复变函数论第三版钟玉泉第二章PPT课件
合集下载
复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件
复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。
如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。
定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为或。
注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。
注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算：和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。
复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。
2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：1、实部和虚部在处可微；2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。
比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。
（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。
定理2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：1、实部和虚部在内可微；2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：公式可避免利用定义计算带来的困难。
复变函数论第三版PPT课件
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
第2章复变函数与解析函数精品PPT课件
①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例
复变函数第2章(钟玉泉)
u u 2 x, 0 x y v v y, x x y
容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当 x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程, 因而函 数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例2 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常 数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解析? [解] 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by, vx=2cx+dy, vy=dx+2y 要使ux=vy, uy=-vx, 只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by. 因此, 当a=2, b=-1, c=-1, d=2时, 此函数在复 平面内处处解析, 这时 f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2) =(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2
定理二 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内 解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并满足柯西-黎曼方程。
例1 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1)w z ; 2) f ( z ) e (cos y i sin y); 3)w z Re( z )
f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) f ( z0 ) e Δz
应当注意, 定义中z0+Dzz0(即Dz0)的方式 是任意的, 定义中极限值存在的要求与 z0+Dzz0的方式无关, 也就是说, 当z0+Dz在区 域D内以任何方式趋于z0时, 比值
f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数. Δz
容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当 x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程, 因而函 数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例2 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常 数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解析? [解] 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by, vx=2cx+dy, vy=dx+2y 要使ux=vy, uy=-vx, 只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by. 因此, 当a=2, b=-1, c=-1, d=2时, 此函数在复 平面内处处解析, 这时 f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2) =(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2
定理二 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内 解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并满足柯西-黎曼方程。
例1 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1)w z ; 2) f ( z ) e (cos y i sin y); 3)w z Re( z )
f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) f ( z0 ) e Δz
应当注意, 定义中z0+Dzz0(即Dz0)的方式 是任意的, 定义中极限值存在的要求与 z0+Dzz0的方式无关, 也就是说, 当z0+Dz在区 域D内以任何方式趋于z0时, 比值
f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数. Δz
复变函数论第2章第3节
arg z 依赖于起点的初值和辐 角改变量 .
多值函数应用起来很不 方便，总希望能将 Argz
分解为若干单值连续函 数. 由
arg z arg z0 L Argz
可知 ， 即使固定起点z0 , 取定初值 arg z0 , 由于 L Argz
在 C {0} 内与 L 的形状有关 , 对于任意 一 z C {0} , arg z 都不是惟一的. 因此， C {0} 内 arg z 是不能分 在 解为单值连续函数的. 这样自然会想到， 缩小区域是
y
z1
z
L
z0
0
在 L 上的改变量 , 简称 辐角改变量 ,
x
记作 L Argz .
例如 , 对下图中的三条具有相 同起点
y
z1
z
L
L Argz
z0
x
和终点简单曲线, 有
y
1 i
L1
0
y
L2
1 i
y
1 i
o
1 i
x
o
1 i
x
o
1 i
x
L3
π 3π 5π L1 Argz ; L2 Argz ; L3 Argz . 2 2 2
否可行呢 ? 而问题的关键在于寻找 这样的区域， 使得 辐角改变量只与起点、 终点位置有关而与曲线 的形
状无关 .
由辐角改变量
0 ， z 0 在 L 外部 L Argz 2π , z 0 在 L 内部 可知 , 只要能使区域内任一简 单闭曲线都不围绕原
点z 0 , 辐角改变量在这个区域 内就与区域的形状
的射线φ φ0 变成 z 平面上从原点发出的射 θ nφ ， 线
复变函数第一张第二节(钟玉泉第三版)
2 2
,
特 （1）光滑曲线上的各点都有切线 点 （2）光滑曲线可以求长 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
y y
o
x
o
x
12
课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?
z (a ) z (a ) z (b ) z (b ) z (a ) z (b ) z (a ) z (b )
记作:N(z0)
N(z0)={z | |z-z0|<}
0 z z0 所 z 0 的去心邻域 .
称由不等式 确定的点的集合为
记作：N0(z0)={z | 0<|z-z0|<}
2
定义1.2 聚点、外点、孤立点
设 E 为一平面点集 ( 不必属于 的无穷多点 E ), 如果对 , z 0 为 复平面中任意一点 z 0 的任意一个邻域 , 都有 E
(1) D是一个开集；
(2) D是连通的,就是说D中任何 两点都可以用完全属于D的一 条折线连结起来.
z1
D z2
D加上D的边界称为闭域。记为D＝D+D
6
说明
不包含边界！
C2
(1) 区域都是开的.
(2) 区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立 的点所组成的.
边界
z z
C3
C1
以上基 本概念 的图示
z z ( t ) x ( t ) iy ( t ). ( t )
z
C的复参数方程
起点z()
o
x
C的正向：起点终点
9
对于满足
t1 , t 2 的 t1 与 t 2 , 当
C
t 1 t 2 而有 z ( t 1 ) z ( t 2 ) 时 , 点 z ( t 1 ) 称为曲线 的重点 .
,
特 （1）光滑曲线上的各点都有切线 点 （2）光滑曲线可以求长 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
y y
o
x
o
x
12
课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?
z (a ) z (a ) z (b ) z (b ) z (a ) z (b ) z (a ) z (b )
记作:N(z0)
N(z0)={z | |z-z0|<}
0 z z0 所 z 0 的去心邻域 .
称由不等式 确定的点的集合为
记作：N0(z0)={z | 0<|z-z0|<}
2
定义1.2 聚点、外点、孤立点
设 E 为一平面点集 ( 不必属于 的无穷多点 E ), 如果对 , z 0 为 复平面中任意一点 z 0 的任意一个邻域 , 都有 E
(1) D是一个开集；
(2) D是连通的,就是说D中任何 两点都可以用完全属于D的一 条折线连结起来.
z1
D z2
D加上D的边界称为闭域。记为D＝D+D
6
说明
不包含边界！
C2
(1) 区域都是开的.
(2) 区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立 的点所组成的.
边界
z z
C3
C1
以上基 本概念 的图示
z z ( t ) x ( t ) iy ( t ). ( t )
z
C的复参数方程
起点z()
o
x
C的正向：起点终点
9
对于满足
t1 , t 2 的 t1 与 t 2 , 当
C
t 1 t 2 而有 z ( t 1 ) z ( t 2 ) 时 , 点 z ( t 1 ) 称为曲线 的重点 .
复变函数论第三版钟玉泉第二章
则称 f (z) 在 z0 解析.
如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
2. 奇点的定义
若函数 f (z )在点 z 0不解析，但在 z 0 的任一邻域内总 有f (z )的解析点，则称 z 0 为函数f (z ) 的奇点.
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz, 即
f
( z0
)
dw dz
z z0
函数w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称
8 f (z)在区域 D内可微.
复变函数论
广西教育学院
二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的某邻域内处处可导 ,
若 f (z ) = u (x, y ) + iv (x, y ) 在一点z = x + iy,可微，设
lim f (z + D z ) - f (z ) = f ' (z )
Dz? 0
Dz
（1）
设 Vz =Vx + iVy, f (z + Vz )- f (z ) = Vu + i Vv,
Vu = u (x + Vx, y + Vy )- u (x, y )
z
z
x iy
y , x iy
当点沿平行于实轴的方向(y 0)而使z 0时,
lim f lim f (z z) f (z) lim y 0,
z0 z z0
z
x0 x iy
y0
当点沿平行于虚轴的方向(x 0)而使z 0时,
如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
2. 奇点的定义
若函数 f (z )在点 z 0不解析，但在 z 0 的任一邻域内总 有f (z )的解析点，则称 z 0 为函数f (z ) 的奇点.
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz, 即
f
( z0
)
dw dz
z z0
函数w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称
8 f (z)在区域 D内可微.
复变函数论
广西教育学院
二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的某邻域内处处可导 ,
若 f (z ) = u (x, y ) + iv (x, y ) 在一点z = x + iy,可微，设
lim f (z + D z ) - f (z ) = f ' (z )
Dz? 0
Dz
（1）
设 Vz =Vx + iVy, f (z + Vz )- f (z ) = Vu + i Vv,
Vu = u (x + Vx, y + Vy )- u (x, y )
z
z
x iy
y , x iy
当点沿平行于实轴的方向(y 0)而使z 0时,
lim f lim f (z z) f (z) lim y 0,
z0 z z0
z
x0 x iy
y0
当点沿平行于虚轴的方向(x 0)而使z 0时,
复变函数第二章课件
9
例 判断下列函数的解析性.
1) w z ;2) f ( z ) e x (cos y i sin y );3)w z Re( z )
例 设函数
f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ).
问：常数 a, b, c, d 取何值时， ( z ) 在复平面 f 内处处解析？
注
Lnz n nLnz n 1 Ln z n Lnz
不成立！！
18
对数函数的解析性 y z
z e
w
v
i
O
w
O
x
w ln z
u
i
arg z v
ln z 在除去原点和负实轴的平面内解析，且有
d ln z 1 1 w de dz z dw (Lnz )k (k Z) 在除去原点和负实轴的平面内解析.
19
3.3 幂函数
对 z 0, ; C
w z e Lnz e (ln z 2k i ) w0e2k i (k Z), 其中 w0 e ln z 是 z 的一个主值.
(sin z )' cos z, (cos z )' sin z
iz
（3）遵从通常的三角恒等式；
22
（4）周期为 2 ; （5） sin z 0 z n , n Z; ； 1 ; ; cos z 0 z (n ) , n Z; ； 2 (6) sin z 1 和 cos z 1不成立； (7) cos( z ) cos z , sin( z ) sin z ; (8) e cos z i sin z.
例 判断下列函数的解析性.
1) w z ;2) f ( z ) e x (cos y i sin y );3)w z Re( z )
例 设函数
f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ).
问：常数 a, b, c, d 取何值时， ( z ) 在复平面 f 内处处解析？
注
Lnz n nLnz n 1 Ln z n Lnz
不成立！！
18
对数函数的解析性 y z
z e
w
v
i
O
w
O
x
w ln z
u
i
arg z v
ln z 在除去原点和负实轴的平面内解析，且有
d ln z 1 1 w de dz z dw (Lnz )k (k Z) 在除去原点和负实轴的平面内解析.
19
3.3 幂函数
对 z 0, ; C
w z e Lnz e (ln z 2k i ) w0e2k i (k Z), 其中 w0 e ln z 是 z 的一个主值.
(sin z )' cos z, (cos z )' sin z
iz
（3）遵从通常的三角恒等式；
22
（4）周期为 2 ; （5） sin z 0 z n , n Z; ； 1 ; ; cos z 0 z (n ) , n Z; ； 2 (6) sin z 1 和 cos z 1不成立； (7) cos( z ) cos z , sin( z ) sin z ; (8) e cos z i sin z.
复变函数论三钟玉泉PPT课件
k 1
k 1
2022/4/24
5
第5页/共78页
26022/4/24
（5）取极限
记 m1kaxn{sk }, 当n 无限增加且 0 时,
这里 zk zk zk1 , sk zk1zk的长度,
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯
一极限, 那么称这极限值为函数f (z) 沿曲线C 的积分, 记为
k 1
n
i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
k 1
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
公式 f (z)dz udx vdy i vdx udy
C
C
C
在形式上可以看成是
f (z) u iv 与dz dx idy 相乘后求积分得到
2022/4/24
25
故
1 dz 25 .
5 3
ds 25
C
5
3
C z i
3
2022/4/24
17
第17页/共78页
计算积分CRe z dz ;
其中积分路径C为 （1）连接由点O到点1 i的直线段； （2）先沿着正实轴从O到1，再沿着平行于
虚轴的方向从1到1 i
1+i
2022/4/24
o
1
18
第18页/共78页
C
C1
C2
Cn
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
第12页/共78页
例1 计算 zdz, C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
解
C
直线方程为 x 3t, y 4t,0 t 1,
在 C 上, z (3 4i)t,
复变函数 钟玉泉第三版 第二章第三节
n
n re
i k
2k
n
=
w0 n re
i0
2 w1 re
n
arg z 2k k 0,1, n 1 n i1 n
w2 re
2( n 1)
22
i2
2k wk n re ik
因为 Ln( 1) ln 1 iArg( 1) ( 2k 1)i ( k为整数) 所以 Ln(1) 的主值就是i .
注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广.
15
例5
解方程 e z 1 3i 0.
解
因为 e z 1 3i ,
e
b
p [ln a i ( arg a 2 k )] q
e
p p ln a i ( arg a 2 k ) q q
p ln a q
p p cos q (arga 2kπ) i sin q (arga 2kπ)
a 具有q 个值, 即取 k 0,1,2,, (q 1)时相应的值.
z
常用的做法： 从原点起沿着负实轴将z平 面割破：
o
G x
9
从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:
结论：
w n z
分成如下的n个单值函数：
wk
z
n
n r ( z )e
k
i
( z ) 2 k
n
定义域为
值域Tn :
Gk : 2k 2k
2
2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域
设有幂函数: w =zn 令z=rei,w=ei ,则： w =zn ei = rnein= rn, =n
n re
i k
2k
n
=
w0 n re
i0
2 w1 re
n
arg z 2k k 0,1, n 1 n i1 n
w2 re
2( n 1)
22
i2
2k wk n re ik
因为 Ln( 1) ln 1 iArg( 1) ( 2k 1)i ( k为整数) 所以 Ln(1) 的主值就是i .
注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广.
15
例5
解方程 e z 1 3i 0.
解
因为 e z 1 3i ,
e
b
p [ln a i ( arg a 2 k )] q
e
p p ln a i ( arg a 2 k ) q q
p ln a q
p p cos q (arga 2kπ) i sin q (arga 2kπ)
a 具有q 个值, 即取 k 0,1,2,, (q 1)时相应的值.
z
常用的做法： 从原点起沿着负实轴将z平 面割破：
o
G x
9
从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:
结论：
w n z
分成如下的n个单值函数：
wk
z
n
n r ( z )e
k
i
( z ) 2 k
n
定义域为
值域Tn :
Gk : 2k 2k
2
2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域
设有幂函数: w =zn 令z=rei,w=ei ,则： w =zn ei = rnein= rn, =n
复变函数课件1-1资料
他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数 学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。欧 拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参 数的表达式的人，例如：y = F(x) （函数的定义由 莱布尼兹在1694年给出）。他是把微积分应用于 物理学的先驱者之一
10
法国著名的物理学家、数学家和 天文学家。1717 年11月 17 日生 于巴黎，1783年10月29日卒于同 地。他是圣让勒隆教堂附近的一 个弃婴 ，被一位玻璃匠收养，后
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
16
虚数单位的特性:
i1 i;
i2 1;
i3 i i2 i;
i4 i 2 i 2 1;
i5 i4 i1 i;
i6 i4 i 2 1;
i7 i4 i3 i;
课程概况
课程名称 复变函数
教材 总学时
《复变函数论》 高教第三版(钟玉泉编)
76学时
1
第一章 复数与复变函数
8
第二章 解析函数
12
第三章 复变函数的积分
12
第四章 解析函数的幂级数表示法
10
第五章 解析函数罗朗展示与孤立奇点 12
第六章 留数理论及其应用
12
第七章 共形映射（选学）
10
2
课程简介
13
第一章 复数与复变函数
第一节 复数 第二节 复平面上的点集 第三节 复变函数 第四节 复球面与无穷远点
14
第一节 复数
•1 复数域 •2 复平面 •3 复数的模与辐角 •4 复数的乘幂与方根 •5 共轭复数 •6 复数在几何上的应用举例
15
10
法国著名的物理学家、数学家和 天文学家。1717 年11月 17 日生 于巴黎，1783年10月29日卒于同 地。他是圣让勒隆教堂附近的一 个弃婴 ，被一位玻璃匠收养，后
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
16
虚数单位的特性:
i1 i;
i2 1;
i3 i i2 i;
i4 i 2 i 2 1;
i5 i4 i1 i;
i6 i4 i 2 1;
i7 i4 i3 i;
课程概况
课程名称 复变函数
教材 总学时
《复变函数论》 高教第三版(钟玉泉编)
76学时
1
第一章 复数与复变函数
8
第二章 解析函数
12
第三章 复变函数的积分
12
第四章 解析函数的幂级数表示法
10
第五章 解析函数罗朗展示与孤立奇点 12
第六章 留数理论及其应用
12
第七章 共形映射（选学）
10
2
课程简介
13
第一章 复数与复变函数
第一节 复数 第二节 复平面上的点集 第三节 复变函数 第四节 复球面与无穷远点
14
第一节 复数
•1 复数域 •2 复平面 •3 复数的模与辐角 •4 复数的乘幂与方根 •5 共轭复数 •6 复数在几何上的应用举例
15
复变函数论第三版2.3
的整数，q > 0）：
p q p Lnz q
z =e =e =e 由于p与q为互素，所以不难看到，当k取 0，2， , q − 1时，得到q个不同的值，即这 1， ⋯ 时幂函数是一个q值的函数；
p [ln| z|+ i (arg z + 2 kπ )] q
p ln z + 1 i 2 pkπ q q
n
1 n
时，有 1 1 1 1 ln z 2 kπi (ln| z |+ i arg z ) 2 kπi n n n n n w= z =e e =e e
= n | z |e
1 i (arg z + 2 kπ ) n
(−π < arg z ≤ π , k ∈ Z )
这是一个n值函数。
在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区 域D内，它有n个不同的解析分支：
=e
2Ln2
(1+i ) Ln2
(1+i )[ln 2+i (arg 2+ 2 kπ )]
(1+i )[ln 2+ 2 kπi )]
2
2
=e
2 [ln 2+i (arg 2+ 2 kπ )]
=e
2 ln 2+ 2 2kπi
=2 e
2
2 2kπi
(k = 0,±1,±2,⋯)
7、幂函数在C \ {Im z = 0, Re z ≤ 0}上解析，
(2)根式函数 w = n z的单值解析分支：
从原点O到点∞引一条射线，将z平面割破，得到 一个以此割线为边界的区域G.在G内指定一点z0 , 并指定z0的一个辐角值，则G内任意一点z的辐角， 都可以从z 都可以从z0的辐角连续变化而得到 .
复变函数论第三版钟玉泉PPT第二章
复变函数论
例3 讨论f ( z ) Im z的可导性.
广西教育学院
解 f f ( z z ) f ( z ) Im( z z ) Im z z z z Im z Im z Im z Im z Im(x iy ) y , x i y z z x i y 当点沿平行于实轴的方 向(y 0)而使z 0时, y f f ( z z ) f ( z ) lim 0, lim lim x 0 x i y z 0 z z 0 z y 0 当点沿平行于虚轴的方 向(x 0)而使z 0时, y 1 f f ( z z ) f ( z ) lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0 当点沿这两个不同的方向使z 0时, 极限值不同, 故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导 . 4
令z 1 i沿直线y 1 m( x 1),则y mx, 于是以上极限为
2x 4iy ( x) 2 2i ( y ) 2 2 4im lim y mx x iy 1 im
x 0
3
极限结果依赖于 z 1 i的路径，从而原极限不 存在。 故函数在z 1 i处不可导。
若 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在一点 z = x + iy , 可微，设
f (z + D z ) - f ( z ) = f ' (z ) Dz? 0 Dz 设 Vz = Vx + i Vy , f (z + Vz ) - f (z ) = Vu + i Vv , lim
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所 lz 0 i 以 f( m z 0 z ) f( z 0 ) ,即 f(z)在 z0连.续
6
13.11.2020
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
(1) (c)0 3,.求其 导法c为 则中 : 复 . 常数 (2 ) (zn)nn 1 z, 其 n 为 中正 . 整数
( 3 )f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
式l中 im (z)0,(z)z是 z的高阶, 无穷
f(z0 )z 0z是函 w f(数 z)改变 w 的 量 线.性部 f(z0)z称为w 函 f(z)在 数z点 0的微 , 分
记作 dw f(z0)z. 如果 z0的 函微 数 ,则 分 在 称 f存 (z)在 函 z0 在 可 数 . 微
特别地, 当 f(z)z时 ,dwdzf(z0)zz, 函 d w w f 数 ( z f0 () z ) 在 z z0可 f ( z 0 ) 导 d z , z0 即 可 与 f(z微 0)在 ddwz是 .zz0 等
( 4 ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
(5 ) g f( (z z ) ) f(z )g (z g )2 (z f )(z )g (z ). (g (z ) 0 )
( 6 ) f [ g ( z ) ]f ( w ) g ( z )其 . w g ( z 中 )
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
第二章 解析函数
§ 1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 §２ 初等解析函数 § 3 初等多值解析函数
1
13.11.2020
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
一、复变函数的导数与微分
1.导数: 设w 函 f(z)数 定义 D ,z 于 0为 D 中 区的 域
(7) f(z)(1w), 其中 wf(z)与 z(w)是
两个互为反函 函,数 数 且 的 (w)单 0 值
7
13.11.2020
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
4.微分: 设 w 函 f( z ) 在 z 0 可 数 ,则 导
w f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z 0 ) z ( z ) z ,
函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.
证 根据z在 0可导的,定义
0 , 0 , 使0 得 | z| 当 时 ,
有 f(z0 zz )f(z0)f(z0),
令 则( l iz) m ( fz()z 0 0 , z z ) f(z 0 ) f(z 0 )
z 0
因 f( z 0 为 z ) f( z 0 ) f( z 0 ) z ( z ) z ,
z
x0xiy
y0
当点沿平行向 于 (x虚 0)而 轴 使 的 z 方 0时 ,
li m flim f(z z)f(z)lim y 1,
z 0 z z 0
z
y0xiy i
x0
当点沿这两 向个 使 z 不 0时 同 ,极的 限方 值 , 不
故f(z)Imz在复平面上处处.不可导
4
13.11.2020
z0z z0(即 z 0)的方式.是任意
即z0z在区D域 内以任意方z0时 式, 趋于
比值 f(z0z)f(z0)都趋于同.一个数 z
2
13.11.2020
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
如果 f(z)在 函 D 区 内 数域 处 ,称 f处 (z)在 可 区 D 可 导 .域
例1 求f(z)z2的导.数
如果f函 (z)在 数 区D 域 内处处 ,则可 称微
f(z)在 区D 域 内可 . 微
8
13.11.2020
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
例4 问f(z)x2yi是否可导？y
解 li m flim f(z z)f(z)
y0 z
z 0 z z 0
z
o
x
li(m x x)2(y y)ix2yilimx2yi
z 0
z
z0 xyi
设 zz沿着平 x轴 行的 于直线 z，趋向
limx2yi limx1, z0 xyi x0x
令 z 1i沿直 y1 线 m (x1)则 , ym x,于是以上
y lm ix m 2x4iy x( ix )y22i(y)22 1 4 iim m
x 0
极限结果z 依1赖 i的于 路径，从而 存原 在极 故函数 z1在 i处不可导。
3
13.11.2020
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
例3 讨f论 (z)Im z的可.导性
解 ff(zz)f(z)Imz (z)Imz
z
z
z
ImzImzImz Im z Im(xiy) y ,
z
z xiy x iy
当点沿平行向 于 (y实 0)轴 而的 使 z 方 0时 ,
li m flim f(z z)f(z)lim y 0,
z 0 z z 0
解 f(z)lim f(z z)f(z)lim(zz)2z2
z 0
z
lim (2zz) 2z.
z0
即 (z2)
z 2z
z 0
例2 求 f(Leabharlann )x22iy2在z点 1i处的.导数
解 f(1 i) lz i0m f(1 i zz )f(1 i) lxi m 02x4iy x( ix)y22i(y)2 y 0
设 zz沿着平 y轴 行的 于直线 z，趋向
x 2yi
2yi
y x0
lim
lim 2,
z0 xyi y0 yi
所f以 (z)x2y的 i 导数 z y0
不存 . 在
o
x
5
13.11.2020
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但
点 ,点 z0 z不 D 的 出,范围
如果 lif m 极 (z0 z限 )f(z0)存 , 在
z 0
z
那末f就 (z)在 称 z0可.这 导个极限 f(z)在 值 z0 称
的 在定义导 中,记 应数 注意f:( 作 z 0 ) d d w zz z 0 lz i0fm (z 0 z z ) f(z 0 ).