那么在点可微的充要条件是:1、实部和虚部在处可微;2、和满足柯西-黎曼条件(简称方程)证明:(必要性)设在有导数,根据导数的定义,当时其中,。
比较上式的实部与虚部,得因此,由实变二元函数的可微性定义知,,在点可微,并且有因此,柯西-黎曼方程成立。
(充分性)设,在点可微,并且有柯西-黎曼方程成立:设则由可微性的定义,有:令,当()时,有令,则有所以,在点可微的。
定理2.2 设函数在区域内确定,那么在区域内解析的充要条件是:1、实部和虚部在内可微;2、)和在内满足柯西-黎曼条件(简称方程)关于柯西-黎曼条件,有下面的注解:注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的,它们是方程的一组解,它们是在研究流体力学时得到的;注解2、解析函数的导数形式更简洁:公式可避免利用定义计算带来的困难。
复变函数论第三版PPT课件

导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数,其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$,我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数,通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域,通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的,$a, b$ 是常数,则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示,实部为横坐标,虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算,满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数, 表示为 a + bi,其中 a 和 b 是实数,i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号, 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
第2章复变函数与解析函数精品PPT课件

①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续,函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续,则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续(证略).
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续,故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ,wuiv, 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ,y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义,若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导,则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例
复变函数第2章(钟玉泉)

容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当 x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程, 因而函 数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例2 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常 数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解析? [解] 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by, vx=2cx+dy, vy=dx+2y 要使ux=vy, uy=-vx, 只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by. 因此, 当a=2, b=-1, c=-1, d=2时, 此函数在复 平面内处处解析, 这时 f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2) =(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2
定理二 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内 解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并满足柯西-黎曼方程。
例1 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1)w z ; 2) f ( z ) e (cos y i sin y); 3)w z Re( z )
f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) f ( z0 ) e Δz
应当注意, 定义中z0+Dzz0(即Dz0)的方式 是任意的, 定义中极限值存在的要求与 z0+Dzz0的方式无关, 也就是说, 当z0+Dz在区 域D内以任何方式趋于z0时, 比值
f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数. Δz
复变函数论第2章第3节

arg z 依赖于起点的初值和辐 角改变量 .
多值函数应用起来很不 方便,总希望能将 Argz
分解为若干单值连续函 数. 由
arg z arg z0 L Argz
可知 , 即使固定起点z0 , 取定初值 arg z0 , 由于 L Argz
在 C {0} 内与 L 的形状有关 , 对于任意 一 z C {0} , arg z 都不是惟一的. 因此, C {0} 内 arg z 是不能分 在 解为单值连续函数的. 这样自然会想到, 缩小区域是
y
z1
z
L
z0
0
在 L 上的改变量 , 简称 辐角改变量 ,
x
记作 L Argz .
例如 , 对下图中的三条具有相 同起点
y
z1
z
L
L Argz
z0
x
和终点简单曲线, 有
y
1 i
L1
0
y
L2
1 i
y
1 i
o
1 i
x
o
1 i
x
o
1 i
x
L3
π 3π 5π L1 Argz ; L2 Argz ; L3 Argz . 2 2 2
否可行呢 ? 而问题的关键在于寻找 这样的区域, 使得 辐角改变量只与起点、 终点位置有关而与曲线 的形
状无关 .
由辐角改变量
0 , z 0 在 L 外部 L Argz 2π , z 0 在 L 内部 可知 , 只要能使区域内任一简 单闭曲线都不围绕原
点z 0 , 辐角改变量在这个区域 内就与区域的形状
的射线φ φ0 变成 z 平面上从原点发出的射 θ nφ , 线
复变函数第一张第二节(钟玉泉第三版)

,
特 (1)光滑曲线上的各点都有切线 点 (2)光滑曲线可以求长 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
y y
o
x
o
x
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课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?
z (a ) z (a ) z (b ) z (b ) z (a ) z (b ) z (a ) z (b )
记作:N(z0)
N(z0)={z | |z-z0|<}
0 z z0 所 z 0 的去心邻域 .
称由不等式 确定的点的集合为
记作:N0(z0)={z | 0<|z-z0|<}
2
定义1.2 聚点、外点、孤立点
设 E 为一平面点集 ( 不必属于 的无穷多点 E ), 如果对 , z 0 为 复平面中任意一点 z 0 的任意一个邻域 , 都有 E
(1) D是一个开集;
(2) D是连通的,就是说D中任何 两点都可以用完全属于D的一 条折线连结起来.
z1
D z2
D加上D的边界称为闭域。记为D=D+D
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说明
不包含边界!
C2
(1) 区域都是开的.
(2) 区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立 的点所组成的.
边界
z z
C3
C1
以上基 本概念 的图示
z z ( t ) x ( t ) iy ( t ). ( t )
z
C的复参数方程
起点z()
o
x
C的正向:起点终点
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对于满足
t1 , t 2 的 t1 与 t 2 , 当
C
t 1 t 2 而有 z ( t 1 ) z ( t 2 ) 时 , 点 z ( t 1 ) 称为曲线 的重点 .
复变函数论第三版钟玉泉第二章

如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
2. 奇点的定义
若函数 f (z )在点 z 0不解析,但在 z 0 的任一邻域内总 有f (z )的解析点,则称 z 0 为函数f (z ) 的奇点.
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz, 即
f
( z0
)
dw dz
z z0
函数w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称
8 f (z)在区域 D内可微.
复变函数论
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二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的某邻域内处处可导 ,
若 f (z ) = u (x, y ) + iv (x, y ) 在一点z = x + iy,可微,设
lim f (z + D z ) - f (z ) = f ' (z )
Dz? 0
Dz
(1)
设 Vz =Vx + iVy, f (z + Vz )- f (z ) = Vu + i Vv,
Vu = u (x + Vx, y + Vy )- u (x, y )
z
z
x iy
y , x iy
当点沿平行于实轴的方向(y 0)而使z 0时,
lim f lim f (z z) f (z) lim y 0,
z0 z z0
z
x0 x iy
y0
当点沿平行于虚轴的方向(x 0)而使z 0时,
复变函数第二章课件

例 判断下列函数的解析性.
1) w z ;2) f ( z ) e x (cos y i sin y );3)w z Re( z )
例 设函数
f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ).
问:常数 a, b, c, d 取何值时, ( z ) 在复平面 f 内处处解析?
注
Lnz n nLnz n 1 Ln z n Lnz
不成立!!
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对数函数的解析性 y z
z e
w
v
i
O
w
O
x
w ln z
u
i
arg z v
ln z 在除去原点和负实轴的平面内解析,且有
d ln z 1 1 w de dz z dw (Lnz )k (k Z) 在除去原点和负实轴的平面内解析.
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3.3 幂函数
对 z 0, ; C
w z e Lnz e (ln z 2k i ) w0e2k i (k Z), 其中 w0 e ln z 是 z 的一个主值.
(sin z )' cos z, (cos z )' sin z
iz
(3)遵从通常的三角恒等式;
22
(4)周期为 2 ; (5) sin z 0 z n , n Z; ; 1 ; ; cos z 0 z (n ) , n Z; ; 2 (6) sin z 1 和 cos z 1不成立; (7) cos( z ) cos z , sin( z ) sin z ; (8) e cos z i sin z.
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所 lz 0 i 以 f( m z 0 z ) f( z 0 ) ,即 f(z)在 z0连.续
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复变函数
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(1) (c)0 3,.求其 导法c为 则中 : 复 . 常数 (2 ) (zn)nn 1 z, 其 n 为 中正 . 整数
( 3 )f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
式l中 im (z)0,(z)z是 z的高阶, 无穷
f(z0 )z 0z是函 w f(数 z)改变 w 的 量 线.性部 f(z0)z称为w 函 f(z)在 数z点 0的微 , 分
记作 dw f(z0)z. 如果 z0的 函微 数 ,则 分 在 称 f存 (z)在 函 z0 在 可 数 . 微
特别地, 当 f(z)z时 ,dwdzf(z0)zz, 函 d w w f 数 ( z f0 () z ) 在 z z0可 f ( z 0 ) 导 d z , z0 即 可 与 f(z微 0)在 ddwz是 .zz0 等
( 4 ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
(5 ) g f( (z z ) ) f(z )g (z g )2 (z f )(z )g (z ). (g (z ) 0 )
( 6 ) f [ g ( z ) ]f ( w ) g ( z )其 . w g ( z 中 )
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第二章 解析函数
§ 1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 §2 初等解析函数 § 3 初等多值解析函数
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第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
一、复变函数的导数与微分
1.导数: 设w 函 f(z)数 定义 D ,z 于 0为 D 中 区的 域
(7) f(z)(1w), 其中 wf(z)与 z(w)是
两个互为反函 函,数 数 且 的 (w)单 0 值
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4.微分: 设 w 函 f( z ) 在 z 0 可 数 ,则 导
w f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z 0 ) z ( z ) z ,
函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.
证 根据z在 0可导的,定义
0 , 0 , 使0 得 | z| 当 时 ,
有 f(z0 zz )f(z0)f(z0),
令 则( l iz) m ( fz()z 0 0 , z z ) f(z 0 ) f(z 0 )
z 0
因 f( z 0 为 z ) f( z 0 ) f( z 0 ) z ( z ) z ,
z
x0xiy
y0
当点沿平行向 于 (x虚 0)而 轴 使 的 z 方 0时 ,
li m flim f(z z)f(z)lim y 1,
z 0 z z 0
z
y0xiy i
x0
当点沿这两 向个 使 z 不 0时 同 ,极的 限方 值 , 不
故f(z)Imz在复平面上处处.不可导
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z0z z0(即 z 0)的方式.是任意
即z0z在区D域 内以任意方z0时 式, 趋于
比值 f(z0z)f(z0)都趋于同.一个数 z
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如果 f(z)在 函 D 区 内 数域 处 ,称 f处 (z)在 可 区 D 可 导 .域
例1 求f(z)z2的导.数
如果f函 (z)在 数 区D 域 内处处 ,则可 称微
f(z)在 区D 域 内可 . 微
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例4 问f(z)x2yi是否可导?y
解 li m flim f(z z)f(z)
y0 z
z 0 z z 0
z
o
x
li(m x x)2(y y)ix2yilimx2yi
z 0
z
z0 xyi
设 zz沿着平 x轴 行的 于直线 z,趋向
limx2yi limx1, z0 xyi x0x
令 z 1i沿直 y1 线 m (x1)则 , ym x,于是以上
y lm ix m 2x4iy x( ix )y22i(y)22 1 4 iim m
x 0
极限结果z 依1赖 i的于 路径,从而 存原 在极 故函数 z1在 i处不可导。
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例3 讨f论 (z)Im z的可.导性
解 ff(zz)f(z)Imz (z)Imz
z
z
z
ImzImzImz Im z Im(xiy) y ,
z
z xiy x iy
当点沿平行向 于 (y实 0)轴 而的 使 z 方 0时 ,
li m flim f(z z)f(z)lim y 0,
z 0 z z 0
解 f(z)lim f(z z)f(z)lim(zz)2z2
z 0
z
lim (2zz) 2z.
z0
即 (z2)
z 2z
z 0
例2 求 f(Leabharlann )x22iy2在z点 1i处的.导数
解 f(1 i) lz i0m f(1 i zz )f(1 i) lxi m 02x4iy x( ix)y22i(y)2 y 0
设 zz沿着平 y轴 行的 于直线 z,趋向
x 2yi
2yi
y x0
lim
lim 2,
z0 xyi y0 yi
所f以 (z)x2y的 i 导数 z y0
不存 . 在
o
x
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2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但
点 ,点 z0 z不 D 的 出,范围
如果 lif m 极 (z0 z限 )f(z0)存 , 在
z 0
z
那末f就 (z)在 称 z0可.这 导个极限 f(z)在 值 z0 称
的 在定义导 中,记 应数 注意f:( 作 z 0 ) d d w zz z 0 lz i0fm (z 0 z z ) f(z 0 ).